11 кл. Касательная плоскость к сфере. Технологическая карта
план-конспект урока по геометрии (11 класс)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Доска

Тетрадь

Организационный этап (2 мин.) – приведение учащихся в состояние готовности к уроку, эмоциональный настрой.

Добрый день, дамы и господа! Проверь, пожалуйста, свою готовность к уроку. Присаживаемся.

Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку, рассаживаются по своим местам.

Актуализация знаний (3 мин.) – повторение терминологии прошлого урока. Форма – фронтальный опрос.

1. О каких геометрических фигурах мы с вами говорили на прошлом уроке?

2.. Что называется шаром?

(В случае затруднений приводится планиметрическая аналогия: Кругом можно назвать фигуру, состоящую из всех точек, удалённых от заданной точки не больше чем на заданное расстояние. Центр и радиус круга - это центр и радиус окружности, которая его ограничивает. Шар – пространственная фигура.)

3. Как называют «данную точку»? А как расстояние?

4. Расскажите о взаимном расположении шара и плоскости.

Пусть R - радиус, d - расстояние от центра шара до плоскости.

1. О сфере и шаре.

2. Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися от данной точки на расстоянии, не большем данного (положительного) расстояния.

3. Точка называется центром шара, а расстояние – его радиусом.

4. 1) Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек.

2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара плоскостью представляет собой круг.

Слайды 2-3:

1) d > R: сфера и плоскость не имеют общих точек.

2) d = R: сфера и плоскость имеют одну общую точку;

3) d < R: сфера и плоскость пересекаются по окружности;

Самостоятельная работа (10 мин.) – текущий контроль знаний по теме «Взаимное расположение шара и плоскости». Форма - индивидуальная работа по карточкам

Учитель раздаёт учащимся карточки с вариантами самостоятельной работы. На её выполнение отводится 10 минут.

Так как класс с углублённым изучением математики, то никаких вспомогательных формул на доске нет. В случае же, если школьники обладают низким уровнем подготовки, то на доске можно разместить формулы площади круга и длины окружности.

Учащиеся самостоятельно в тетрадях выполняют задания по карточкам.

В случае низкого уровня подготовки учащихся: C = 2πr, Sкруга = πr2

Подведение к теме урока (2 мин.) Форма – фронтальная работа.

1. Что называется сферой?

(В случае затруднений, вспомогательные комментарии: на плоскости – окружность есть множество точек удалённых от данной точки-центра окружности на заданное расстояние - радиус окружности. Сфера – стереометрический случай).

2. В каком случае взаимного расположения сфера и плоскость имеют одну общую точку?

В этом случае говорят, что плоскость и сфера касаются, а их общая точка называется точкой касания. Итак, тема сегодняшнего урока «Касательная плоскость сферы».

1.Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

2. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара.

Касательная плоскость сферы

Изучение нового материала (12 мин.) – вывод и доказательство свойства касательной плоскости; формулирование признака и вывод теоремы о касании. Форма – индивидуальная работа, работа в парах сменного состава.

1. Из курса планиметрии нам знакомо свойство касательной к окружности, как оно формулируется?

2. Самостоятельно сформулируйте аналогичное свойство для касательной плоскости в условной форме, то есть используя логическую связку «если…

то…».

После выполнения учащимися задания они проверяют себя, сравнивая собственные записи с текстом на доске (на слайде).

3. Как будет формулироваться свойство в категорической форме?

4. Как можно доказать данное свойство?  Какие вы знаете логические методы доказательств каких-либо утверждений или теорем?

5. В парах: обсудите оптимальный метод для доказательства свойства касательной плоскости; спланируйте ход доказательства и запишите его в тетрадь.

В случае возникновения затруднений у обучающихся в индивидуальном (парном) порядке корректирует их рассуждения: «Обратите внимание на связь радиуса сферы с расстоянием до плоскости. Вспомните случаи взаимного расположения  сферы и плоскости». Время на выполнение работы: 5 минут.

6. По окончанию работы учащимся предлагается обменяться между парами тетрадями с целью сравнения оформления и логики доказательств.  

7.Один из вариантов оформления доказательства демонстрируется на доске.

8. Зная свойство касательной плоскости, как бы вы сформулировали признак касания сферы и плоскости? Как должна проходить плоскость через точку на сфере, что бы быть касательной?

9. Если мы объединим два предыдущих утверждения: свойство и признак, то получим теорему о касании сферы и плоскости. Сформулируйте её самостоятельно и запишите в тетрадях. Далее проверьте себя по учебнику: стр.119-120 (т. «О касании сферы и плоскости»). В случае затруднения учащимся можно задать следующий вопрос: «Плоскость и сфера касаются в некоторой точке… когда? В каком и только в каком случае?»

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2. Учащиеся самостоятельно формулируют свойство касательной плоскости: «Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания».

3. Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

4. Восходящий (аналитический) – от требования к условию.

Нисходящий (синтетический) – от условия к требованию.

От противного (от обратного).

Метод перебора  - для теорем, охватывающих лишь конечное число объектов.

5. В парах: выбирают оптимальный метод для доказательства свойства касательной плоскости, аргументируют свой выбор; обсуждают и намечают ход доказательства. Записывают доказательство в тетради.

6. Обмениваются тетрадями с другими парами. Обсуждают с партнёром (изначальным напарником) доказательство, приведённое другой парой.

7. Сличают свои доказательства с предлагаемым на доске, предварительно вернув чужие тетради их владельцам.

8. Формулируют признак касания сферы и плоскости: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

9. Самостоятельно формулируют теорему и проверяют себя по учебнику. В случае необходимости дополняют свою изначальную формулировку.

Таблица сравнения планиметрии и стереометрии «Касательная» - слайд 4.

Слайд 5-продолжение таблицы «Касательная»: Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Слайд 6-продолжение таблицы «Касательная»: Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Слайд 7

Слайд 8: Свойство касательной плоскости:

Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство (от противного):

Обозначим: S-сфера, α-касательная плоскость.

Пусть α НЕ⊥R-радиусу S. Тогда d < R.

d < R, по т. «О пересечении шара с плоскостью» α∩S?! (α-касательная плоскость).

α⊥R.

Слайд 9: «Признак касания сферы и плоскости»

Слайд 10.

Свойство касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Свойство касательной плоскости:

Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство (от противного):

Обозначим: S-сфера, α-касательная плоскость.

Пусть α НЕ⊥R-радиусу S. Тогда d < R.

d < R, по т. «О пересечении шара с плоскостью» α∩S?! (α-касательная плоскость).

α⊥R.

В случае подробной, не символьной записи: Пусть плоскость α НЕ перпендикулярна радиусу R сферы S, значит d < R. Но тогда по теореме «О пересечении шара с плоскостью» плоскость пересекает сферу, что противоречит условию.

Следовательно, плоскость перпендикулярна радиусу.

Теорема (о касании сферы и плоскости): Плоскость и сфера касаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Минутка релаксации (1 мин) – смена деятельности, переключение внимания. Форма – индивидуальная работа.

Проведение физ.минутки:

1. Сядьте на середину стула (спина не прижата к спинке стула), ноги чуть расставьте.

2. Потяните прямые руки ладонями друг к другу вверх на вдохе.

3. На выдохе отклонитесь назад, держа руки прямыми.

4. Не напрягайте шею, постарайтесь максимально расслабить лицо.

5. Через 10 секунд вернитесь в исходное положение.

Следуют указаниям учителя.

Слайд 11.

Закрепление (10 мин.) – формировать умения применять изученные свойство, признак и теорему при решении задач. Форма – индивидуальная, фронтальная работа с классом.

Выполняем самостоятельно в тетрадях задание №16.16 (стр.122).

Спустя некоторое время на доске появляется рисунок к задаче и данные.

К доске вызываются двое учащихся на одновременное оформление пунктов задачи (каждому школьнику, отвечающему у доски, по одному пункту соответственно).

Выделяется время на проверку правильности решения с оформлением на доске.

№16.20. Краткую запись на доске оформляет учитель (с целью экономии времени допустимо размещение краткой записи к задаче на слайде). Если время урока позволяет, то на доске один из учащихся решает пункт a).

Составляет план решения задачи, в случае необходимости озвучивая идею решения: сведение задачи к планиметрической.

Оформляют условие задачи в тетрадях.

Двое обучающихся оформляют решение задачи на доске, остальные – в тетрадях.

Проверяют собственные решения с оформленными на доске.

Учащиеся самостоятельно в тетрадях оформляют условие  №16.20.

Высказывают версии по составлению плана решения. Оформляют план в тетрадях.

Слайд 12.

№16.16

Дано: OA = R, α-касательная плоскость, Xα.

а)|OX|. |XA| = ?

б) |XA|. |OX| = ? Расстояние от X до шара = XB - ?

Решение:

α-касательная плоскость, значит по теореме о касании сферы и плоскости OA ⊥ XA → ΔOAX – прямоугольный. По теореме Пифагора:

а) |XA| =

б) |OX| =

|OB| = |XA| = R

|XB| = |OX| - |OB| = |OX| - |XA|

Ответ: а) |XA| = ; б) |OX| = , |XB| = |OX| - |XA|

Слайд 13. №16.20

План решения:

1) Дополнительное построение: плоскость, проходящая через центр шара, перпендикулярную MN-ребру двугранного угла.

2) Планиметрический случай: внутри угла величиной ϕ лежит точка, удалённая на равные расстояния от его сторон, причём эти расстояния известны и равна R.

3) Указанная точка лежит на биссектрисе угла.

Постановка домашнего задания (2 мин.) – самоконтроль учащихся. Форма – фронтальная работа с классом.

Записывает домашнее задание на доске или выводи его на слайд. Просит учащихся просмотреть условия задач домашней работы и, в случае необходимости, задать вопросы.

Записывают домашнее задание в дневники, просматривают условию домашних задач, задают вопросы учителю.

Слайд 14. п.16.3 – читать, учить формулировки. Стр.123 №16.20 (в, г).

Рефлексия (3 мин.) - самоконтроль учащихся. Форма – индивидуальная работа.

Вопросы учащимся:

Что на сегодняшнем уроке было наиболее интересным для Вас?

Что было наиболее трудным?

Ваши действия по преодолению этих трудностей?

Письменно  анонимно отвечают на вопросы учителя. При этом записывают ответы на первые два вопроса в левой половине листочка, а на третий вопрос – в правой.

Разорвав листочек пополам сдают учителю левую его часть.

Слайд 14.