Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Практическая работа

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности.

Цель работы:

Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Многогранники и площади их поверхностей».

1.Необходимый теоретический материал

Многогранник.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многоугольники, ограничивающие многогранник , называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т.е. такие, которые расположены по одну сторону от каждой своей грани.

Призма.

Плоскость, проведённая через какие-нибудь два боковых ребра, не принадлежащих одной грани призмы, называется диагональной плоскостью.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям, называется прямой, в противном случае — наклонной. Прямая призма, у которой в основаниях лежат правильные n-угольники, называется правильной.

Параллелепипед.  
Параллелепипедом называют призму, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания - прямоугольники.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом.

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.

1. Теорема: В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.
2. Теорема: В параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
3. Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пирамида. 

Плоскость, проведённая через вершину пирамиды и какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.

Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник и т.д. Треугольная пирамида называется тетраэдром; у такой пирамиды все четыре грани - треугольники.

Пирамида называется правильной, если, во-первых, её основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Часть пирамиды, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённой пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Боковая поверхность призмы и пирамиды.

1. Теорема: Боковая поверхность призмы равна произведению перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Следствие: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

2. Теорема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.
3. Теорема: Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.

2. Примеры

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см

Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
По условию задачи a = 7 см
Так как площадь грани призмы в данном случае будет равна 7h, где h - высота бокового ребра, количество граней - три, то
49√3 / 4 = 3 * 7h
49√3 / 4 = 21h
откуда
h = 7√3 / 12

Ответ: длина бокового ребра правильной треугольной призмы равна 7√3 / 12

2. Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.

Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
По условию задачи a = 6 см  откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3

Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна 
9√3 * 2 =   18√3 

Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180

Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.

Ответ:  180 + 18√3 ≈ 211,18  

3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.
   Решение.
   Правильный четырехугольник - это квадрат.
   Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.
   Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
   √( 122 + 122 ) = √288 = 12√2
   
   Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
   √( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см
   
   Ответ: 22 см
4. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16√3см2. Вычислить периметр основания пирамиды.
   Решение.
   Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника равна:

Соответственно:
16√3 = a2 √3 / 4

16 = a2 / 4

a2 = 64

a = 8 см

Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен

8 * 3 = 24 см

Ответ: 24 см.

3. Задания к практической работе

1)В правильной треугольной пирамиде  сторона основания равна 8 см, апофема равна 13 см. Найдите площадь полной поверхности.

2)Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 72,  боковые рёбра равны 39. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды.

3)Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30, и боковым ребром, равным 40.

4)Сторона основания правильной четырёхугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 равна 3, а боковое ребро – 4. Найдите площадь сечения, которое проходит через сторону основания АД и вершину С1.

5)Сторона основания правильной четырёхугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 равна 4, а боковое ребро – 5. Найдите площадь сечения, которое проходит через ребро АА1 и вершину С.

6)В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота  14 см.  Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

                                ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы

Тема занятия:  Многогранники и площади их поверхностей. 

Цель выполнения работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: « Многогранники и площади их поверхностей».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

Необходимо знать: определения призмы, пирамиды, усечённой пирамиды и формулы для нахождения их полной и боковой поверхностей.

 Необходимо уметь: правильно применять формулы при решении задач.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

основные теоретические положения; задания и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения работы, методические указания:

-  повторить теоретические положения по данной теме;

- изучить схему решения заданий;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод;

- подготовить отчёт о выполненной работе.