Этапы решения вычислительных задач
презентация к уроку по информатике и икт (9 класс) по теме

Практическое задание №13

Тема: Редактирование ЭТ и копирование формул

1. Открыть файл созданный на прошлом занятии.
2. Приведите таблицу в соответствие с Образцом 1

3. Перейти в режим отображения формул (Сервис - Параметры - закладка Вид - Формулы (поставить флажок)).

4. Удалите формулы из ячеек E4:F7.

5. Скопировать формулу из ячейки E3 в ячейки E4:E7.

6. Вернуться в режим отображения значений.

7. Скопировать формулу из ячейки F3 в ячейки F4:F7.

8. Cохранить таблицу под старым именем.

Практическое задание №14

Тема: Просмотр и редактирование ЭТ

1. Открыть файл abit.xls. Поменять размер шрифта таблицы на 12

2. Изменить ширину всех столбцов таким образом, чтобы их содержимое целиком отображалось на экране.

3. Скопировать формулу из ячейки E3 в ячейки E4:E12.

4. Скопировать формулу из ячейки F3 в ячейки F4:F12.

5. Перейти в режим отображения формул (Сервис - Параметры - закладка Вид - Формулы (поставить флажок) и определить, что произошло с формулами при копировании.

6. Вернуться в режим отображения значений.

7. Поменять оценки по математике у учеников Ореховой и Орловой на 4 и проследить за изменениями в столбцах E и F.

8. Отформатировать таблицу согласно Образцу 2  и сохранить таблицу в своей папке под соответствующим именем например 9а_Иванов_abit.

Практическое задание №15

Тема: Работа с диапазонами. Относительная адресация

Во время каникул ребята отправились путешествовать на разных видах транспорта.

Коля проплыл 50 км на пароходе, проехал 40 км на поезде и пролетел 100 км на самолете. Вася проплыл на пароходе 100 км, проехал на поезде 20 км и пролетел на самолете 60 км. Толя пролетел на самолете 200 км, проехал поездом 10 км и проплыл на пароходе 25 км. Маша проехала на поезде 30 км, пролетела на самолете 100 км и проплыла на пароходе 60 км.

1. Построить на основе вышеперечисленных данных электронную таблицу.

2. Добавить к таблице столбец, в котором будет отображаться общее количество километров, которое проехал каждый из ребят.

3. Вычислить общее количество километров, которое ребята проехали на поезде, пролетели на самолете и проплыли на пароходе (на каждом виде транспорта по отдельности).

4. Вычислить суммарное количество километров, которое дети проехали в сумме.

5. Определить максимальное и минимальное количество километров, которое дети проехали на поезде.

6. Определить среднее количество километров, которое дети проплыли на пароходе.

7. Внести в таблицу следующие изменения: Коля проехал на поезде 150 км, а Вася пролетел на самолете 200 км и выделить другим цветом ячейки, в которых произошли изменения.

8. Отсортировать таблицу по убыванию количества километров.

Практическое задание №16

Тема: Логические функции

1. Разработать  таблицу,  содержащую следующие сведения о восьми абитуриентах университета:  фамилия, оценка за экзамен по математике, оценка за экзамен по физике, сумма баллов за два экзамена. Проходной балл для поступления равен 8.

2. Добавить в таблицу столбец, в котором будет выводиться ИСТИНА, если абитуриент не имеет «троек», и ЛОЖЬ - в противном случае (использовать  логическое умножение).

3. Добавить в таблицу столбец, в котором будет выводиться ИСТИНА, если абитуриент имеет хотя бы одну «пятерку», и ЛОЖЬ в противном случае (использовать логическое сложение).

4. Добавить в таблицу столбец, в котором будет выводиться «зачислен», если сумма баллов абитуриента больше или равна проходному баллу, и  «нет»,  если сумма баллов меньше проходного балла (использовать условную функцию).

5. Определить, сколько абитуриентов было зачислено в университет (использовать функцию СЧЁТЕСЛИ).

6. Отсортировать таблицу по возрастанию суммы баллов, полученной абитуриентами.

7. Оформить таблицу с использованием различного типа границ, заливки ячеек и шрифтов.

8. Создать гистограмму, отображающую информацию о сумме баллов, набранной каждым абитуриентом.

A9 (базовый уровень, время – 2 мин)

Тема:  Построение таблиц истинности логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает   и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных  учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,, ¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

1. условные обозначения логических операций

¬ A,                 не A (отрицание, инверсия)

A  B,                 A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A  B,          A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B                         импликация (следование)

2. операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A  B или в других обозначениях  A → B = 

3. иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B                

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B                

4. если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
5. таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных
6. если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);
7. количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где  – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
8. логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)
9. логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)

Пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1)  ¬X  ¬Y  ¬Z         2) X  Y  Z        3) X  Y  Z        4) ¬X  ¬Y  ¬Z

Решение (основной вариант):

1. нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных
2. если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F
3. перепишем ответы в других обозначениях:
                    1)          2)       3)         4)
4. первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)
5. второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)
6. третье выражение,, равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)
7. наконец, четвертое выражение,  равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности
8. таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная  таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Решение (вариант 2):

1. часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности
2. в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов
3. в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации
4. выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)
5. таким образом, правильный ответ – 4

Еще пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1)  ¬X  ¬Y  ¬Z         2) X  Y  Z        3) X  ¬Y  ¬Z        4) X  ¬Y  ¬Z

Решение (вариант 2):

1. перепишем ответы в других обозначениях:
                    1)          2)       3)         4)
2. в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)
3. таким образом, правильный ответ – 3.

Задачи для тренировки^[1]:

1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  ¬Y  Z        2) X  Y  Z         3) X  Y  ¬Z         4) ¬X  Y  ¬Z 

2. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X  Y  ¬Z        2) X  Y  ¬Z         3) ¬X  ¬Y  Z         4) X  ¬Y  Z 

3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  ¬Y  Z         3) X  Y  ¬Z         4) ¬X  ¬Y  ¬Z 

4. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X  ¬Y  Z        2) ¬X  ¬Y  Z         3) X  Y  ¬Z         4) X  Y  Z 

5. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬A  ¬B)        2) A  B         3) ¬A → B         4) ¬A  ¬B 

6. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  Y  ¬Z         3) X  (Y  Z)         4) (X  Y)  ¬Z 

7. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) X  Y  Z         3) X  Y  Z         4) ¬X  ¬Y  ¬Z 

8. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬(X  Y)  Z        2) ¬(X  ¬Y)  Z   3) ¬(X  Y)  Z         4) (X  Y)  Z 

9. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  Y  ¬Z   3) X  Y  Z         4) X  Y  ¬Z 

10. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬(A  ¬B))  2) A  B         3) ¬A → B         4) ¬A  B 

11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  ¬Y  Z   3) X  Y  Z         4) X  Y  ¬Z 

12. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X  Y  Z        2) X  Y  ¬Z   3) ¬X  ¬Y  Z        4) X  ¬Y ¬ Z 

13. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X  Y  ¬Z        2) ¬X  Y  Z   3) X  ¬Y  ¬Z        4) ¬X  ¬Y  Z 

14. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X  Y  Z        2) X  ¬Y  ¬Z   3) X  ¬Y  ¬Z        4) ¬X  Y  Z 

15. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  ¬Y  Z   3) X  Y  Z        4) X  Y  ¬Z 

16. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) ¬X  ¬Y  ¬Z   3) (X  Y)  ¬Z        4) (X  Y) → Z 

17. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X  ¬Y)→ Z        2) (X  Y)→ ¬Z   3) X  (¬Y → Z)        4) X  Y  ¬Z 

18. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) (X  Y)→ ¬Z   3) (¬X  Y) Z        4) X → ¬Y  Z 

19. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X → Y)→ Z        2) X → (Y→ Z)   3) ¬X  Y → Z        4) X  Y  ¬Z 

20. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (¬X  ¬Y)  Z        2) X  Y  Z   3) (X → Y)   Z        4) X  (Y  Z) 

21. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X → Z) Y        2) X  Y  Z   3) X  Y  Z        4) X  (Y → Z) 

22. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X  Y  Z        2) (X  Y)→ ¬Z   3) (¬X  Y) Z        4) X → (¬Y  Z) 

23. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X  ¬Y)→ Z        2) (X  Y)→ ¬Z   3) X (¬Y → Z)        4) X  Y  ¬Z 

1

0

B6 (повышенный уровень, время – 8 мин)

Тема:  Решение логических задач методом рассуждений.

    Построение и преобразование логических выражений.

Что нужно знать:

• таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» (см. презентацию «Логика»)
• логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно) только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
• логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)
• правила преобразования логических выражений (слайд из презентации «Логика»):

Пример задания:

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

1. во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению:

(*) все трое прогуляли урок астрономии в первый раз

2. запишем высказывания мальчиков:

Коля:          1. Я всегда прогуливаю астрономию.

        2. Саша врет.

Саша:          1. Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша:         1. Коля говорит правду.

3. известно, что один из них все время лжет, второй – говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе – ложно; если у нас есть только одно высказывание «полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным)
4. сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией (*), сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет
5. тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй – через раз
6. Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу-лжец»
7. тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно
8. таким образом, верный ответ – СКМ  (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец» ).

Еще пример задания:

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с мальчиками. Коля сказал: «Саша всегда лжет». Саша сказал: «Коля прав». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». Например: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ.

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

1. в отличие от предыдущей задачи, здесь нет точной информации
2. у нас всего два высказывания мальчиков:

Коля:          Саша всегда лжет

Саша:          Коля прав

3. в отличие от предыдущей задачи, второе высказывание связано с первым: Сашино утверждение относится к данному конкретному высказыванию Коли, а не к честности Коли вообще
4. в такой ситуации нужно предположить, что истинно одно из высказываний и проверить, не приводит ли это к противоречию
5. предположим, что Коля сказал правду; тогда получается, что Саша (который всегда лжет) солгал и на этот раз; однако если Саша солгал, то получается, что Коля сказал неправду, то есть, мы пришли к противоречию, и Коля в самом деле солгал
6. если Коля солгал, то получается, что Саша тоже солгал, то есть, оба мальчика сказали неправду; отсюда следует, что один из них – лжец, а второй «полу-лжец», тогда как Миша (ничего не сказавший) говорит всегда правду
7. остается определить, кто из двоих (Коля или Саша) лжец, а кто – «полу-лжец»
8. с первого взгляда кажется, что это невозможно сделать, но ложные утверждения двух мальчиков разные: Коля говорит (неправду) о том, что Саша всегда лжет, а Саша говорит только о последнем (предыдущем) утверждении Коли; на этой разнице и основано решение
9. мы уже выяснили, что Коля солгал, то есть Саша не всегда лжет, он – «полу-лжец»; тогда сразу получается, что Коля – лжец
10. таким образом, верный ответ – МКС  (Миша – правдив, Коля – лжец, Саша – «полу-лжец»).

Еще пример задания:

Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

        А) Макс победит, Билл – второй;

        В) Билл – третий, Ник – первый;

        С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Решение (вариант 1, табличный метод):

1. запишем высказывания трех болельщиков в форме таблицы (заголовок строки обозначает место в турнирной таблице):

2. считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем «раскручивать» эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае – с первой)
3. предположим, что Макс действительно занял первое место, как и сказал «A»; в этом случае

• «C» ошибся, поставив на первое место Джона;
• учитывая, что каждый один раз угадал, а второй ошибся, получается, что «C» угадал, что Макс будет на четвертом месте;
• но мы предположили, что Макс – на первом месте (а не на четвертом), следовательно, получили противоречие; это значит, что Макс все-таки не на первом месте
• таким образом, в первом прогнозе «А» ошибся, это значит, что во втором он угадал, и Билл действительно занял второе место:

• так как Билл – второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза «Б» следует, что Ник – первый:

• если Ник на первом месте, там не может быть Джон, поэтому из ответов «С» (среди которых должен быть один верный, и один неверный), сразу находим, что Макс занял четвертое место:

4. осталось только определиться с Джоном – ему досталось единственное «свободное» третье место; окончательный список победителей:

1. Ник   2. Билл   3. Джон   4. Макс

5. места победителей в порядке их перечисления в тексте вопроса: Джон – 3 , Ник – 1,
   Билл – 2, Макс - 4
6. таким образом, правильный ответ 3124.

Решение (вариант 2, преобразование логических выражений):

1. применим к этой задаче формальный аппарат математической логики
2. каждый из трех болельщиков высказал два утверждения, всего получилось 6; обозначим их так:

A:   М1 = «Макс – первый»,        Б2 = «Билл – второй»

B:   Н1 = «Ник – первый»,        Б3 = «Билл – третий»

C:   Д1 = «Джон – первый»,        М4 = «Макс – четвертый»

3. теперь как-то нужно записать, что у каждого одно высказывание верно, а второе неверно; скажем, для «A» это равносильно двум следующим условиям, которые должны выполняться одновременно:

A:           М1 + Б2 = 1,        (по крайней мере одно из двух условий истинно)

        М1 · Б2 = 0        (по крайней мере одно из двух условий ложно)

аналогично для остальных болельщиков^[1]

B:           Н1 + Б3 = 1,        Н1 · Б3 = 0

С:           Д1 + М4 = 1,        Д1 · М4 = 0

4. перемножим первые условия из каждой пары; поскольку все эти суммы равны 1, получаем

(М1 + Б2) · (Н1 + Б3) · (Д1 + М4) = 1

5. раскроем произведение первых двух скобок

(М1 · Н1 + М1 · Б3 + Б2 · Н1 + Б2 · Б3) · (Д1 + М4) = 1

6. попробуем упростить «большую» скобку»; во-первых, два человека (Макс и Ник) не могут одновременно находиться на первом месте, поэтому М1 · Н1 = 0
7. во-вторых, один человек (Билл) не может одновременно находиться и на втором, и на третьем месте, поэтому Б2 · Б3 = 0, так что

(М1 · Б3 + Б2 · Н1) · (Д1 + М4) = 1

8. снова перемножим скобки и получим

М1 · Б3 · Д1 +  М1 · Б3 · М4 + Б2 · Н1 · Д1 + Б2 · Н1 · М4 = 1

9. так же, как и в п. 6-7, находим, что М1 · Д1 = 0, М1 · М4 = 0 и Н1 · Д1 = 0, так что

        Б2 · Н1 · М4 = 1         (*)

10. из последнего уравнения следует, что Б2 = 1 (Билл на втором месте), Н1 = 1 (Ник – на первом) и М4 = 1 (Макс – на четвертом), а Джону осталось третье
11. таким образом, правильный ответ 3124
12. обратите внимание, что вторые условия (М1 · Б2 = 0, Н1 · Б3 = 0 и Д1 · М4 = 0 ) мы даже нигде не использовали, все получилось «само собой», поскольку уравнение (*) имеет единственное решение.

Решение (вариант 3, метод графов^[2]):

1. каждый из трех болельщиков высказал два утверждения, всего получилось 6:

A:   «Макс – первый»,         «Билл – второй»

B:   «Ник – первый»,         «Билл – третий»

C:   «Джон – первый»,         «Макс – четвертый»

2. фактически эти утверждения обозначают связи между участниками соревнования и занятыми местами, которые можно нарисовать в виде (двудольного) графа, в первую группу вершин включим всех участников, а во вторую – места
3. высказывания болельщика А обозначим сплошной линией, высказывания болельщика B – штриховой, а высказывания болельщика С – двойной сплошной:

4. поскольку у каждого болельщика одно высказывание верно, а второе – нет, из каждой пары линий нужно оставить одну, то есть, должна остаться одна сплошная, одна штриховая и одна двойная
5. поскольку каждый участник занял ровно одно место и каждое место занято ровно одним участников, оставшиеся линии не должны соединяться концами
6. перебором находим, что единственный вариант, удовлетворяющий всем условиям, этот тот, который изображен на рисунке ниже:

7. по рисунку видно, что Ник занял первое место, Билл – второе, Макс – четвертое, а для Джона осталось третье место
8. таким образом, правильный ответ 3124

Еще пример задания:

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

– Кто это сделал? –  спросила мама.

–  Коля не бил по мячу,  – сказал Саша. –  Это сделал Ваня.

Ваня ответил:   – Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

– Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете,   рассердилась мама.   Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

– Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, –  сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

1. запишем высказывания трех мальчиков в краткой форме:

         Саша: 1. это не Коля                2. это Ваня

        Ваня: 1. это Коля                2. это не Саша

        Коля: 1. это не Ваня                

обратите внимание, что у Коли всего одно высказывание, которое «относится к делу»; то, что он сделал или не сделал уроки, никак не проясняет ситуацию с разбитой вазой

2. итак, двое мальчиков сказали правду;

• это не могут быть Саша и Ваня, потому что их первые высказывания противоречат одно другому
• это не могут быть Саша и Коля, поскольку высказывание Коли противоречит второму высказыванию Саши
• поэтому правду сказали Ваня и Коля, а Саша – соврал

3. таким образом, вазу разбил Коля

Решение (вариант 2, преобразование логических выражений):

1. применим к этой задаче формальный аппарат математической логики; введем высказывания:

С: вазу разбил Саша

В: вазу разбил Ваня

К: вазу разбил Коля

2. запишем с помощью этих обозначений утверждения мальчиков:

        Саша: 1.         2.

        Ваня: 1.         2.

        Коля: 1.

3. читаем условие: «один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду»;
4. как записать «Саша два раза солгал»? в этом случае оба его утверждения неверны,  поэтому  и , что равносильно  
5. как записать «Саша два раза сказал правду»? в этом случае оба его утверждения неверны,  поэтому  и , что равносильно
6. если Коля солгал, а Саша и Ваня сказали правду, то

 и  и

заменив «И» на умножение, получаем ; учитывая, что , получаем в левой части равенства ноль; так как в правой части – единица, этого не может быть (равенство ложно при любых значениях )

7. если Ваня солгал, а Саша и Коля сказали правду, то

 и  и

заменив «И» на умножение, получаем ; учитывая, что , получаем, что это равенство ложно при любых значениях  (этого не может быть)

8. остается последний возможный вариант: если Саша оба раза солгал, а Ваня и Коля сказали правду, то

 и  и

заменив «И» на умножение, получаем ; упростив это выражение с учетом равенств   и , получим ; то есть, при этом предположении вазу разбил Коля, а не Ваня и не Саша;

9. таким образом, вазу разбил Коля
10. при несколько измененном условии нам, возможно, пришлось бы использовать дополнительные условия  (вазу разбил только один из мальчиков, а не два и не три), но здесь они не пригодились

Решение (вариант 3, метод подбора, автор идеи – А. Сидоров, ЭПИ МИСИС):

1. запишем высказывания трех мальчиков в краткой форме:

         Саша: 1. Коля не разбивал                2. Ваня разбил

        Ваня: 1. Коля разбил                        2. Саша не разбивал

        Коля: 1. Ваня не разбивал

2. оформим эти данные в виде таблицы, где в строках записаны высказывания мальчиков, а в столбцах – информация, которая в них содержится:

Например, из первой строки следует, что Саша сказал, что вазу разбил Ваня, а Коля не разбивал.  Пустые клетки означают, что информации нет: например, Коля ничего не говорил о Саше (последняя строка).

3. подумаем, как выглядела бы таблица, если бы все мальчики сказали правду; очевидно, что все они  указали бы на одного, который и разбил вазу; это значит, что в одном столбце были бы только единицы (и, возможно, пустые ячейки), а в остальных – только нули
4. мы знаем, что один мальчик соврал, а двое остальных сказали оба раза правду; по таблице видим, что соврал Саша или Ваня, потому что в их строчках единицы стоят в разных столбцах
5. поскольку один мальчик соврал оба раза, для получения «правильной» таблицы (один столбец с единицами, а остальные – с нулями) нужно инвертировать одну строку (построить инверсию, заменить все единицы на нули и наоборот)^[3]
6. инверсия первой строчки дает такое решение (во последнем столбце все единицы, в остальных – все нули):

7. таким образом, вазу разбил Коля
8. заметим, что если инвертировать вторую строку, единицы снова оказываются в разных столбцах (в первом и во втором) поэтому этот вариант не проходит и решение единственно

Еще пример задания:

На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван.  Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что

  (1) Столяр живет правее охотника.

  (2) Врач живет левее охотника.

  (3) Скрипач живет с краю.

  (4) Скрипач живет рядом с врачом.

  (5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом.

  (6) Иван живет рядом с охотником.

  (7) Василий живет правее врача.

  (8) Василий живет через дом от Ивана.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

Эта задача представляет собой упрощенный вариант Задачи Эйнштейна^[4].

Решение (вариант 1, метод рассуждений с таблицами):

1. из условий (1) и (2) следует, что охотник живет не с краю, потому что справа от него живет столяр, а слева – врач;
2. скрипач по условию (3)  живет с краю, он может жить как слева, так и справа от них:

3. по условию (4) скрипач живет рядом с врачом, поэтому он занимает крайний дом слева:

4. профессии жильцов определили, остается разобраться с именами
5. из условия (5) «Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом» следует, что Семен – охотник или столяр:

6. из условия (6) «Иван живет рядом с охотником» следует, что он – врач или столяр:

7. из условия (7) «Василий живет правее врача» определяем, что Василий – охотник или столяр

8. из условия (8) «Василий живет через дом от Ивана» находим, что Иван – врач, а Василий –столяр:

9. тогда сразу получается, что Семен – охотник, а Геннадий должен занять оставшееся свободное место, он – скрипач:

10. таким образом, ответ ГИСВ

Решение (вариант 2, метод рассуждений с таблицами):

1. пронумеруем дома слева направо (от 1 до 4);
2. находим наиболее точное условие: это условие (3) «Скрипач живет с краю»; таким образом, скрипач может жить в доме 1 или в доме 4

3. по условию (4) скрипач живет рядом с врачом, но врач живет левее охотника (условие (2)), поэтому скрипач не может жить в доме (4), так как тогда получается врач, живущий с ним рядом, живет правее охотника, что противоречит условию (2); таким образом, скрипач живет в доме 1, а врач – рядом с ним

4. из условий (1) и (2) следует, что в домах 3 и 4 живут соответственно охотник и столяр

5. далее можно рассуждать так же, как и в предыдущем варианте решения
6. таким образом, ответ ГИСВ

Еще пример задания:

В состав экспедиции входят Ренат, Сергей и Виктор. На обсуждении распределения обязанностей с руководителем проекта были высказаны предположения, что командиром будет назначен Ренат, Сергей не будет механиком, а Виктор будет утвержден радистом, но командиром не будет.

Позже выяснилось, что только одно из этих четырех утверждений оказалось верным. Перечислите, кто занял должности командира, механика и радиста, записав первые буквы имен членов экипажа в указанном порядке.

Решение (метод рассуждений с таблицами):

1. будем использовать первые буквы названий должностей: К – командир, М – механик, Р – радист
2. запишем высказывания в виде таблицы:

3. сразу заметим, что высказывание 3 (Виктор – радист) неверно, потому что иначе оказывается верным и высказывание 4, чего не может быть по условию (верно только одно высказывание)
4. если Ренат – командир (высказывание 1 верно), то остальные высказывания – неверны; поэтому Сергей – механик (из 2) и Виктор – не радист (из 3), а командир; но тогда получается, что некому быть радистом и в экипаже 2 командира; значит, это предположение неверно
5. теперь предположим, что Сергей – не механик; отсюда следует, что Ренат – не командир (из 1), а Виктор – командир (из 4) и не радист (из 3); это может быть, если Ренат – механик, а Сергей – радист; скорее всего, мы получили правильный ответ ВРС (Виктор – командир, Ренат – механик, Сергей – радист)
6. на всякий случай проверим последний вариант – предположим, что Виктор – не командир (высказывание 4 истинно, а остальные – ложны); сразу получаем, что Виктор – не радист (из 3), Сергей – механик (из 2), а Ренат – не командир (из 1); в этом случае два претендента на должность механика (Сергей и Виктор), а командира нет вообще, поэтому это неверный вариант
7. таким образом, правильный ответ – ВРС 

Еще пример задания:

Восемь школьников оставались в классе на перемене, и один из них разбил окно. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы:

  Егор: «Разбил Андрей»!

  Света: «Вика разбила»!

  Оля: «Разбила Света».

  Миша: «Это кто-то с улицы»!

  Надя: «Да, Оля права».

  Коля: «Это либо Вика, либо Света»!

  Андрей: «Ни Вика, ни Света этого не делали»!

  Вика: «Андрей не бил»!

Кто разбил окно, если известно, что из этих высказываний истинно ровно три. Ответ запишите в виде первой буквы имени.

Решение (табличный метод):

1. заметим, что по условию высказывание Миши («Это кто-то с улицы») заведомо ложно, поскольку окно разбил кто-то из перечисленных детей, поэтому его можно вообще не учитывать
2. проще всего решить эту задачу с помощью таблицы; в первом столбце запишем все высказывания, а в остальных будем отмечать, истинно высказывание или ложно (1 или 0), если окно разбил ученик, имя которого записано в заголовке столбца
3. например, если предположить что окно разбил Егор, получается так:

видим, что истинны только два высказывания, а не три (как нужно по условию); следовательно, это не Егор

4. строим таблицу для случаев, предполагая, что окно разбила Света, затем – Оля и т.д.:

5. только в последнем столбце ровно три единицы (три высказывания истинны), поэтому окно разбила Вика
6. таким образом, ответ – В.

Еще пример задания^[5]:

В бюро переводов приняли на работу троих сотрудников: Диму, Сашу и Юру. Каждый из них знает ровно два иностранных языка из следующего  набора: немецкий, японский, шведский, японский, китайский, французский и греческий. Известно, что

   (1) Ни Дима, ни Юра не знают японского

   (2) Переводчик со шведского старше переводчика с немецкого

   (3) Переводчик с китайского, переводчик с французского и Саша родом из одного города

   (4) Переводчик с греческого, переводчик с немецкого и Юра учились втроем в одном    
        институте

   (5) Дима – самый молодой из всех троих, и он не знает греческого

   (6)  Юра знает два европейских языка

В ответе запишите первую букву имени переводчика со шведского  языка и, через запятую, первую букву имени переводчика с китайского языка.

Решение (табличный метод):

1. составим таблицу, где каждая строка соответствует переводчику, а столбец – языку

2. знание языка будем отмечать в таблице единицей, а незнание – нулем
3. по условию каждый переводчик знает ровно 2 языка, поэтому в каждой строке должно быть две единицы;
4. также по условию каждый язык знает только один переводчик, поэтому в каждом столбце должна быть только одна единица
5. из (1) следует, что японский знает Саша

6. из (2) и (5) следует, что Дима не знает ни шведского, ни греческого:

7. из (3) следует, что Саша не знает ни китайского, ни французского:

8. из (4) следует, что Юра не знает ни греческого, ни немецкого; отсюда сразу следует, что греческий знает Саша; поскольку он знает всего два языка, немецкий и шведский он не знает:

9. далее сразу получаем, что Дима знает немецкий, а Юра – шведский:

10. из (6) находим, что второй (европейский!) язык Юры – французский; тогда Диме остается китайский:

11. таким образом, ответ Ю,Д

Еще пример задания:

На кольцевой трассе автогонок расположены 4 препятствия («болото», «трамплин», «крутой поворот», «скользкая дорога»). В судейском протоколе 4 этапа обозначены буквами А, Б, В, Г. Известно, что этап Б расположен между этапом А и «крутым поворотом». Этап В – это не «крутой поворот» и не «скользкая дорога». Он расположен между этапами «трамплин» и Г. Установите соответствие между этапами.

В ответ запишите, какими буквами в судейском протоколе обозначены соответственно этапы «болото», «трамплин», «крутой поворот», «скользкая дорога». (Например, если этап «болото» обозначен буквой А, этап «трамплин» – буквой Б, этап «крутой поворот» – В, а этап «скользкая дорога» – Г, то в ответ нужно записать АБВГ)

Решение (табличный метод):

1. обратим внимание, что трасса кольцевая, это будет важно!
2. выделим явно полезную информацию в виде высказываний:

(1) этап Б расположен между этапом А и «крутым поворотом»

(2) этап В – это не «крутой поворот» и не «скользкая дорога»

(3) этап В расположен между этапами «трамплин» и Г

3. составим таблицу, где каждая строка соответствует букве-обозначению, а столбец – препятствию
4. из (1) следует, что «крутой поворот» – это не А и не Б

5. из (2) следует, что «крутой поворот»  и «скользкая дорога» – это не В, поэтому «крутой поворот обозначается буквой Г:

6. из (3) следует, что В – это не трамплин, отсюда сразу получаем, что В – болото:

7. осталось неясно, где трамплин, а где скользкая дорога; для этого нужно использовать информацию о том, какие этапы где расположены (между чем и чем);
8. из (1) следует, что этап Б расположен между А и Г, поэтому схема должна быть такой (или зеркально симметричной, но это не меняет дела):

9. из (3) следует, что этап В расположен между этапами «трамплин» и Г, поэтому (с учетом кольца!) этап А – это трамплин, тогда получается, что Б – это скользкая дорога:

10. таким образом, ответ – ВАГБ.

Еще пример задания:

Три ученика, Саша, Коля и Вова, прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, они ответили следующее:

  Саша: «Я никогда не призывал к прогулу, это была идея Коли».

  Коля: «Я никогда не предложил бы это первым, во всем виноват Вова».

  Вова: «Эта идея пришла в голову Коле. Я просто пошел за компанию».

Внутренним чутьем учитель почувствовал, что двое учеников говорят правду наполовину, а один – лжет. Кто из учеников был инициатором прогула? Ответ дайте в виде первой буквы имени.

Решение (вариант 1, метод рассуждений):

1. у каждого мальчика два высказывания, запишем их в более формальном виде:

Саша:          1. Это не Саша.         2. Это Коля.

Коля:        1. Это не Коля.         2. Это Вова.

Вова:           1. Это Коля.                 2. Это не Вова.

2. теперь предположим, что зачинщик – Саша; составим таблицу, где отметим истинность каждого высказывания единицей, а ложность – нулем:

3. этот вариант уже подходит, потому что Саша оба раза солгал, а остальные сказали один раз правду, а второй – нет;
4. на всякий случай проверяем остальные варианты

5. таким образом, Саша первым предложил прогулять урок, ответ – С.

Задачи для тренировки^[6]:

1. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.  Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

2. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

3. Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили:

Анна:        моего малыша зовут Денис, а Кирилл – сын Ирины.

Ирина:        моего сыночка зовут Максим, а Кирилл – сын Анны.

Ольга:        мой мальчик – Кирилл, а сына Анны зовут Максим.

Каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги? В ответе перечислите подряд без пробелов буквы, соответствующие именам мальчиков

в указанном порядке имен их мам, например КМД.

4. В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли: Дима, Катя, Миша и Нина. И конечно, болельщики высказывали свои предположения о распределении мест во втором, финальном туре. Один считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым. Другой болельщик выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место достанется Нине. Третий же был уверен в том, что Катя займет третье место, а на втором месте будет Дима. В результате оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какие места заняли Дима, Катя, Миша, Нина? В ответе перечислите подряд без пробелов числа,  соответствующие местам в указанном порядке имен.

5. Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорей всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька, и каков ее вес? В ответе запишите первую букву названия металла, а затем цифру, соответствующую весу гирьки, например, Л4.

6. Три ученика из разных школ на вопрос, в какой школе учатся, ответили:

Артем:              я учусь в школе №534, а Кирилл – в школе №76.

Кирилл:             я учусь в школе №534, а Артем – в школе №105.

Максим:            я учусь в школе №534, а Артем – в школе №76.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. В каких школах учатся Артем, Кирилл и Максим? В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие номерам школ

в указанном порядке имен, например 53410576.

7. На перекрестке произошло дорожно-транспортное происшествие, в котором участвовали автобус (А), грузовик (Г), легковой автомобиль (Л) и маршрутное такси (М). Свидетели происшествия дали показания инспектору ГИБДД. Первый свидетель считал, что первым на перекресток выехал автобус, а маршрутное такси было вторым. Другой свидетель полагал, что последним на перекресток выехал легковой автомобиль, а вторым был грузовик. Третий свидетель уверял, что автобус выехал на перекресток вторым, а следом за ним – легковой автомобиль. В результате оказалось, что каждый из свидетелей был прав только в одном из своих утверждений. В каком порядке выехали машины на перекресток? В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий транспортных средств в порядке их выезда на перекресток, например АМЛГ.

8. Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере встречи выпускников, решили разыграть своего товарища. На его вопрос, где они теперь живут, друзья ответили:

Олег:        я живу в Екатеринбурге, а Борис - в Мурманске.

Борис:        я живу в Волгограде, а Олег - в Мурманске.

Арсений:         я живу в Мурманске, а Олег - в Волгограде.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. Где живут Арсений, Борис и Олег? В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном порядке, например ВМЕ.

9. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с мальчиками. Саша сказал: «Коля всегда говорит правду». Коля сказал: «Саша лжет». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». Например: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ.

10. Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:

Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!»

Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины. Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени.

11. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Алексей, Егор, Виктор и Михаил.  Известно, что все они имеют разные профессии: рыбак, пчеловод, фермер и ветеринар. Известно, что

  (1) Фермер живет правее пчеловода.

  (2) Рыбак живет правее фермера.

  (3) Ветеринар живет рядом с рыбаком.

  (4) Рыбак живет через дом от пчеловода.

  (5) Алексей живет правее фермера.

  (6) Виктор – не пчеловод.

  (7) Егор живет рядом с рыбаком.

  (8) Виктор живет правее Алексея.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

12. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что у них у всех разные профессии: пекарь, слесарь, химик и физик, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) У физика два соседа.

(2) Химик живет левее пекаря.

(3) Слесарь живет с краю.

(4) Химик живет рядом со слесарем.

(5) Алексей живет левее физика.

(6) Виктор — не пекарь.

(7) Михаил живет рядом с химиком.

(8) Виктор живет рядом со слесарем.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

13. На судне рядом расположены 4 каюты, в которых живут 4 матроса: Виталий, Степан, Федот и Игнат. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих морских профессий: моторист, рулевой, врач и кок, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в какой каюте живет. Однако, известно, что:

(1) Врач живет рядом с коком.

(2) Кок живет правее рулевого.

(3) Моторист живет рядом с врачом и рулевым.

(4) Виталий живет рядом с мотористом.

(5) Степан не живет рядом с врачом.

(6) Игнат живет левее Виталия.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех кают слева направо. Например, если бы в каютах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

14. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Токарь живет левее Столяра

(2) Хирург живет правее Окулиста

(3) Окулист живет рядом со Столяром

(4) Токарь живет не рядом со Столяром

(5) Виктор живет правее Окулиста

(6) Михаил не Токарь

(7) Егор живет рядом со Столяром

(8) Виктор живет левее Егора

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Николай, Роман и Олег, ответ был бы: КНРО.

15. На олимпиаде по информатике участвовало пятеро учеников: Вася (В), Гриша (Г), Иван (И), Саша (С) и Юра (Ю). Об итогах олимпиады имеется 5 высказываний:

(1) Выиграл Вася, а Юра поднялся на второе место.

(2) Саша занял только второе место, а Вася был последним.

(3) Второе место занял Иван, а Гриша оказался третьим.

(4) На первом месте был Гриша, а Юра был четвертым.

(5) Юра был четвертым, а Иван вторым.

Известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а второе – нет. Определите, кто занял второе место и на каком месте был Иван. Ответ запишите в виде первой буквы имени второго призера и, через запятую, места, занятого Иваном.

16. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учениц, одна из которых всегда говорит правду, другая всегда лжет, а третья говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Катя, Соня и Маша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с девочками. Маша сказала: «Катя никогда не обманывает. А вот от Сони, наоборот, никогда не услышишь правды». Катя сказала: «Маша говорит про меня правду». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен девочек в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». Например: если бы имена мальчиков были Рита, Тая и Валя, ответ мог бы быть: РТВ.

17. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Иван, Борис, Михаил и Андрей. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Врач, Учитель, Слесарь и Парикмахер, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Слесарь живет левее Учителя

(2) Парикмахер живет правее Учителя

(3) Врач живет с краю

(4) Врач живет рядом с Парикмахером

(5) Борис не Врач и не живет рядом с Врачом

(6) Андрей живет рядом с Учителем

(7) Иван живет левее Парикмахера

(8) Иван живет через дом от Андрея

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде пар заглавных букв «Профессия-Имя», разделенных запятыми, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Врач Константин, Учитель Николай, Слесарь Роман и Парикмахер Олег, ответ был бы: ВК,УН,СР,ПО.

18. В бюро переводов приняли на работу троих сотрудников: Ивана, Антона и Петра. Каждый из них знает ровно два иностранных языка из следующего  набора: немецкий, японский, шведский, японский, китайский, французский и греческий. Известно, что

(1) Петр – самый высокий

(2) Переводчик с французского ниже ростом переводчика со шведского

(3) Переводчик со шведского, переводчик с французского и Антон родом из одного города

(4) Переводчик с японского, переводчик с китайского и Петр учились втроем в одном институте

(5) Антон не знает ни китайского, ни греческого

В ответе запишите первую букву имени переводчика с немецкого языка и, через запятую, первую букву имени переводчика с греческого языка.

19. Пять человек (Артур, Максим, Настя, Олег и Рита) убирались кабинете. Когда учитель их спросила, кто догадался протереть подоконники, ученики ответили следующее:

Максим: «Ни я, ни Олег подоконники не мыли».

Артур: «Их помыли Максим или Настя».

Рита: «Один из ребят сказал правду, а другой обманул».

Олег: «Нет, Рита, ты не права».

Настя: «Это был Олег».

Учитель знает, что трое учеников всегда говорят правду, а двое лгут. Кто протер подоконники? (в ответе укажите имя ученика).

20. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Семен, Николай, Артур и Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Врач, Художник, Егерь и Тренер, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Врач живет левее Егеря

(2) Художник живет рядом с Тренером

(3) Художник живет правее Врача

(4) Тренер живет рядом с Врачом

(5) Артур живет правее Тренера

(6) Семен живет через дом от Николая

(7) Роман живет правее Семена

(8) Николай – не Врач

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Тарас, Руслан и Олег, ответ был бы: КТРО.

21. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Семен, Николай, Артур и Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Врач, Художник, Егерь и Тренер, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Художник живет рядом с Тренером

(2) Врач живет рядом с Художником

(3) Егерь живет левее Врача

(4) Тренер живет не рядом с Егерем

(5) Художник живет правее Семена

(6) Роман – не Тренер

(7) Семен живет рядом с Николаем

(8) Артур живет не рядом с Романом

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Тарас, Руслан и Олег, ответ был бы: КТРО.

22. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Семен, Николай, Артур и Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Врач, Художник, Егерь и Тренер, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Егерь живет левее Тренера

(2) Врач живет правее Тренера

(3) Художник живет не с краю

(4) Егерь живет рядом с Художником

(5) Роман живет рядом с Тренером

(6) Семен – не Егерь

(7) Артур живет правее Романа

(8) Семен живет не рядом с Романом

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Тарас, Руслан и Олег, ответ был бы: КТРО.

23. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Семен, Николай, Артур и Роман. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Врач, Художник, Егерь и Тренер, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

(1) Врач живет с краю

(2) Тренер живет левее Егеря

(3) Художник живет рядом с Врачом

(4) Врач живет левее Художника

(5) Роман живет правее Семена

(6) Роман живет левее Тренера

(7) Артур – не Егерь

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Тарас, Руслан и Олег, ответ был бы: КТРО.

24. Три ученика, Саша, Коля и Вова, прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, они ответили следующее:

  Саша: «Я никогда не призывал к прогулу, это была идея Коли».

  Коля: «Я никогда не предложил бы это первым, во всем виноват Вова».

  Вова: «Эта идея пришла в голову Коле. Я просто пошел за компанию».

Внутренним чутьем учитель почувствовал, что один ученик говорит правду, второй говорит правду только наполовину, а третий – лжет. Кто из учеников был инициатором прогула? Ответ дайте в виде первой буквы имени.

25. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок труда. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал труд. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда лгу». Миша сказал: «Коля прав». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

A8 (базовый уровень, время – 1 мин)

Тема:  Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает   и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных  учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,, ¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

1. условные обозначения логических операций

¬ A,                 не A (отрицание, инверсия)

A  B,                 A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A  B,          A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B                         импликация (следование)

2. операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A  B или в других обозначениях  A → B = 

3. если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
4. правила преобразования логических выражений (слайд из презентации «Логика»):

5. фактически это задание на применение законов де Моргана (хотя об этом нигде не говорится):

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B                

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B                

Пример задания:

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A  ¬(¬B  C).

1)  ¬A  ¬B  ¬C         2) A  ¬B  ¬C        3) A  B  ¬C        4) A  ¬B  C

Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):

1. перепишем заданное выражение и ответы в других обозначениях:
   заданное выражение
   ответы: 1)      2)         3)         4)
2. посмотрев на заданное выражение, видим инверсию (операцию «НЕ») для сложного выражения в скобках, которую раскрываем по формуле де Моргана,

а затем используем закон двойного отрицания по которому :

3. таким образом, правильный ответ – 3 .

Решение (вариант 2, через таблицы истинности, если забыли формулы де Моргана):

1. перепишем заданное выражение в других обозначениях:
   заданное выражение
   ответы: 1)      2)         3)         4)
2. для доказательства равносильности двух логических выражений достаточно показать, что они принимают равные значения при всех возможных комбинациях исходных данных; поэтому можно составить таблицы истинности для исходного выражения и всех ответов и сравнить их
3. здесь 3 переменных, каждая из которых принимает два возможных  значения (всего 8 вариантов, которые в таблице истинности записывают по возрастанию двоичных кодов – см. презентацию «Логика»)
4. исходное выражение  истинно только тогда, когда  и , то есть только при . (в таблице истинности одна единица, остальные – нули)
5. выражение  истинно, если хотя бы одна из переменных равна нулю, то есть, оно будет ложно только при  (в таблице истинности один нуль, остальные – единицы)
6. аналогично выражение  ложно только при , а в остальных случаях – истинно
7. выражение  истинно только при , а в остальных случаях – ложно
8. выражение  истинно только при , а в остальных случаях – ложно
9. объединяя все эти результаты в таблицу, получаем:

10. видим, что таблицы истинности исходного выражения и  совпали во всех строчках
11. таким образом, правильный ответ – 3 .