Вычисление объемов тел вращения
презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)

Слайд 1

Вычисление объемов тел вращения Применение интеграла

Слайд 2

У х y=f(x) O Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда график кривой у= f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. a b Постановка задачи

Слайд 3

У х y=f(x) O Разобьем отрезок [ a ; b ] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Радиус круга равен значению функции в х с Площадь этого круга – S ( x ) = π · f 2 ( x с )

Слайд 4

Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а основанием является сечение - круг. Радиус круга равен значению функции в х с Площадь этого круга – S ( x ) = π f 2 ( x с ) Объём цилиндра – V=S ( x )∙ Δ x y=f(x) f(x с ) y x с r

Слайд 5

Объем каждого цилиндра с основанием S ( x ) и высотой Δ x равен S ( x ) ∙ Δ x , а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров. Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S ( x ), при n → ∞ называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу:

Слайд 6

Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у= f(x) на отрезке [a;b] ,вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле: Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞ равен определенному интегралу: x y=f(x) y

Слайд 7

Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х 2 на отрезке [ 0; 2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. у=х 2 у О х 2

Слайд 8

Задача. Пусть тело образовано вращением функции у= 0,5x на отрезке [ 0; 4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. y O x 4

Слайд 9

x Рассмотрим конус и найдём его объём y h O r

Слайд 10

x Рассмотрим усечённый конус и найдём его объём y h O R r

Слайд 11

*** Найдите объём тела, если его поверхность получена вращением фигуры образованной графиками функций:

Слайд 12

Вычисление определённых интегралов