Материалы для подготовки ЕГЭ по математике (базовый уровень)
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс) на тему

ЕГЭ база №20

1) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распи­лить палку по линиям всех трёх цветов?

Пояснение.

Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий — 14. Если распилить палку по желтым — 5 кусков, следовательно, линий — 4. Если распилить по зеленым — 7 кусков, линий — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кусков будет 25.

2) Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузне­чик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?

Пояснение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, поскольку число прыжков, кото­рое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Ответ: 12.

3) В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Пояснение.

Согласно условию задачи: (40 - 17) +1= 24- должно быть рыжиков,  (40 – 25) + 1=16 - должно быть груздей. Таким образом, рыжиков в корзине 24.

Ответ: 24.

4) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. По­дойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Пояснение.

Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следова­тельно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир.

Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.

Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.

Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6 = 462 кварти­ры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5

5) На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Пояснение.

Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части. Рассмотрим сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей. Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 · 18 = 432 части.

Ответ: 432.

6) Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут.

Пояснение.

На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут.

7) На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.

Пояснение.

Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответство­вали данным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и C будет 15 км.

Ответ: 15.

8) В классе учится 25 учащихся. Несколько из них ходили в кино, 18 человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили 12 человек. Известно, что трое не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино?

Пояснение.

12 человек ходили и в кино, и в театр. А всего в театр ходило 18 человек. Значит, 6 человек ходили только в театр.

Сходили в театр или в кино и в театр, или никуда не ходили 12+6+3=21— человек. Значит,  25 – 21=4 человека ходили только в кино. И значит всего в кино сходило 12+ 4=16 человек.

9) Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

Пояснение.

Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. То есть если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд,  то есть через 3599 секунд.

10) В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет запол­нен полностью.

Пояснение.

К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.

Ответ: 18.

11) Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за непра­вильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пояснение.

Он дал  x  правильных ответов, y  неправильных (y≥1)  и на z вопросов не ответил совсем. x+y+z=25.

За каждый правильный ответ он получал 7, за неправильный (−10), за неосвещенный вопрос — 0.

7x - 10y+0z=42

Получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными, подберём решения данной системы уравнений: x+y+z=25.

                   7x - 10y=42=7·6

Из второго уравнения  7x - 7·6=7(x – 6)=10y. Так как число 7(x – 6) делится на 7, то и 10y делится на 7. Рассмотрим два случая.

1) y=7, тогда x – 6=10, то есть x=6+10=16, z=25 – x – y=25 – 16 – 7=2

2) y=14, тогда  7(x – 6)=140, то есть количество правильно отвеченных вопросов x=20+6=26˃25. Это противоречит условию задачи.

Таким образом, ученик правильно ответил на 16 вопросов.

Ответ: 16

12) Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

Пояснение.

Улитка за день поднимается вверх на 4 м, а опускается вниз на 2 м. Итого за сутки она продвигается на 2 м. За 5 суток она поднимется на 10 м. За 6 день улитка поднимется ещё на 4 м и окажется на высоте 14 м, то есть она достигнет вершины дерева.

Ответ:  6.