Практическое занятие по теме Вычисление площади криволинейной трапеции
учебно-методическое пособие по математике (11 класс) на тему

Практическое занятие

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ

 ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения вычисления площадей фигур.

1. Краткие сведения из теории 

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс 0х и прямыми х = а  и х = b, т.е.

• Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью 0х и прямыми  равна

  (1)

• Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (1) от абсолютной величины подынтегральной функции

                 или        

• Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций

 (2) 

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными  линиями,

в  соответствии с номером варианта:

3. Решение типовых примеров:

Пример 1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

    или    .

Находим: x1 = -2, x2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Ответ:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями .

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений: 

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Находим:

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

Ответ:

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение.

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

Ответ:

Пример 4.Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение.

Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:

Ответ: 

Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

Ответ:

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=2sinx, x=0,

Решение: Построим графики функций y=sinx, y=2sinx

Ответ:

Пример 6..  

 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  , осями координат и прямой .

   В рассматриваемом случае функция    на отрезке  [0; 2]  меняет знак,  а именно   на отрезке  [0; 1]  и     на отрезке  [1; 2] .

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):

             (кв. ед.).

Ответ: