Урок по геометрии "Вписанные и центральные углы" 8 класс
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Тема урока: «Вписанные и центральные углы»

Цели урока.

Образовательные: подготовить учащихся к успешной сдачи ОГЭ.

Воспитательные: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. Формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания.

Развивающие: развитие логического мышления и пространственного воображения.

Ход урока:

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами погрузимся в увлекательный мир математики, который откроет нам с вами математический журнал. Но чтобы проникнуть в них, надо вначале вспомнить то, что мы на сегодняшний день уже знаем.

1 страница журнала «Вспомни»

1.Определение вписанного и центрального углов.

2. Повторение материала прошлых уроков.

Устно: а)Закончи предложение: 

1 команда

1.Окружность — это угол в … (360° ) 

2.Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным). 3.Угол с вершиной в центре окружности - … (центральный).

4.Наибольшее из хорд окружностей - … (диаметр).

5.Мера дуги равна мере … (центрального угла). 

2 команда:

1.Центральный угол больше вписанного угла , опирающегося на ту же самую дугу…(в 2 раза).

2. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется … (касательной).

3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется … (хордой).

4.Геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется … (окружностью).

5.Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется … (кругом).

Перед каждым из вас  лист самоконтроля. После каждого этапа оцените себя.

Задание, создающее проблемную ситуацию.

Верно ли, что

а)

Вспомни ТЕОРЕМУ!

б) Найдите: х

Ответы: 1) 140о; 2) 65о; 3) 80о; 4) 45о; 135о;

2 страница «Готовимся к ОГЭ»

В модуле «Геометрия» встречаются задачи на вписанные и центральные углы.

Задача 1: Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Решение: Пусть АВ – рассматриваемая хорда, О – центр окружности. Построим радиусы: ОА и ОВ, получим треугольник АВС- равносторонний. У него все углы по 60 градусов. Пусть М – вершина вписанного угла. Т.К. Углы М и О опираются на одну дугу АВ , то угол М меньше угла О в 2 раза. Значит угол М равен 30 градусов.

Задача 2. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение: Введем обозначения: АВ – хорда окружности; Точка О –центр окружности, угол АОВ – центральный, Точка С –вершина вписанного угла АСВ.

Пусть угол АСВ=:х, тогда центральный угол АОВ равен х+36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Значит угол АОВ = 2АСВ. х+36=2х, х=36.Ответ: 36.

Задача 3. Точки А, В и С лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника АВС. Решение. Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x.В сумме эти дуги дают 360 градусов: AB + BC + AC = 360; x + 3x + 5x = 360; 9x = 360; x = 40.

Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Это дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна 5x = 5 • 40 = 200 градусов. Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем: ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100. Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC. Ответ 100.

Задача 4. [Пробный ЕГЭ 2012].

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°,а угол B — 60°. Найдите угол ACD. Решение Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные. В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B6: отрезки и углы в треугольниках». Поэтому искомый угол ACD = A.

Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем: A + B+ BCA = 180; x + 60 + 90 = 180; x = 30. Ответ:30. Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же. 

3 страница «Тест-прогноз» Закрепление. Решаем Тест- прогноз (дифференцированно-индивидуальный подход).

1 уровень. ТЕСТ. 

Вариант 1.

1. Угол АСВ 38о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о;

2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО

а) 60о; б)40о; в) 30о; г) 45о;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126о

а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о;

Вариант 2.

1. Угол МСК на 34о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о;

3. О – центр окружности, угол L =136о. Найдите угол В. а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о;

2 уровень. 

Вариант 3.

1. Угол EFG на 42о меньше угла EOG найдите сумму углов. а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о;

2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL. а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о;

3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол EOD=174о.

а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о;

Ответы:

1

2

3

1 Вариант

Б

В

В

2 Вариант

Б

В

В

3 Вариант

Б

В

В

4 страница «ПОИСК»

1 проблема. Как быстро циркулем и линейкой построить сразу несколько углов равных данному?

2 проблема. Как быстро циркулем и линейкой построить прямой угол? (Повторение 1 и 2 следствия)

Задача. Найдите изображенные на рисунке вписанные углы:      

5 страница «Физминутка»

6 страница «Эрудит» (д/з составить кроссворд на тему «Вписанные и центральные углы»)

Подведение итога урока .(Какая же была цель на уроке?)

Домашнее задание.

 7 страница. Рефлексия.

Ну, а нам с вами остаётся только оценить свою работу. Какие впечатления остались у вас после этого урока?

                                            Лист самоконтроля

Имя ученика: _______________________________________

Какие умения сформированы на уроке

 полностью

частично

не знаю

1

Знаю определения видов углов

2

Определение угла, вписанного в окружность

3

Определение центрального угла

4

Теорема об угле, вписанном в окружность

5

Применяю теорему при решении задач

Итог урока. Оценки за урок.