Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Практическая работа на тему: «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости.»

Цель:

систематизировать знания о нахождении расстояния от точки до плоскости и от прямой до плоскости

Теоретическая часть:

Пример 1

Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см .

Решение.

Опустим перпендикуляр МО к плоскости (АВС).

1. МО (АВС).

2. ∆  АОМ = ∆  ВОМ = ∆  СОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету)   АО = ВО = СО, т.е. О – центр описанной около ∆ АВС окружности.

3. R = ,    R  =   = 2 см.

4. ∆ МОС – прямоугольный, МО = =2 см.

Ответ: 2 см .

Пример 2.

     Дано: ABCD – прямоугольник, АК  (ABC),

     KD = 6 см., КВ = 7 см., КС = 9 см.

     Найдите ρ (К, (АВС)), ρ (АК, CD).

Решение.

1. ρ (К, (АВС)) = АК.

3. ∆ КВС – прямоугольный. СВ = см.

4. ∆ АКД – прямоугольный. АК =  см.

5. ρ (АК, CD) = AD; AD =  см.
Ответ: 2 см.;  см.

Практическая часть:

Задание 1. Сформулируйте понятия:

1. Расстояние между точками.

2. Расстояние от точки до плоскости.

3. Свойство точки равноудаленной от вершин многоугольника.

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

5.Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.

Задание 2. Тестовые задания (необходимо заполнить пропуски)

1.Отрезок АН называется_____________________, проведенным из точки А к плоскости  , если прямая АН  и пересекает ее в точке Н. Точка Н –______________________

2.Отрезок АМ называется _____________________________, проведенной из точки А к плоскости , если прямая АМ не перпендикулярна плоскости  и пересекает ее в точке М. Точка М – ____

3. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, ________любой наклонной, проведенной из той же точки  к этой плоскости.

4. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости   называется __________________

5. Через точку М проведены прямые c и d , пересекающие плоскость  в точках С и Д, причем прямая с  . Тогда МС – _ ______, МД – _____ __________, СД – __ ____________

6. Расстояние от точки А до плоскости  равно 3 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости  равно _____ ________.

7. Установите соответствие по рисунку.

1. АС                                       А. Проекция наклонной.

2. СВ                                       В. Перпендикуляр.

3. АВ                                       С. Наклонная.

Ответ: 1 ____ 2 _____   3 _____

8. Из точки А к плоскости  проведены наклонная АВ длиной 5 см. Найдите ее проекцию, если расстояние от точки до плоскости 3 см.

Ответ: _____

9. Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние __________________

10. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют _____________________________

11. Прямая NM параллельна плоскости . Расстоянием от точки N до плоскости  равно 6 см. Расстояние от точки М до плоскости равно  ___

12. Точка В лежит в плоскости , а точка А находится от плоскости на расстоянии 8 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости .

Ответ: _____

Задание 3. Показать на рисунке расстояние от данной точки до заданной плоскости.

Задание 4. Закончите фразы в предложенном рассуждении, чтобы оно получилось верным:

а) Расстояние между параллельными плоскостями -  это расстояние от любой точки одной из плоскостей до другой плоскости. Рассмотрите рисунок. Расстояние между выделенными плоскостями – это отрезки ________________________________.

б) Расстояние от точки К до плоскости DD1C1C: ______________________________________.

в) Расстояние от точки А до плоскости А1В1С1D1: ______________________________________________________________.

Домашняя работа:

Задание 1.

Пользуясь рисунком, на котором изображен квадрат MNKF, найдите расстояние от точки Е до плоскости (MNKF), если MN =4 см., EF = 12 см., EN  (MNKF).

Задание 2.

Проделайте предложенные операции, впишите необходимые данные и сделайте вывод.

а) Поставьте на плоскости α точку О, обозначая кратчайшее расстояние от точки А до плоскости.

АО_________плоскости α; точка О - _______________ перпендикуляра.

б) Обозначьте другие точки В, С, D, К. Сравните длину прямых АВ, АС, АК, АD с длиной АО.

АВ ______ АО, АС ______АО,

АК _______АО, АD_______АО.

Прямые АВ, АС, АК, АD и т.д. называются наклонными, их из точки А можно провести _____

Точки В, С, К, D – основания наклонных.

ВО – проекция наклонной АВ;

СО - ___________________________________________________;

DО - ___________________________________________________;

КО - ___________________________________________________.