Комбинаторика.
методическая разработка по математике (11 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Комбинаторика раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Слайд 3

Правило умножения Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого произведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытаний А и число всех ходов испытаний В. Исходом проведения двух испытаний – А и В – по определению является пара (а;в), у которой на первом месте стоит какой-то исход испытания А, а на втором месте – какой-то исход испытания В. Независимость испытаний А и В означает, что в такой паре (а;в) возможны абсолютно все комбинации исходов этих испытаний Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9? 0 2 4 1 90 22 20 14 12 10 9 5 4 2 54 52 50 44 42 40 24 94 92 Ответ: 15 чисел (5х3=15) Правило умножения для двух независимых испытаний п=2 Удобно применять, используя прямоугольные таблицы

Слайд 4

Теорема 1 (Правило умножения для конечного числа испытаний) Число всех возможных исходов независимого произведения n испытаний равно произведению количества исходов этих испытаний. Первая лампочка Вторая лампочка Вторая лампочка Третья лампочка Третья лампочка Третья лампочка Третья лампочка В коридоре три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора (включая случай, когда все лампочки не горят)? Дерево вариантов По правилу умножения число всех способов освещения равно 2х2х2=8

Слайд 5

У множества, состоящего из n элементов, имеется ровно 2 n различных подмножеств Теорема 2 Элементы данного множества можно пронумеровать различными способами Определение №1 Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n ! и называют «эн факториал»: n 1 2 3 4 5 6 7 n 1 1∙2=2 2!∙3 = 6 3!∙4=24 4!∙5=120 5!∙6=720 6!∙7 =5040 Теорема 3 n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n ! способами n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ( n – 2) ∙ ( n - 1) ∙ n

Слайд 6

Если каждому элементу множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие элемент того же множества, то говорят, что задано отображение множества Х в себя. Определение №2 Определение №3 Перестановкой конечного множества называют его отображение в себя, при котором различные элементы переходят в различные. Число всех перестановок n – элементного множества равна n ! Р n = n !, где Р n - число перестановок множества из n- элементов Теорема 4 Перестановки

Слайд 7

Сколькими способами четыре богатыря могут по одному разойтись в разные стороны в поисках Змея Горыныча? Четыре стороны фиксированы – юг, север, запад, восток или 1, 2, 3, 4. Порядок расхождения по ним задает нумерацию четырех богатырей числами 1, 2, 3, 4. Таких нумераций имеется 4! = 24 P 4 = Задача

Слайд 8

Проказница Мартышка Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры И споры, Кому и как сидеть… Перестановки Квартет Вероятно, музыканты из басни Крылова так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? В задаче идет перестановка из четырех P 4 = 4! = 24 варианта перестановок

Слайд 9

Выбор двух и нескольких элементов Теорема 1 (о выборе двух элементов) Если множество состоит из n элементов ( n >= 2) , то у него имеется ровно подмножеств, состоящих из двух элементов Определение 1 Число всех выборов двух элементов из n данных без учета их порядка Обозначают и называют числом сочетаний из n элементов по 2 = Сочетания

Слайд 10

Определение 2 Число всех выборов двух элементов из n данных c учетом их порядка обозначают и называют числом размещений из n элементов по 2. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента , учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n ( n – 1) способами Определение 3 Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка обозначают И называют числом размещений из n элементов по k . Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка обозначают и называют числом сочетаний из n элементов по k Теорема 2 Для любых натуральных чисел n и k таких, что k < n , справедливы соотношения

Слайд 11

Сколько сочетаний по 2 вида ягод можно составить из трех видов ягод n =3 , k =2 Решение: Ответ: из двух видов ягод по 2 можно составить 3 сочетания Задача

Слайд 12

Что такое «ноль факториал»? Чтобы сохранить удобную формулу для чисел при любых целочисленных значениях k (0 < k < n) , решили, по определению, считать, что 0! = 1. Тогда: Свойство теоремы 2 Как видно, числители в обоих случаях одинаковы, а в знаменателе множители поменялись местами, что не отражается на числовом значении выражения. «ноль факториал»

Слайд 13

Перестановки Размещения Сочетания n элементов n клеток n элементов k клеток n элементов k клеток Порядок имеет значение Порядок имеет значение Порядок не имеет значения

Слайд 14

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Необходимо вычислить . Применив равенство , упростим вычисления: Решение: Задачи

Слайд 15

Задача Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: Ответ: 360 способами Задачи