Тема «Угол между двумя векторами, проекция вектора на ось»

Цель занятия: расширение  представлений обучающихся о пространстве, формулирование понятия «угол между двумя векторами, проекция вектора на ось», применение полученных знаний для решения задач.

 Задачи занятия:

Обучающая: формирование умения  использования полученных знаний, формул при решении задач, использования при этом соответствующих рисунков.

Воспитательная: воспитание  ответственности  за выполняемую работу, выполнение  её точно, аккуратно и вовремя.

Развивающая: развитие  умения самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями, выполнения качественных рисунков.

Информационно-справочное оснащение:

• Основная литература: 
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, М., Просвещение, 2014

Дополнительная литература:

Интернет-ресурсы

Студопедия.        Форма доступа http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, информатика.

Внутри дисциплинарные связи: многогранники, система координат, векторы.

       1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1.

2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Вопрос 1. Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами и будем обозначать как .

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до или, что то же самое, от до .

когда векторы и сонаправленные, когда векторы и противоположно направленные.

Определение.

Векторы и называются перпендикулярными, если угол между ними равен ( радиан).

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол не определен.

Контрольные задания по вопросу 1.

Таблица 2.

 Вопрос 2. Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Косинус угла между векторами и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы и ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами и , а также найдите сам угол, если длины векторов и равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы . Вычисляем косинус угла между векторами и : .

Теперь находим угол между векторами: .

Ответ:

Контрольные задания по вопросу 2.

Таблица 3.

Вопрос 3. Примеры  решения задач.

Пример1.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите косинус угла между векторами и .

Решение.

Определим координаты векторов и по координатам заданных точек:

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:

Ответ:

.

Угол между векторами и также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы и , то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать , что эквивалентно равенству , откуда находим косинус угла между векторами . Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов и , которые легко находятся по координатам векторов и . Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле .

Пример2.

Найдите угол между векторами , заданными в прямоугольной системе координат.

Решение.

Можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу , предварительно вычислив длины векторов и скалярное

произведение по координатам:

Ответ:

.

Контрольные задания по Вопросу 3.

Таблица 4.

Вопрос 4. Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

Определение.

Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Ответ: Пр ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √42 + 22 + 42 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Ответ: Пр ba = 2.

Контрольные задания по Вопросу 4.

Таблица 5.

 3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 6.

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

1. Придумать и выполнить задание, аналогичное №333, стр.90, (геометрия, Атанасян)
2. Выполнить  задания из таблиц 2, 3, 4, 5, 6 в тетради.

на «3»  и «4»: №1 и№2 из указанных таблиц;

на «5» : №3 из указанных таблиц.

Преподаватель                                                                Л.В. Лазарева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

Циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

От                      2018 г. № __