НПК "Геометрические задачи на экстремум"
презентация к уроку по геометрии

Слайд 1

Геометрические задачи на экстремум Автор: Будаев Бато , ученик 10 класса

Слайд 2

Оглавление I . Введение ------------------------------------------------ с.1 II . а) История развития задач на экстремумы ---------- с.2 – с.4 б) Экстремумы функции --------------------------------- с.5 – с.6 в) Задачи на экстремумы --------------------------------- с.7 - с.11 III . Заключение ------------------------------------------------- с.12 IV . Список использованной литературы ------------------- с.13 V . Приложение ------------------------------------------------- с. 14-16

Слайд 3

Цель : исследовать решение геометрических задач на экстремумы. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи : Подобрать и изучить дополнительную литературу по теме Изучить методы решения геометрических задач на экстремумы и грамотно переводить на математический язык Научиться решать экстремальные задачи Объект исследования: задачи на экстремум Предмет исследования: решение геометрических задач на экстремум Практическая значимость работы: 1. задачи с национально - региональным компонентом могут быть применены учителями на уроках математики 2. Задачи на экстремум имеют широкий спектр применения во всех областях человеческой жизни

Слайд 4

«В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого- нибудь максимума или минимума» Леонард Эйлер (1707 – 1783 г.г .)

Слайд 5

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» ( от латинского слова « extremum » - «крайний») или задачами на «максимум» и «минимум» (от латинских « maximum » и « minimum » - соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей. Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в v ɪ книге «Начал» Евклида (книга «Начала» древнегреческого ученого Евклида относится к 3 веку до нашей эры), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Я исследовал эту задачу и решение покажу в 2 части своей работы (задача 1).

Слайд 6

Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум – так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи объединяют также одним названием – «задачи Дидоны ». Они названы так по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией r , была наибольшей? (рис.1)

Слайд 7

Задача 1. Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Я хочу показать доказательство самой древней задачи на экстремум, которое основано на сравнении площадей (рис.2).

Слайд 8

Задача 2 ( частный случай задачи Дидоны ). Дидона выбрала участок, примыкающий большей стороной к берегу моря, если береговая линия не кривая, а прямая длины l . При каких значениях l площадь ограничиваемого участка будет наибольшей? Решение : Эту задачу я решил по изложенной схеме: Формализация (перевод на язык математики) Решение полученной задачи: Интерпретация найденного решения

Слайд 9

Задача 3. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис.5, рис.6) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным? Решение: Формализация. Решение полученной задачи: Максимальный объем имеет та коробка, сторона основания которой равен 2 а /3 .

Слайд 10

Я составил подобные задачи на экстремумы с национально – региональным компонентом . Задача 4. Вышка (точка В) сотовой связи оператора «Мегафон» расположена в поле на расстоянии 1 км от ближайшей точки шоссе Верхняя Иволга – Иволга (точка А). С вышки нужно велосипедисту доехать до Иволгинского дацана (точка Д), расположенного по шоссе в 4 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость велосипедиста по полю 4 км/ч, а по шоссе 5 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь Дацана? (рис.7) Решение: В – вышка. Д – Иволгинский дацан, ВСД – маршрут следования велосипедиста АВ = 1 км АД = 4 км Пусть АС = х , где 0 ≤ х ≤ 4

Слайд 11

Задача 5. Лодка находится на Карасином озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Ребята, которые катались на этой лодке, желают достигнуть лагеря « Черемушки », находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А (участок А В берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а ребята, выйдя из лодки, могут в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы ребята достигли лагеря в кратчайший срок? (рис.8) Решение: Л – лодка, Ч – лагерь « Черемушки » ЛА = 3 км АЧ = 5 км Пусть АВ = х , где 0 ≤ х ≤ 5 Ответ: Лодка должна пристать к пункту В, удаленному от лагеря « Черемушки » на расстоянии 1 км.