Урок по теме "Центральные и вписанные углы"
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Цель:

1. познакомить с формулой о величине угла, образованного двумя секущими, выходящими из одной точки, не лежащей на окружности, и формулой о величине угла между двумя хордами;
2. обобщить и закрепить знания и умения решения задач по теме «Вписанные и центральные углы»;
3. показать, что источник возникновения изучаемой темы возник из практических потребностей людей, вызвать интерес к данной теме, учить работать в парах.

       Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная

1. Домашнее задание:№656,658.                                                 
2.  Организационный момент

Сегодня на уроке мы повторим теоретический материал, будем решать задачи разного уровня сложности по теме "Центральные и вписанные углы", Понятие угол и окружность появилось много веков назад. Инженеры и математики древности пользовались этими понятиями при расчётах различных архитектурных сооружений. Так же эти понятия использовались при навигации на море и на суше. В наше время понятие и свойство центральных и вписанных углов используется в науке и технике. Например,  невозможно представить себе без этих понятий современную инженерную графику и машиностроение. Важность этой темы доказывается и тем, что она включена в задания ГИА и ЕГЭ. От успешности усвоения данной темы на нашем уроке будут зависеть и результаты ваших экзаменов в 9 классе.  Хочется ещё раз повторить народную мудрость "Ум без догадки - гроша не стоит", т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения.  Вдохновения вам на протяжении всего урока.

3. Устная работа

1. Вначале вспомним определения и понятия, которые нам понадобятся на уроке для решения задач. Одним из домашних заданий было подготовить вопросы по теме «Центральные и вписанные углы». Но если вы задаёте вопрос, то должн6ы знать на него и ответ. Пока работаем устно, один из учеников подготовит домашнюю задачу №660 на доске.

1. Дать определение центрального угла. (Угол, с вершиной в центре окружности называется центральным углом).
2.  Чему равна градусная мера центрального угла? (Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги на которую он опирается)
3. Дать определение вписанного угла. (Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом).
4. Сформулировать теорему о вписанном угле. (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.)
5. Сформулировать следствие1.  (Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).
6. Сформулировать следствие2.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой).

7. Связь вписанного и центрального углов , опирающихся на одну и ту же дугу. (Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.)

4. Проверим решение домашней задачи  № 660.

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.

Решение.

1. Проведём ВЕ
2. Т.к. ∠АВЕ – вписанный,

      то ∠АВЕ = ∪АЕ = ⋅100° = 50°.

3. Т.к. ∠АВЕ – внешний угол ΔВЕС,

      то ∠АВЕ = ∠ВЕС + ∠BCD,

      откуда ∠ВЕС = ∠АВЕ - ∠BCD,

      ∠ВЕС = 50° – 32° = 18°.

4. Т.к. ∠ВЕD = 18° – вписанный,

      то ∠ВЕD = ∪BD,

      значит ∪BD = 2 ⋅∠ВЕD = 2 ⋅ 18° = 36°.°

Ответ: ∪BD = 36°.

5. Решим  задачи по готовым чертежам,

1. Задание 1. Найти градусную меру угла АОВ, если дуга на которую он опирается =88; найти градусную меру угла АМВ, если дуга на которую он опирается =88. (Слайд №6) 
2. Задание 2. Найти ∠АОВ, если дуга АМВ=260°. (Слайд №7) 
3. Задание 3. Найти ∠ А, в ∆АВС, если ∠АВС опирается на диаметр, ∠С=34°.  (Слайд №8)
4. Задание 4. Найдите градусную меру ∠ АВС, если ∠АОС=110°.

(Слайд №9)

5. Задание 5. Найти АВС, если ∠ADC=40°. (Слайд№10)
6. Задание 6. Найти ∠АОВ, если он вписанный и точки А,В,О делят окружность на 3 равные части. (Слайд №11).
7. Задание 7. Задача В: из ГИА – 2012, вариант 222. Найти ∠АОD, если ∠АСD=103°. (Слайд №12)
8. Задание 8. Задача В6 из ЕГЭ – 2012. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. (Слайд №13)
9. Задание 9. В ∆ВСD найти ∠ВDС, если ∠ВСА=60°, Ас – диаметр окружности. (Слайд №14)
10. Задание 10. Найти ∠DАС, если в ∆АВD ∠АВD=35°, АС – диаметр окружности.

6. Решение задач с применением элементов исследовательской деятельности

1. Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя секущими.

Вернёмся к домашней задаче: (рисунок на слайде).

Найдите связь между величиной угла и градусными мерами дуг.

Заметим, что (100° – 36°) : 2 = 64° : 2 = 32°.

Наводящие вопросы:

1. Как был образован угол АСЕ?
2. С помощью величин каких дуг мы нашли величину угла АСЕ?
3. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя секущими.

Гипотеза: 

1)Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

2)Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Т.е., нам надо доказать, что

∠АСЕ = (∪АЕ - ∪BD).

Доказательство:

1. Т.к. ∠АВЕ – вписанный в окружность, то ∠АВЕ = ∪АЕ.
2. Т.к. ∠BED - вписанный в окружность, то ∠BED =  ∪BD.
3. Рассмотрим ΔВЕС: ∠АВЕ – внешний угол данного треугольника. Его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Значит,

∠АВЕ = ∠ВЕС + ∠ВСЕ,

∠ВСЕ = ∠АВЕ - ∠ВЕС,

∠ВСЕ = ∪АЕ -  ∪BD = (∪АЕ - ∪BD).

Применение: №661 (устно).

Решение:α = (140° – 52°) : 2 = 88° : 2 = 44°.

Ответ: 44°

2. Вывод и доказательство утверждения о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

Рассмотрим две пересекающиеся хорды окружности (слайд).

Наводящие вопросы:

1. Являются ли центральными или вписанными углы, образованные пересекающимися хордами?

2. Проведём хорду АС. Какие вписанные углы при этом получились?

3. Рассмотрим вписанные углы АСD и САВ:

∠АСD =∪AD; ∠САВ = ∪СВ.

4. Неизвестный угол α - внешний угол ΔАСЕ, значит его величина равна сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

α = ∠АСD + ∠САВ = ∪AD + ∪СВ = (∪AD + ∪СВ).

5. Сформулируйте гипотезу о величине угла между двумя пересекающимися хордами.

Гипотеза:

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, заключённых между этими хордами.

Применение: №662 (устно).

Решение:∠ВЕС = (54° + 70°) : 2 = 124° : 2 = 64°.

Ответ:64°

7. Самостоятельная работа

8. Итог урока:

1. Выставить оценки.
2. Какие новые утверждения об углах, связанных с окружностью, вы сегодня узнали?
3. Как вы получили эти новые сведения?