Факультативный курс по комбинаторике, теории вероятностей и статистике
методическая разработка по математике

Факультативный курс по комбинаторике,

теории вероятностей и статистике

                                          Учитель:      Нимаева Л.Б.

БадмажаповаГ.Г.

Жигжитова  О.Б.

                                                             СОШ № 3     Кяхта

Факультативный курс

 «Комбинаторика. Основы теории вероятностей. Статистика» составлен на основе Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5 – 11 кл, Сост. Г.М.Кузнецова, Н. Г. Миндюк. 4 –е изд, М, Дрофа, 2004.-320 с.

Учебник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра

Элементы статистики и теории вероятностей.

Учебное пособие для учащихся , М. Просвещение, 2004 г.

Дополнительная литература: Виленкин Н.Я Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей, М Просвещение

Пояснительная записка.

В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников. Обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.

Государственным стандартом образования предусмотрен  обязательный минимум, и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

 Для основного общего образования, по теме – Элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей на данный момент установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

         Целью факультативного курса «Комбинаторика. Основы теории вероятностей. Статистика» является формирование у школьников основных комбинаторных и вероятностных представлений об окружающем мире и математических законах их объясняющих, ознакомление учащихся с миром случайного, ознакомление с основными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики, с помощью которых можно анализировать и решать прикладные задачи.

      Задачи курса: 

научить составлять различные комбинации из элементов;

научить подсчитывать число комбинаций;  

видеть применение комбинаторных методов в различных областях знаний;

 видеть случайные события в повседневной жизни;  

научить измерять частоту наступления случайного события;

 знать закономерности теории вероятностей;  

научить ранжировать экспериментальные данные по признаку;

 строить гистограммы;

 вычислять характеристики выборки, развивать умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы;

 развивать логическое мышление  учащихся через межпредметные связи;

 формировать практические навыки научно - исследовательской деятельности,  оказать учащимся педагогическую поддержку в выборе

       профессии и дальнейшего продолжения образования после окончания     средней школы.

Требования к уровню подготовки выпускника:

В результате изучения курса ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов. В результате изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей     учащийся должен уметь:

Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.

Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.

Вычислять среднее значения результатов измерений

Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные

Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц

Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов

Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией

Понимание статистических утверждений

 Факультативный курс «Комбинаторика. Основы теории вероятностей. Статистика» разработан для учащихся 8-9 классов в объёме 34 часа с целью ознакомления учащихся с законами, которые объясняют наступление случайных событий, и статистическими методами обработки больших объёмов информации. Данный курс поможет ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, поможет ученику найти своё призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки. Динамика интереса к курсу будет идти через межпредметные связи. Изучение данного курса способствует развитию комбинаторного мышления учащихся и расширению кругозора. На факультативных занятиях будут рассмотрены игровые, занимательные и практические задачи, решения которых позволят сделать соответствующие выводы о распределении случайных событий и математических методах их объяснения. На основе игровых и занимательных задач будут изложены теоретические понятия курса, что позволяет избежать трудности  восприятия новых, сложных понятий и расширить возможности обучения учащихся. Подбор содержания материала соответствует возрастным особенностям учащихся, их интересам и возможностям. 

 Ожидаемые результаты

После изучения курса учащиеся должны:

Знать основные понятия комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.

Вычислять факториал и выполнять действия с ним;  составлять комбинации из элементов;  

Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами.

Видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи.

Уметь представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий.

Уметь использовать приближенные формулы для вычисления вероятностей.

Уметь находить числовые характеристики случайных величин.

Уметь решать простейшие задачи математической статистики, комбинаторики.

Уметь обрабатывать  полученные результаты.

Содержание курса факультатива разбито на 3 раздела:

1 раздел:  Комбинаторика

     Некоторые сведения из комбинаторики. Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения. Факториал. Основные комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания. Упражнения по комбинаторике.  Примеры комбинаторных задач. Перемножение возможностей. Задачи, закрепляющие правило перемножения возможностей без применения формул. Решение задач несколькими способами для понимания понятий: графы, перебор вариантов (дерево возможных вариантов), перестановки. Задачи, приводимые к подсчету перестановок элементов конечного множества. Формула Рn=n!. Задачи на применение формул. Размещение. Задачи на способы выбора из n лиц m должностей, задачи на группировки из n предметов по m штук. Формула размещения. Сочетание. Задачи, показывающие разницу между сочетанием и размещением. Задачи на сочетание из n предметов по m штук. Формула. Задача на применение формулы. Треугольник Паскаля для счета коэффициентов сочетания.

В результате изучения элементов комбинаторики ученики получают                 возможность решать задачи следующих типов.

В танцевальном кружке занимаются 5 мальчиков и 4 девочки. Руководитель хочет отобрать пару, состоящую из одного мальчика и одной девочки, для участия в соревнованиях. Сколько он должен просмотреть таких пар, чтобы выбрать лучшую, по его мнению, пару?

Азбука некоторого языка содержит 25 букв. Словом будем называть любую последовательность букв. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв  языка этого племени?

Азбука племени Гав-Гав содержит три буквы Любое «слово» языка этого племени содержит любое количество этих букв, но не больше четырех. Сколько слов можно образовать из букв языки этого племени?

Каких трехзначных чисел больше: состоящих из разных цифр или тех, которые содержат, по крайней мере, две одинаковые цифры?

В распоряжении агрохимика есть шесть разных типов минеральных удобрений. Он изучает влияние каждой тройки удобрений на урожай на опытном участке, площадь которого 1 га. Какой должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно?

На протяжении недели в классе дежурят шесть назначенных учащихся. Сколькими способами можно составить расписание дежурства на шесть дней недели так, чтобы ежедневно дежурил один ученик и ни один ученик не дежурил дважды?

Проводится такая игра. Из коробочки, содержащей три белых и два красных шарика, наугад вынимаются два шарика. Ведущий перед извлечением принимает от зрителей ставки на число вынутых белых шариков. На сколько белых шариков вы поставите?

2 раздел: Основы теории вероятностей

Второй раздел посвящён основам теории вероятностей, вводится понятие случайного события, его достоверности и невозможности. Центральная теорема – правило перемножения возможностей разбирается и закрепляется на многих примерах для полного понимания и усвоения учащиеся учатся вычислять вероятность наступления события, применяют теоремы сложения и умножения вероятностей, используя при этом знания комбинаторики. Рассматривается статистическое и геометрическое определение вероятности, вероятности противоположного события. Операции над событиями. Возможность появления некоторого события, частота появления. Вероятность как мера возможного появления события. Формула вероятности.

    В результате изучения основ теории вероятностей ученики получают возможность решать задачи следующих типов.

1. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором - 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

В семье двое детей. Принимая равновероятность рождения мальчика и девочки, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.

4.В первой коробке содержится 12 ламп, из них 8 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята

лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

          5. При транспортировке из 1 000 дынь испортилось 5. Чему равна          относительная частота испорченных дынь?

3 Раздел: Элементы статистики

В третьем разделе учащиеся знакомятся с понятием выборки и ее характеристикам. Учащиеся учатся представлять данные в виде ранжированных таблиц, гистограмм и находить числовые характеристики выборок: моду, медиану, среднее выборочное, знакомятся с формулой Бернулли.  В процессе занятий учащиеся получают новые знания, развивают логику и творческие способности, повышают культуру мышления и познавательный интерес.

В результате изучения элементов статистики  ученики получают возможность решать задачи следующих типов.

1. Средний рост девочек класса, где учится Маша, равен 160 см.Рост Маши 163 см.Какое из следующих утверждений верно?

1) В классе все девочки, кроме Маши , имеют рост 160 см.

                  2) В классе обязательно есть девочка ростом 160 см.

    2   В коробке 100 шаров белого и черного цвета. Из нее 60 раз вынули шар,                            возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько белых шаров в коробке?

3  Включая в течение месяца телевизор около 150 раз, Вова в 30 случаях попадал на рекламу. Какой процент от времени телевизионных трансляций занимает реклама?

4  В Москве около 10млн. жителей. Сколько жителей Москвы празднуют свой день рождения 1 января?

5  Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на

один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?

Тематическое планирование

Литература

1. Виленкин Н.Л. Индукция. Комбинаторика., М; Просвещение ,2004 .
2. Виленкин Н.Л. Популярная комбинаторика, М; Наука ,2004
3.  Глеман М, Варга. Вероятность в играх и развлечениях , Просвещение, 2003
4.  Гитман Е.Г. Цылова Е.Г. Введение в комбинаторику теорию вероятностей .Г Пермь, 1999.  
5. Кибирев В.В.Теория вероятностей с элементами комбинаторики: Учебное пособие- Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2006-132с.
6. Лютикас В.С."Школьнику о теории вероятностей", учебное пособие для учащихся. Москва "Просвещение" 2005, Издание 2-е, дополненное.
7. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред.     М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. – 2004. – №5.
9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Элементы комбинаторики. // Математика в школе. – 2004. – №6.
10. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Просвещение, 2000.
11. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Дрофа, 1997.
12. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. – 2004. – №7.

Содержание приложения

Дидактические материалы по темам:

Раздел 1.

1. Комбинаторика. Основные понятия (конспект урока). Разбор заданий.
2. Задания для самостоятельной работы.
3. Таблица значений  n !
4. Таблица значений    и .                          
5. Факториал. Задания на закрепление факториала.
6.  Самостоятельная работа (1-2 варианты)
7. Перестановки без повторений. (задачи с решениями)
8. Перестановки с повторениями. (задачи с решениями)
9. Размещение без повторений. (задачи с решениями)
10. Размещения с повторениями. (задачи с решениями)
11. Сочетания без повторений. (задачи с решениями)
12. Сочетания с повторениями. (задачи с решениями)
13. Карточки для индивидуальной работы.

Раздел 2.

Понятие вероятности. Операции над вероятностями.  (Конспект урока)

Тренировочные задания.

2.Практическое занятие №1,  №2.

3 Тесты по комбинаторике и теории вероятностей  (1, 2 варианты с ответами)

4.Контрольная работа по теории вероятностей  ( 1, 2 варианты)

Раздел 3.

1.Основные понятия статистики.

Статистическое распределение выборки.

2 Числовые характеристики статистического распределения.

Задачи для самостоятельной работы.

3.Статистическое оценивание и прогноз.

4.Контрольный тест.

5 Задания контрольно-измерительных работ ГИА 2008-2010  г.

Комбинаторика . Основные понятия.

Вводная беседа

       Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в 16 веке. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и развивающейся одновременно с ней теории вероятностей. Одним  из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Николо Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в 17 веке французские ученые Блез Паскаль и Пьер Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именем Якова Бернулли, Лейбница, Эйлера. Однако у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.)

     За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития.Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать  число возможных способов расположения некоторых предметов или число возможных способов  осуществления некоторого действия.

Герой русских былин и сказок, богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читал на камне: «Вперёд поедешь - голову сложишь, направо поедешь - коня потеряешь, налево поедешь - меча лишишься». Потом же повествовалось о том, как он выходил из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику - при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу - при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору - при проектировании различных машин и механизмов, диспетчеру - при составлении графика движения, учёному – агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время также обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчёт числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях.

В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о выборках. Поэтому будем придерживаться термина "выборка".

В комбинаторике рассматриваются виды выборок - перестановки, размещения, сочетания.

Основная часть

 1.Комбинаторные задачи бывают самых различных видов. Но большинство задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А», «либо В» можно осуществить m+n способами.

Правило произведения. . Если некоторый объект А можно выбрать m способами и если после каждого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m*n способами.

Рассмотрим эти правила на примерах задач с обсуждением решения.

Пример 1. От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 4, а во втором - 3. Сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?

Решение.  Эта задача решается на основе правила суммы. Очевидно, число разных путей от Октябрьской площади до цирка равно 4 + 3 = 7.

Пример 2. В первой группе класса «А» первенства России по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены?

Решение. Эта задача решается на основе правила произведения. Золотые медали может получить любая из 17 команд. Иными словами, здесь у нас 17 возможностей. Но если золотые медали уже получены какой-то командой, то остается лишь 16 претендентов на серебряные и бронзовые медали. Повторении здесь нет – одна и та же команда не может завоевать золотые и серебряные медали. Точно так же, если уже  вручены и золотые и серебряные медали, то бронзовые может получить лишь одна из оставшихся 15 команд. Значит по правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены 17*16*15=4800 (способами)

Пример3. Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом, самолётом; из Чайковского до Ижевска - теплоходом или автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь - Чайковский - Ижевск?

Решение. Число разных путей из Перми до Ижевска равно 4*2=8, т.к., выбрав любой из 4 возможных способов путешествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных способа путешествия из Чайковского до Ижевска.

Пример 4. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

А) ни одна из цифр не повторяется больше одного раза в записи числа;

Б) цифры в записи могут повторяться;

В) цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечётным.

Решение. А) Первой цифрой при этом может быть любая из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5, (0 не может быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырёхзначное). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья - 4 способами, четвёртая - 3 способами. Согласно правилу произведения общее число способов равно 5*5*4*3=300.

Б) Для первой цифры имеем 5 возможностей (1, 2, 3, 4, 5), для каждой из следующих цифр - 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Значит, число искомых чисел равно 5*6*6*6=1080

В) Первой цифрой может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5, а последней 1, 3, 5. Значит, общее количество чисел равно 5*6*6*3=540

2. Перед рассмотрением соединений в комбинаторике необходимо познакомить учащихся с понятием  n!.

Далее учащихся ознакомить с соединениями в комбинаторике (сочетания, перестановки, размещения), комментируя на примерах задач.

После этого можно перейти к стандартным перечислительным задачам.

Пример 5. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

Пример 7. Из восьми намеченных кандидатов нужно избрать трёх счетчиков. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 8. В оранжерее имеются цветы 10 наименований. Сколькими способами можно составить букет из 20 цветов?

Пример 9. Сколько можно составить всевозможных перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом?

Пример 10. Найти число перестановок из трёх элементов a, b, c.

Пример 11. Сколькими способами можно распределить 5 должностей  между пятью лицами, избранными в президиум спортивного общества?

Пример 12. Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

Пример 13. В президиум собрания избраны 8 человек. Сколькими способами они могут распределить  между собой обязанности председателя, секретаря и счётчика?

Пример 14.Расписание одного дня содержит 5 уроков по разным предметам. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.

Упражнения по комбинаторике.

Задания для самостоятельной работы:

1. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? (Отв: 210)
2. В вазе 10 красных и 4 розовых гвоздики. Сколькими способами можно составить букет: а) из 1 красной и 2 розовых гвоздик? б) из трёх цветков?                         (Отв: а) 60; б) 364)
3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла бить другую? (Отв: 896)
4. Четыре стрелка должны поразить 8 мишеней (каждый по 2). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой? (Отв: 2520)
5. В фортепьянном кружке 10 человек, в кружке художественного слова - 15, вокальном - 12, фото - 20. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов и 1 фотографа? (Отв: (10 * 15!)/ 7! )
6. Из группы 15 человек выбирают 4 участника эстафеты 800 * 400 * 200 * 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам?

    (Отв: 32760)

7. Из колоды, содержащей 52 карты, вынимают 10 карт. В скольки случаях среди этих карт окажутся: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза?
8. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?
9. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами по 2, 3 и 4 человека. Сколькими способами это может произойти?

Дополнительные задачи к урокам по теме "Комбинаторика"
1. При формировании экипажа космического корабля имеется 10 претендентов на пост командира экипажа, 20 - на пост бортинженера и 25 - на пост космонавта-исследователя. Ни один кандидат не претендует одновременно на два поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур или командира, или бортинженера, или космонавта - исследователя?
 2. Пусть существует три кандидата K1, K2, K3 на место командира корабля и два кандидата B1 и В2 на место бортинженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и бортинженера?

     3. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

4. В классе 25 учеников. Сколькими способами из них можно выбрать четырех учащихся для дежурства на вечере?

5. У 6 взрослых и 11 детей обнаружены признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить заболевание, следует взять выборочный анализ у 2 взрослых и 3 детей. Сколькими способами можно это сделать?

6. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Таблица значений n!

n!=1·2·3·4...·n    Например: 7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

Таблица значений Аnm при n10  

  Anm=

Например, А73=

Таблица значений Cnm

  Cnm=

Например, С73=

Факториал

(Произведение первых подряд идущих n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»)

Задания для устной и письменной работы на закрепление понятия «Факториал».

1. Вычислить

2!                4!        4!-2!                                                                2!∙3!

3!                5!        5!-3!                                        

2. Сколькими нулями оканчивается число        5!                3!                8! ?
3. Упростить выражения

a)                 b)                 c)                 d)

4. Решить уравнения

а)                 б)                 в)                 г) n!=3(n+1)!

5. *При каком n

1. n!=(n+1)!
2. n!=(n-1)!  ?

6. При каком n

а) 2(n+1)!=(2n+1)!                                        c)

b) (n+2)!=(n+1)n!                                        d)    ?

7. Расположите в порядке убывания (n > 1):

n!,                (n+2)!                (n-1)!                0!                (2n)!

8. Найдите выражения, значения которых равны:

5!∙6!                2∙(5!)∙6                  (5!) 2 ∙3!                  6∙(5!) 2                       11!                    30!

* Примечание.

Факториал обладает, очевидно, следующим свойством n!=n(n-1)! – это равенство справедливо при n>1, естественно определить 0! Так, чтобы оно оставалось верным и при n=1, т.е. так, чтобы 1!=1∙0!, но тогда нужно положить 0!=1.

Перестановки без повторений.

При составлении размещений без повторений из n элементов по k, мыполучаем расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все элементы, то они могут отличаться друг от друга порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называют перестановками из n элементов или n перестановками. Иными словами, n-перестановками называют размещения без повторения из n элементов, в которые входят элементы. Число перестановок обозначают .  Формула для  получается из формулы числа размещений без повторений, а именно   = n*(n – 1)…2*1 = n!

Задача.

30 книг стоит  на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора трехтомник. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом.

Решение:

Будем считать трехтомник за одну книгу, тогда число перстановок будет P28. А трехтомник можно переставлять между собой P3 способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:

P 3*Р28=3!28!

Pn= n!

Перестановки с повторениями

До сих пор мы переставляли предметы, которые были попарно  попарно различны. Если же некоторые переставляемые предметы одинаковые, то получается меньше перестановок, т.к. некоторые из будут совпадать друг с другом.

Общая задача формулируется следующим образом: имеются предметы различных типов. Сколько перестановок можно сделать из n2 элементов первого типа,……, nk с элементов k-ого типа?

Такие перестановки называются перестановками с повторениями,  а число их обозначается Pn (n1,n2,…,nk)  

Доказывается формула, что число перестановок с повторениями равно:  

Задача: Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение: Здесь у нас одна буква «м», четыре буквы «и», три буквы «с» и одна буква «п», а всего 9 букв. Значит число перестановок равно:  

Pn (n1,n2,…,nk)=n!/ n1 !n2 !…nk !, где n =n1+n2+…nk   .

№1   В слове «ананас» 6 букв, значит n=6 «а» повторяется 3 раза, значит p=3, буква “н” повторяется 2 раза, значит q =2, буква “с” встречается 1 раз.

№2 Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?

№ 3 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

 Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур.

№ 4  У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина.  Каждый день в течение девяти дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи?

Эти выборки имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями.

№  5 В магазине игрушек имеются  7 одинаковых  Зайчиков и 2 одинаковых Крокодила. Сколькими способами их можно расставить в один ряд на витрине?

Размещения без повторений

ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТАКИХ ЗАДАЧ ТАКОВА: ИМЕЕТСЯ n различных предметов. Сколько из них можно составить к- расстановок? (при этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке) Такие расстановки называются размещениями без повторений. Нетрудно доказать что

Задача. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если каждый член общества может  занимать лишь один пост?

Решение.Число способов равно А 

Размещения с повторениями

Задачи относятся к следующим типам. Даны предметы, относящиеся к n различным видам. Из них составляют всевозможные расстановки по к предметов в каждой, или короче            К-расстановки. При этом в расстановки могут входить и предметы одного вида, а две расстановки считаются различными, если они отличаются друг от друга или видом входящих в них предметов, или порядком этих предметов. Надо найти общее число таких расстановок. Расстановки описанного типа называются К-размещениями с повторениями из элементов n видов. Если все n элементов различны, но в размещениях допускаются повторения, то число размещений из n элементов по k с повторениями определяется формулой

Задача.

 №1 На трёх карточках написаны числа  3, 4, 5. Сколько различных двухзначных чисел можно из них составить?

№2  На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?
Трехзначные числа представляют собой трехэлементные выборки из пяти цифр, причем, выборки упорядоченные, поскольку порядок цифр в числе существенен. Значит, этих чисел будет столько, сколько существует из пяти элементов по 3.

№3 Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

№ 4 В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить для дежурства  двух человек, если один из них должен  быть старшим?

. 

№5   Нужно выбрать президента общества (25 человек), вице - президента, ученого - секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан это выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

№ 6     Учащиеся изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

№ 7   Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

 №8        На станции 5 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 поезда?

№9   Сколькими способами можно составить различные двузначные числа из четырех цифр 1,2,3,4(цифры в числе не повторяются)?

Сочетания без повторений

В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь её состав, говорят сочетаниях. K-сочетаниями из n элементов называются всевозможные k-расстановки, составленные из этих элементов, а отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число k-сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначают через Cnk, формула для числа сочетаний легко получается их формулы для числа размещений. В самом деле, составим сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставим все входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем, каждое только по одному разу. Но из каждого k-сочетания можно сделать k! перестановок, а число этих сочетаний равно Cnk .Значит, справедлива формула k! Cnk 

Из этой формулы находим, что Cnk = Akn/k!=n!/(n-k)!k!

Задача. В классе 40 учеников. Сколькими способами можно выделить из них трех челеовек для участия в субботнике?

Решение: Искомое число способов выбора учеников равно

P9=9!/4!3!1!1!=2520.

для k различных элементов из n различных

Сочетания с повторениями

Общая формулировка этих задач такова: имеются предметы n различных типов. Сколько k- комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации. Иными словами, различные комбинации должны отличаться хотя бы одним предметом. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k, а число их обозначается Ck(повт)n.

Можно доказать, что Ck(повт)n=(k+n-1)!/k!(n-1)!

Задача. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеются 4 сорта пирожных?

Решение. Искомое число наборов из 8 пирожных равно

С8(повт)4=11*10*9/3!=165

№1 Составить все сочетания из трех букв А, В, С по две буквы. 

Это будут АВ, АС, ВС.
(Обратите внимание, что АВ и ВА - это одно и то же сочетание, на разные размещения.)
№2 Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? 
Надо выбрать двух человек из 20. От порядка выбора ничего не зависит, Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

№3 Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?
Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно способами.

№4 В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?

·  =  =10 ·  = 100 (по правилу произведения).

№5 Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5?  С53 = 10

Карточка для индивидуальной работы с учащимися по теме

«Перестановки, сочетания и размещения».

1) Вычислить:

1)          2)      3)      4)

2)    Решить уравнение:

1)     2)      3)  =56

3) Задача.

Сколькими способами можно расставить в одну шеренгу 8 человек?

4)  Вычислить:

С40,    С41,   С42,  С43,   С44 

5) Чему равно

Сn0=       Cn1=     Cnn=   ?

6) Задача.

Из 40 человек нужно выбрать 2 делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

7) Задача.

Сколько различных произведений, содержащих два, три, четыре сомножителя можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,9?

8) Используя свойство сочетаний   Сnk=Cnn-k , вычислить

1) С2019   2)   С2017    3)   С10098

9) Решить уравнения:

1)  Сх-12=6        2)  Схх-2=28

Ответы и решения

1)    1) 11  2) 90  3)    4) 35

2)  1) х=5   2)  n=5    3)   n=6

3)  P8=8!=40320

4)  1) Cn0=1    2)   C41=4   3)  C42=6   4)  C43=4    5)   C44=1

5)  1)  Cn0=1    2)   Cn1=n   3)  Cnn=1

6)   C402=780

7)  Два сомножителя    С52=10

     Три сомножителя  С53=10

     Четыре сомножителя С54=5

8)   1)  С2013=С201=20    2)  С2017=С203=

3)   С10098=С1002=

9)  1)      х=5   2)   Схх-2=Сх2      Сх2=28       х=8

  Случайные события и вероятность. Комбинаторика при вычислении вероятностей.

Понятие  вероятности. Классическое определение вероятности события. Статистическое понятие вероятности события. Геометрическое понятие вероятности.

Операции над вероятностями.  Произведение и сумма событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей, формула полной вероятности. Формула Байеса.

Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: свойства вероятности, основные теоремы теории вероятностей (сложение и умножение вероятностей

Уметь: решать задачи на применение формулы полной вероятности

Тренировочные упражнения и упражнения для самостоятельной работы:

1 Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым - 0,7. Найдите вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

2 Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором - 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

3.  Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.

4 В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

5 В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимают 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

6 В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали двух человек. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

7 В первой коробке содержится 12 ламп, из них 8 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

8. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.

Практическое занятие №1 по теории вероятности.

Тема: Основные элементы комбинаторики.

Цели: Отработка навыков решения задач.

1. Размещение

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.

2. Перестановки (). Если m = n, то эти размещения называются перестановками.

3.  Сочетания () – это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е. .

Задача.1. сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

1) .

2) т.к. есть среди чисел 0, который может стоять впереди, поэтому надо еще найти .

3) .

Задача.2. пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три. Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Задача.3. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные две книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то остается 6 книг, которые можно переставлять.

 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет

Задача.4.Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Задача.5. имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение: .

Белые шары  шаров.

Черных шаров  шаров.

Тогда  шаров.

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.

Контрольная работа по теории вероятностей.

Вариант 1

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5?

2 .Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21,  если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

3 .2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7.  Найдите вероятность того, что:

                 а) только один из стрелков попадет в мишень;

                 б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

                 в) оба стрелка попадут в мишень;

                 г) ни один из стрелков не попадет в мишень;

                д) ни один из стрелков не попадет в мишень.

4. В 2 урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того,  что оба шара одного цвета?

5. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

                                    Контрольная работа по теории вероятностей.

Вариант 2

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число окажется делителем 20?

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

3. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень ?

4.  В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных.  Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

                 а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

                 б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

5. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и четвертым –0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

Тесты по комбинаторики и теории вероятности

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1)        30                        2)        100                3)        120                4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1)        128                        2)        35960                3) 36                        4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1)        10                        2) 60                        3) 20                        4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1)        600                        2)        300                3)        1                4)  1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1)                                2)                        3)                               4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)                                2)  0,5                        3) 0,125                        4)  

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1)        0,02                        2)        0,00012                3) 0,0008                        4) 0,002

                                                             Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)                100                2)        30                3)        5                4)     120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)                3                2)        6                3)        2                4)     1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1)                10000                2)        60480                3)        56                4)    39450

4. Вычислите:

1)                2                2)        56                3)        30                4)  

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1)                                2)                        3)                        4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1)         0,25                        2)                        3)  0,5                        4)  0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1)                0,5                2)        0,4                3)        0,04                4)  0,8

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)                24                2)        4                3)        16                4)  20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)                30                2)        21                3)        14                4)  7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1)         22                        2)        11                3)        150                4)     110

4. Сократите дробь:

1)        1                        2)                        3)                        4)    

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1)                                 2)  0,5                        3)                          4)   0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

    1)        0,25                        2) 0, 4                        3)        0,48                4)   0,2

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что  выбранное изделие не будет бракованным.

     1)        0,8                        2)        0,1                3)  0,015                4)  0,35

 Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1)        5        2)        120                3)        25                4)   100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1)        12650                        2)        100                3)        75                4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1)                120                2)        30                3)        50                4)   60

4. Упростите выражение:

1)         0,5                        2)                        3)        n                4) n-1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1)                                2)                       3)                           4)    

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1)        0,504                        2)   0,006                        3)  0,5                4)  0,3

7. Из 30 учеников класса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1)                                2)  0,5                        3)                        4)   

 Вариант 5

1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

      1)        36                        2)        180                3)        720                4)     300

2. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1)          14                        2)        10                3)        21                4)  30

3. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

1)          80                        2)        56                3)        20                4)   60

4. Упростите выражение:

1)                        2)                       3)              4)   0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1)                                2)                        3)                         4)    

6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

1)        0,21                2)        0,49                3)        0,5                4)   0,09

7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?1)         0,5                        2)        0,4                3)   0,6                        4)  0,04

Вариант 6

1. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

1)        12                        2)        20                3)        24                4)   4

2. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами  она может это сделать?

1)                792                2)        17                3)        60                4)    300

3. В 12 – ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 – Ом этаже лифт не останавливается?

1)        100                        2)        720                3)        300                4)  60

     4. Упростите выражение:

1)                        2)                        3)                         4)  0

5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?  

   1)                                2)        7                3)                        4)    

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем          вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего    – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в  мишень.

1)        0,336                        2)        0,452                3)        0,224                4)  0,144

     7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок.             Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

1)                0,9                2)        0,5                3)        0,34                4)   0,18

Вариант 7

1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

1)        4                        2)        24                3)        20                4)   16

2.  На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1)          75                        2)  100                        3)        2300                4)   3000

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу? 1)         600                        2)        100                3)        300        4)720

4. Вычислите:

1)                1                2)    13                        3)        12                4)   32

5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?

1)                                   2)                            3)                          4)  

6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором  - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?

1)        0,24                        2)        0,12                3)        0,18                4)  0,072

7. В коробке лежат 4 синих, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что  выбранный  шарик будет не зеленым?

1)                                2)        0,5                3)                        4)    

 Вариант 8

1. Разложите  на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

1)        6                        2)        12                3)        30                4)   3

2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?

1)        300                        2)        10                3)        150                4)  15

3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

1)        18                        2)        28                3)        64                4)     56

4. Вычислите:

1)          48                        2)   94                        3)        56                4)   96

5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?

1)                0,5                2)  0,1                        3)                        4)  0,7

6. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?      

    1)        12                        2)        0,5                3)        0,12                4)    12 ∙10

7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?

1)                                2)  0,5                3)                        4)      

Вариант 9

1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы  2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).

 1)       120                2)        360                3)        180                4)   500

2. Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек.

1)                60                2)        85                3)        6188                4)6000

3. На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?

1)                720                2)        360                3)        500                4)   100

4. Решите уравнение:

1)                4;   -5                2)        4                3)        -5                4)   9

5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?  

1)                                2) 0,2                        3)                        4)  0,5

6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.

1)        0,18                        2)        0,81                3)        0,5                4)    0,01

7. 25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Ивановку попало 7 молодых специалистов, в Семеновку – 12, в Березовку – остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?  

1)                                2)                        3)        0,5                4)   0,35

Вариант 10

1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?

1)                180                2)        300                3)        120                4)        240

2. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

1)        210                        2)        60                3)        30                4)    240

3.  На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете

4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

1)          1200                        2)        88000                3)        11880                4)3000

4. Решите уравнение:

1)                6                2)    -5; 6            3)      -5                   4)   30

5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке – одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?

1)                                  2)        0,1                3)                        4)   0,4

6.  Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1)        0,384                        2)        0,5                3)        0,3                4)   0,4

7. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.

1)                0,5                2)        0, 35                3)        0,04                4)  0,34

Задачи для домашних заданий.

1.В студенческой группе 15 девушек и 10т юношей.  Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что это будет юноша.

                                                                                            Ответ:     

  2.Вероятность успешной сдачи экзамена по первому ,второму и третьему предметам у данного студента соответственно равны: 0,6 ; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того , что студент  а) сдаст хотя бы один экзамен ;

              б)  сдаст только один  экзамен ;  

          в)  сдаст все три экзамена ;

          г)  не сдаст ни одного экзамена.

Решение :

                  а)

                  б)

                  в)

                  г)  

3.Два охотника увидели волка и одновремённо в него выстрелили. Каждый охотник попадает в цель с вероятностью 0,6 . Найдите вероятность того , что

                   а) волк будет подстрелен ;

            б)  в волка попадет только один охотник .

Решение :

                   а)

                   б)

4.Студент пришел сдавать  зачет , зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого нужно ответить на случайно доставшейся ему вопрос ,а в случае неудачи ответ на дополнительный вопрос , предложенный ему преподавателем случайным образом ?

Решение :

5.В ящике лежит 15 шаров , из которых 5 – черных. Какова вероятность того , что при выборе из ящика трех шаров :

        а) один окажется черным ?

        б) два окажутся черными ?

Решение: задача  «контроля качества»  а)  

              б)

Самостоятельная работа 

1. На сборку поступают одинаковые детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50% , второе 30% и третье остальное количество. Вероятность появление брака для 1-го ,2- го и 3-го поставщиков, соответственно равны 0,05 ; 0,1 и 0,15 . Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того , что брак произошёл по вине второго предприятия ?

Решение:    

2.  При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал её наугад , помня только что эта цифра нечетная . Найти вероятность того, что номер набран правильно.  

                                                                                                                        Ответ

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того , что при возгорании датчик сработает, для 1-го и 2-го датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того , что при пожаре сработает хотябы один датчик.

Решение:    

Контрольная работа  

                              I вариант           II вариант

1. В игральной колоде 36 карт .Какова вероятность

                                      того , что взятая наугад карта окажется :

2. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05 , в

девятку – 0,1 , в  восьмерку – 0,2 , в семёрку – 0,4.

Найдите вероятность выбить с одного выстрела :

3. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное

                                число

4. Вероятность встретить на улице мужчину – блондина

составляет – 0,4.Какова вероятность того ,что среди

                                 четырех прохожих мужчин встретится

5. Даны числа 1,2,3,4,6,8. Найдите вероятность того ,что

\

Решения задач контрольной работы.

                              I вариант           II вариант

№1

№2

№3

№4

№5

Тренировочные упражнения и упражнения для самостоятельной работы:

1. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым - 0,7. Найдите вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.
2. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором - 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.
3. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.
4. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
5. В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимают 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.
6. В урне 2 белых и 3 черных шара, из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.
7. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза?
8. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд туз и дама?
9. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали двух человек. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
10. В семье двое детей. Принимая равновероятность рождения мальчика и девочки, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.
11. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго - 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наугад деталь (из наугад взятого набора) - стандартная.
12. В первой коробке содержится 12 ламп, из них 8 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
13. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.
14. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
15. При транспортировке из 1 000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь?
16. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
17. В денежно-вещевой лотерее на серию из 1 000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?
18. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна относительная частота попадания в цель данного стрелка?
    
19. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница имеет порядковый номер, кратный 7?
20. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку "хорошо" равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже "хорошо"?
    
21. Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.
22. В хлопке 75 % длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наугад трех волокон окажутся два длинных волокна?
23. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель равна 0,3. Производится 6 выстрелов. Какова вероятность точности двух попаданий?
24. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз?
25. Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 80 %. Найдите вероятность того, что из трех посеянных семян взойдут: а) два; б) не менее двух.

Основные понятия математической статистики. Статистическое распределение выборки

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Одной из главных задач статистики является принятие решений на основании сделанных наблюдений.

В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с  экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения.

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования). Для изучения закономерностей (если таковые имеются)  варьирования значений, случайной величины опытные данные подвергают обработке.

Пример 1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х – неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Здесь, очевидно Х является дискретной случайной величиной, а полученные о ней сведения представляют собой статистические данные.

Операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных. После проведения операции ранжирования, данные нетрудно объединить в группы, т.е. сгруппировать так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковые. Ранжируем и сгруппируем данные из примера 1.

0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 7.

Из полученного ряда чисел видно, что все 60 значений СВ разбиты на семь групп. Таким образом, имеется семь различных значений СВХ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7.

Опишем рассмотренный пример в терминах математической статистики.

Определение  Совокупность всех подлежащих изучению объектов или результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Определение  Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Число объектов в генеральной (выборочной) совокупности называется её объемом и обозначается N (n для выборки).

В примере 1, где  наблюдалось число неправильных соединений в минуту на телефонной станции, генеральной совокупностью будет число неправильных соединений в минуту за все время работы станции. Наблюдения, которые представлены в примере 1. являются выборочной совокупностью, объем которой n = 60.

Определение  Ранжированная выборка называется вариационным рядом. Различные элементы вариационного ряда называются вариантами.

Таким образом, в примере 1 СВ Х имеет семь различных вариантов: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7.

Число ni, показывающее сколько раз одна  и та же варианта xi встречается в вариационном ряду называется,  частотой этой варианты, очевидно, что n = n1 +…+ nk, где k – число различных вариант в заданном вариационном ряду.

В рассмотренном примере варианты имеют следующие частоты: 8; 17; 16; 10; 6; 2; 1 соответственно, и 60 = 8 + 17 + 16 + 10 + 6 + 2 + 1.

Определение  Отношение частоты данной варианты к объему всей выборки называется относительной частотой варианты.

Относительная частота варианты хi обычно обозначается wi = .

 В нашем примере варианты имеют следующие относительные частоты: 0,13; 0,28;    0,27; 0,17; 0,1; 0,03; 0,02. Заметим, что сумма всех относительных частот равна 1.

Определение  Перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

СВ Х из примера 1. имеет следующее статистическое распределение частот и относительных частот

Для решения многих задач удобно изображать статистическое распределение графически.

Полигоном частот (относительных частот) называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1); (x2, n2); …; (xk, nk) (для относительных частот: (x1, w1); (x2, w2); …; (xk, wk)).

Полигон относительных частот СВ Х из примера 1 изображен на рисунке

В том случае, когда одинаковые наблюдаемые значения встречаются редко, а число значений велико или в случае, когда наблюдаемые значения имеют непрерывное распределение, строят гистограмму статистического распределения. Для построения гистограммы весь промежуток значений разбивают на несколько интервалов и подсчитывают, сколько значений входит в каждый из интервалов. Затем для каждого интервала вычисляется относительная частота попадания вариант в этот интервал. В прямоугольной системе координат строят ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат найденные интервалы, а высота каждого равна относительной частоте этого интервала поделенной на его длину. То есть, если длина каждого частичного интервала равна h, относительная частота i-го интервала равна , то высота соответствующего прямоугольника равна . Очевидно, что площадь такой ступенчатой фигуры будет равна 1.

9. Числовые характеристики статистического распределения

Для изучения закономерностей, которым подчиняется статистическое распределение, обычно вычисляю его  числовые характеристики.

Пусть статистическое распределение  выборки объема n  имеет вид

Определение  Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:                      =

Определение  Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней , т. е.

                                               Dв =

Определение Модой М0* вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Определение  Медианой Ме* вариационного ряда называется варианта, приходящаяся на середину ряда. Если n = 2k (то есть ряд имеет четное число членов), то медиана Ме* = (xk + xk+1)/2; если  n = 2k, то Ме* = xk+1.

Пример.  Найдем числовые характеристики статистического распределения

1) = = 2

2) Dв =

                Dв = 1,57

1. М0* = 17
2. Ме* = 3 (так как ряд содержит нечетное число членов.

10. Статистическое оценивание и прогноз

Рассмотрим несколько практических приложений теории вероятностей.

Как говорилось выше, с ростом числа испытаний  данной серии  частота появления события стремится к его вероятности. Значит, по известной вероятности можно прогнозировать частоту повторения интересующего нас события в будущем. При этом вероятность может быть найдена любым из известных нам способов (в том числе оценена по уже имеющейся частоте).

Пример 1. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

                                    Р(А)

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Пример 2. Население города Хабаровска составляет около 400 000 жителей. Сколько хабаровчан родились 29 февраля?

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года. Найдем вероятность того, что случайно выбранный хабаровчанин родился 29 февраля следовательно. Воспользуемся классическим определением вероятности:

                     =0,00068

Это значит, что среди 400 000 жителей Хабаровска следует ожидать около человек, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозировании частоты основан один интересный способ определения численности популяций, используемый в биологии. 

Пример 3  Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

        Используя алгоритм вычисления вероятности в КСИ можно найти вероятности появления всех возможных сумм при бросании двух игральных кубиков:

        ; ; ; ; ; ;

; ;; ; .

Так как вероятность выпадения  суммы 7 на двух игральных кубиках самая большая, то при бросании двух игральных кубиков семь очков будет выпадать чаще, чем все остальные суммы.

Замечание. Рассмотренные примеры относятся к двум важнейшим типам статистических задач:

• оценка частоты появления события по известной вероятности;
• прогнозирование наиболее вероятного исхода данного испытания.

Рассмотрим теперь пример задачи, в которой по полученным в результате проведенного испытания данным нужно проверить правильность выдвинутой гипотезы.

Пример 4 В 10 бросаниях монеты было получено 9 «орлов». Следует ли считать монету правильной?

В условии задачи поставлена под сомнение гипотеза о правильности подбрасываемой монеты.

Если бы монета была правильной, т.е. выпадение «орла» и «решки» были бы равновозможными, то получить 9 или 10 «орлов» в 10 бросаниях можно было бы с вероятностью .

Значит, в результате опыта произошло очень редкое, маловероятное событие. В то же время, если предположить, что монета неправильная и вероятность выпадения «орла» на ней больше, чем , то произошедшее событие уже не будет таким невероятным. Это дает нам все основания считать, что монета несимметричная.

Замечание. Рассмотренная выше задача относится к широкому классу статистических задач по проверке статистических гипотез.

Задачи

10.1. В коробке 100 шаров белого и черного цвета. Из нее 60 раз вынули шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько белых шаров в коробке?

10.2. Включая в течение месяца телевизор около 150 раз, Вова в 30 случаях попадал на рекламу. Какой процент от времени телевизионных трансляций занимает реклама?

10.3. В Москве около 10млн. жителей. Сколько жителей Москвы празднуют свой день рождения 1 января?

10.4. Комитет по проведению лотерей утверждает, что среди билетов лотереи «Спринт» половина выигрышных. Женя купил два билета лотереи и ничего не выиграл. Есть ли у жени повод усомниться в честности её устроителей?

10.5. Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?

Задания контрольно- измерительных материалов 2006-2008  г .

2008 год

Задание 1. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы?

Ответ: __________________

Задание 2. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 3, 7,  9?

2009 год

Задание 3.  На 500 электрических лампочек в среднем приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Ответ: __________________

Задание 4.  Средний рост девочек класса, где учится Маша, равен 160 см. Рост Маши 163 см. Какое из следующих утверждений верно?

1) В классе все девочки, кроме Маши, имеют рост 160 см.

2) В классе обязательно есть девочка ростом 160 см.

3) В классе обязательно есть девочка ростом менее 160 см.

4) В классе обязательно есть девочка ростом 157 см.

2010 год

Задание 5      Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова

вероятность того, что она окажется гласной?

Ответ: ________________________

Задание 6  

Рост Маши равен 132 см, а медиана ростов всех девочек из ее класса

равна 130 см. Какое из утверждений верно?

1) В классе обязательно есть девочка выше Маши.

2) В классе обязательно есть девочка ростом 130 см.

3) В классе обязательно есть девочка ростом менее 130 см.

4)  В классе обязательно есть девочка ниже Маши.

Задание 7

 На 2000 электрических лампочек в среднем приходится 25 бракованных.

Какова вероятность купить бракованную лампочку?

Ответ:

Задание 8  

Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 149, 175, 137, 127, 132.

Насколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его

медианы?

Ответ:

Задание 9

 На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 25 бракованных.

Какова вероятность купить исправную лампочку?

Ответ:

Задание 10

 Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 154, 170, 134, 129, 133. На

сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его

медианы?

Ответ: