Математические модели в биологии
план-конспект по информатике и икт на тему

БИОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ПОПУЛЯЦИЙ

В биологии при исследовании развития биосистем строятся динамические модели изменения численности популяций различных живых существ (бактерий, рыб, животных и пр.) с учетом различных факторов. Взаимовлияние популяций рассматривается в моделях типа «хищник-жертва».

Формальная модель. Изучение динамики численности популяций естественно начать с простейшей модели неограниченного роста, в которой численность популяции ежегодно увеличивается на определенный процент. Математическую модель можно записать с помощью рекуррентной формулы, связывающей численность популяции следующего года с численностью популяции текущего года, с использованием коэффициента роста а:

xn+1=a*xn.

Например, если ежегодный прирост численности популяции составляет 5%, то а = 1,05. В модели ограниченного роста учитывается эффект перенаселенности, связанный с нехваткой питания, болезнями и так далее, который замедляет рост популяции с увеличением ее численности. Введем коэффициент перенаселенности b, значение которого обычно существенно меньше а (b<<а).

Тогда коэффициент ежегодного увеличения численности равен (а - b*хn) и формула принимает вид:

Xn+1=(a-b*xn)*xn.

В модели ограниченного роста с отловом учитывается, что на численность популяций промысловых животных и рыб оказывает влияние величина ежегодного отлова. Если величина ежегодного отлова равна с, то формула принимает вид:

Xn+1=(a-b*xn)*xn-c.

Популяции обычно существуют не изолированно, а во взаимодействии с другими популяциями. Наиболее важным типом такого взаимодействия является взаимодействие между жертвами и хищниками (например, караси-щуки, зайцы-волки и так далее). В модели «хищник-жертва» количество жертв Xn и количество хищников Yn связаны между собой

Количество встреч жертв с хищниками можно считать пропорциональным произведению количеств жертв и хищников, а коэффициент f характеризует возможность гибели жертвы при встрече с хищниками. В этом случае численность популяции жертв ежегодно уменьшается на величину f·xn·уn и формула для расчета численности жертв принимает вид:

Xn+1=(a-b*xn)*xn-c-f*xn*yn.

Численность популяции хищников в отсутствие жертв (в связи с отсутствием пищи) уменьшается, что можно описать рекуррентной формулой

Yn+1=d*yn.

где значение коэффициента d < 1 характеризует скорость уменьшения численности популяции хищников. Увеличение популяции хищников можно считать пропорциональной произведению собственно количеств жертв и хищников, а коэффициент е характеризует величину роста численности хищников за счет жертв. Тогда для численности хищников можно использовать формулу: Yn+1=d*yn+g*xn*yn.

Компьютерная модель. Построим в электронных таблицах компьютерную модель, позволяющую исследовать численность популяций с использованием различных моделей: неограниченного роста, ограниченного роста, ограниченного роста с отловом и«хищник—жертва».

Рост численности популяций

1. В ячейки В3 и В6 внести начальные значения численности популяций жертв и хищников. В ячейки В2:В5 внести значения коэффициентов а, b, с и f, влияющих на изменение численности жертв. В ячейки В8 и В9 внести значения коэффициентов d и g, влияющих на изменение численности хищников.

В столбце D будем вычислять численность популяции в соответствии с моделью неограниченного роста, в столбце Е – ограниченного роста, в столбце F – ограниченного роста с отловом, в столбцах G и H – “хищник - жертва”.

2.  В ячейки D2, E2, F2 и G2 внести значения начальной численности популяций жертв, в ячейку H1 – хищников.  В ячейку D3 внести рекуррентную формулу неограниченного роста =$B$3*D2.

       В ячейку Е3  внести рекуррентную формулу ограниченного роста =($D$3-$B$4*E2)*E2

       В ячейку F3 внести рекуррентную формулу ограниченного роста с отловом =($B$3-$B$4*F2)*F2-$B$5

       В ячейку  G3 внести рекуррентную формулу изменения количества жертв =($B$3-$B$4*G2)*G2-$B$5-$B$6*G2*H2

       В ячейку Н3 внести рекуррентную формулу изменения количества хищников =$B$8*H2+$B$9*G2*H2

3.    Скопировать внесенные формулы в ячейки столбцов командой [Правка – Заполнить – Вниз].

        В ячейках столбцов ознакомиться с динамикой численности популяций.

         Для визуализации компьютерной модели постройте графики изменения популяций с течением времени.

4. Выделить столбцы данных и построить диаграмму типа График. Появятся графики изменения численности популяций в соответствии с моделями неограниченного роста, ограниченного роста, ограниченного роста с отловом, моделью хищник – жертва.

Исследование модели. Изменяя значения начальных численностей популяций, а также коэффициенты, можно получать различные варианты изменения численности популяций с течением времени.