Пособие по подготовке к ОГЭ
методическая разработка по математике (9 класс) на тему

Федеральное государственное казенное общеобразовательное учреждение

«Казанское суворовское военное училище

 Министерства обороны Российской Федерации»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

ОГЭ 2015

Разработал

преподаватель математики

первой квалификационной категории

А.М.Гиниятуллин

2016

Методическая разработка рассмотрена на заседании предметно-методической комиссии математики, информатики и ИКТ. Рекомендована к использованию на уроках математики, на факультативах при подготовке суворовцев к Всеармейским математическим олимпиадам.

Протокол  от «__» ____________ 20__г. № ____

Руководитель комиссии                                                         Л.В.Пермякова

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        4

Задания        5

Ответы        10

Решения        11

ВВЕДЕНИЕ

Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у суворовцев при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике. Большинство задач по планиметрии не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. 

Данный сборник предназначен для суворовцев 8 – 11 классов, желающих расширить и углубить свои знания, научиться искать самостоятельные пути решения задач. Здесь показаны решения геометрических задач (задание №26) из сборника «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В.Ященко,2015». Сборник будет полезен и преподавателям. Он может быть использован на факультативах при подготовке суворовцев к Всеармейским математическим олимпиадам.

Подобные задачи не только прививают интерес и увлеченность через привлекательность постановки и красоту решения, но и помогают развивать «вкус» к исследованию, способность к глубокому погружению в задачу, независимость рассуждений. Одним такие задачи дают возможность заняться любимым делом, другим – помогают подняться на более высокий уровень понимания исследовательского процесса. В любом случае каждого из суворовцев  ждет собственный процесс саморазвития.

Задание №26 (модуль «Геометрия»)

 из сборника «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В.Ященко. -

 М.: Изд-во «Национальное образование», 2015»

Вариант №1

Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD  равны соответственно 36 и 39, а основание равно 12. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Вариант № 2

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, АD = 32, МD = 8, Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Вариант № 3

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к эти окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Вариант №4

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 40, АС = 64, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

Вариант №5

В треугольнике АВС биссектриса угла  А  делит высоту, проведенную из вершины  В  в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 10.

Вариант № 6

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Вариант № 7

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24. BF = 10.

Вариант № 8

Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD трапеции ABCD пересекаются в точке G. Найдите CD, если CG = 24. DG = 18.

Вариант № 9

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке С. Найдите FC, если основания равны 16 и 30, боковые стороны – 13 и 15.

Вариант № 10

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны 13 и 15.

Вариант № 11

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 19, боковые стороны - 13 и 15.

Вариант № 12

В треугольнике ABC  биссектриса  ВЕ  и медиана АD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника АВC.

Вариант 13

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АО перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 64. Найдите стороны треугольника АВС.

Вариант № 14

В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M и N – середины сторон АD, АВ, ВС и СD соответственно. Расстояние между точками К и L равно 6, между точками К и N – 12. Найдите периметр четырехугольника KLMN.

Вариант № 15

В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M и N – середины сторон АD, АВ, ВС и СD соответственно. Расстояние между точками К и L равно 8, между точками К и N – 14. Найдите площадь четырехугольника KLMN, если диагонали АС и BD образуют угол 30о.

Вариант № 16

В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M и N – середины сторон АD, АВ, ВС и СD соответственно. Найдите отношение площади четырехугольника  АВСD к площади четырехугольника  KLMN.

Вариант № 17

Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки  A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом  АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми  АВ  и СD. 

Вариант № 18

Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки  A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом  АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми  АВ  и СD. 

Вариант № 19

Окружности радиусов 36  и  45 касаются внешним образом. Точки  A и B лежат на первой окружности, точки  C и D – на второй. При этом  АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми  АВ  и СD. 

Вариант № 20

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 39  и  42, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает  стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника  АВС. 

Вариант № 21

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 36  и  39, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает  стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника  АВС. 

Вариант № 22

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.

Вариант № 23

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Вариант № 24

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Вариант №25

Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD : CD = 1 : 3.  Найдите площадь четырехугольника EDCK

Вариант № 26

Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса АD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом ВD : СD = 1 : 2. Найдите площадь четырехугольника ЕDСК.

Вариант № 27

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой  АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой  СD, если АD = 15, ВС = 12.

Вариант № 28

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой  АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой  СD, если АD = 6, ВС = 5.

Вариант № 29

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 20 и 25, а основание ВС равно 5. Биссектриса угла АDС  проходит через середину стороны  АВ. Найдите площадь трапеции.

Вариант № 30

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 18 и 30, а основание ВС равно 3. Биссектриса угла АDС  проходит через середину стороны  АВ. Найдите площадь трапеции.

Вариант № 31

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 40 и 41, а основание ВС равно 16. Биссектриса угла АDС  проходит через середину стороны  АВ. Найдите площадь трапеции.

Вариант № 32

Биссектриса угла А треугольника  АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?

Задание № 26  (модуль «Геометрия»)

из тренировочной работы по подготовке ОГЭ по математике СтатГрад

7 апреля 2015 года

Вариант №1

В треугольнике АВС на его медиане отмечена точка К так, что ВК : КМ = 7: 3. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади четырехугольника КРСМ.

Вариант №2

В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите  NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.

Вариант №3

Из вершины прямого угла С  треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в ∆ВСР, равен 96, тангенс угла ВАС равен . Найдите радиус окружности, вписанной в ∆АВС.

Вариант №4

Углы при одном основании трапеции 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.

Ответы

Задание №26 (модуль «Геометрия»)

 из сборника «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В.Ященко»

Задание № 26  (модуль «Геометрия»)

из тренировочной работы по подготовке ОГЭ по математике СтатГрад

7 апреля 2015 года

Решения

Сборник «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В.Ященко»

Вариант №1 (аналогично варианты 29, 30, 31)

М – середина АВ.

1. DМ ∩ СВ = N.
2. ∠CND  = ∠NDK = ∠ NDC ⇒ Δ NCD – равнобедренный,  NC = CD = 39 ⇒ NB = 27.
3. Δ NВМ = Δ МАD (по второму признаку равенства треугольников) ⇒ АD = 27.
4. СК || АВ, СК = АВ = 36,  ВС = АК =12  ⇒ KD = 15.

Δ CКD – прямоугольный, т.к. CD2 = CK2 + KD2 ⇒ CK – высота.

Ответ: 702.

Вариант № 2

1. ∠ВLC = 90o (опирается на диаметр).
2. ΔALH ∼ ΔADC (по первому признаку подобия треугольников)

3. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью. Обозначим точку N.
4. 
5. 

             Ответ: 30.

Вариант № 3 (аналогично варианты 20, 21)

                            ⇒АК–медиана, высота

2. Аналогично                                        

                                                                       ⇒ ΔАВС – равнобедренный.

3. Пусть АС = х ⇒ 

Решая уравнение, получаем

                        Ответ: 68,75.

Вариант №4

1. BL ⊥ AO ⇒ ∪AB = ∪AL ⇒

 ∠ABD = ∠ACB.

2. ΔABD ∼ ΔABC

∠ABD = ∠ACB, ∠A – общий угол ⇒ 

3. DC = AC – AD = 39.       Ответ: 39.

Вариант №5

1. AN ∩ BH = K ⇒ BK : KH = 13 : 12 ⇒ AB : AH = 13 : 12 (свойство биссектрисы угла).
2. АВ = 13х,  АН = 12х  ⇒  ВН  = 5х

 (из ΔАВН, ∠Н = 90о).

3. sin∠A =   (из ΔАВН,

 ∠Н = 90о).

4.  (теорема синусов).

R = 13.

Ответ: 13.

Вариант №6 (аналогично Статграду вариант №3)

Вариант № 7 (аналогично вариант №8)

 ∠А = 2х, ∠В = 2у.

1. ВС || АD ⇒ ∠А + ∠В = 180о (односторонние углы) ⇒ 2х + 2у = 180о, х + у = 90о ⇒ ∠F = 90о.
2. ΔABF, ∠F = 90о, AF = 24, BF = 10.

AB2 = BF2 + AF2

AB = 26

Ответ: 26.

Вариант № 9 (аналогично вариант №10, 11)

1. MF || BC, BF – секущая ⇒ ∠CBF  = ∠MFB (накрест лежащая) ⇒ ΔМВF – равнобедренный ⇒ МВ = MF.
2. Аналогично, ΔАМF – равнобедренный ⇒ АМ = MF ⇒ МF = 6,5 и лежит на средней линии трапеции. 
3. Аналогично, GN = 7,5 и лежит на средней линии трапеции.
4. MN – средняя линия трапеции. MN = 23.
5. FG = 23 – 6,5 – 7,5 = 9.

Ответ: 39.

Вариант № 13 (аналогично вариант № 12)

1. ΔАВМ = ΔВМD (BM – общая, ∠АВМ = ∠DВМ, ∠АMВ = ∠ВМD = 90o) ⇒ BD = AB  ⇒ ΔABD – равнобедренный  ⇒  ВМ – высота, медиана  ⇒ АМ = MD = 32.
2. ΔАВЕ = ΔВЕD (BЕ – общая, АВ = ВD, ∠АВЕ = ∠DВЕ) ⇒ SΔABE = SΔBDE.
3. ΔBEC, ED – медиана ⇒ SΔBED = SΔEDC ⇒ 
4. ΔABC, AD – медиана ⇒ SΔABD = SΔADC = 1536.

 ⇒ BM = 48 ⇒ ME = 16.

5. ΔABM, ∠M = 90o, AM = 32, BM = 48 ⇒ AB = 16 ⇒ BC = 32.
6. ΔAME, ∠M = 90o, AM = 32, ME = 16 ⇒ AE = 16.

Ответ:

Вариант № 14

1. Проведем диагональ АС.

В треугольнике  АВС  LM – средняя линия треугольника ⇒ LM || AC и .

2. Аналогично, КМ – средняя линия треугольника ADC  KN || АС и .
3. LM || KN и LM = KN  = 12 ⇒ LMNK – параллелограмм ⇒ LK = MN = 6.
4. P = LM + MN + NK + KL = 36.

Ответ: 36.

Вариант № 15

1. KLMN – параллелограмм.

              KL || BD и KN || AC

             (смотри Вариант 14).

2. Диагонали АС и BD образуют угол 30о ⇒ ∠LKN = 30o.
3. 

                                                        Ответ: 56.

Вариант № 16

1. Рисунок Варианта 15.
2. .
3.  .
4.       Ответ: 2 : 1.

Вариант № 17 (аналогично вариант № 18, 19)

1. AC ∩ BD = M.
2. ΔMBO1 ∼ ΔKO1B (∠O1 – общий, ∠O1КB = ∠O1BМ = 90о).

3. ΔMO1В ∼ ΔМO2D (∠M – общий, ∠MBO1 = ∠MDO2 = 90о).

4. 
5. ΔMO2D ∼ ΔNO2D (∠O2 – общий, ∠O2ND = ∠MDO2 = 90о).

6. KN = KO1 + O1O2 – NO2 = 7,5 + 64 – 32,5 = 39.

Ответ: 39.

Вариант № 23 (аналогично варианты № 22, 24)

1. Проведем прямую СЕ || BD.

             CE ∩ AD = Е.

2. DBCE – параллелограмм ⇒ 

             ВС = DE = a, ВD = CE = 7.

3. Средняя линия трапеции равна 10 ⇒    

                                                         и  ⇒ .

4. ΔАСЕ: АС = 15, СЕ = 7, АЕ = 20.

.

.

5. .

Ответ: 42.

Вариант № 25  (аналогично вариант № 26)

1. AD – биссектриса и BD : CD = 1 : 3 ⇒ АВ : АС = 1 : 3 ⇒ АВ = у, АС = 3у ⇒ АК = 1,5у.
2. AЕ – биссектриса и АВ :

             АК = 1 : 1,5 ⇒ ВЕ : ЕК = 1 : 1,5 ⇒ 

           ВЕ = z, EК = 1,5z.

3. ВK – медиана ⇒ 

                SΔАВК = SΔВКC = 40.

4. Пусть BD = k, DC = 3k ⇒

 ⇒ SΔВED = 4 ⇒ SΔDCK = 36.

Ответ: 36.

Вариант № 27 (аналогично вариант № 28)

1. АВ ∩ DC = M.
2. СН ⊥ AD, BC = AH = 12, AD = 15 ⇒ HD = 3.
3. ΔBMC ∼ ΔCHD

∠MBC = ∠CHD = 90o

∠BCM = ∠CDH (соответственные при ВС || AD) ⇒ CD = x, MC = 4x.

4. ME – касательная к окружности, MD – секущая ⇒ 

5. ΔMEF ∼ ΔAMD

∠EFM = ∠MAD = 90o

∠M – общий ⇒

Ответ:

Вариант № 32 (аналогично вариант № 33)

1. ВМ – медиана, BN : NM = 5 : 4.
2. AN – биссектриса ⇒ АВ : АМ = 5 : 4 (свойство биссектрисы).

АВ = 5у, АМ = 4у ⇒ АС = 8у.

3. CL – медиана ⇒ AL = 2,5y.

AF – биссектриса ⇒ АС : AL = 16 : 5 ⇒ CF : FL = 16 : 5.

Ответ: 16 : 5.

Варианты № 34, 35, 36 (аналогично Статград вариант № 4)

Тренировочная работа по подготовке ОГЭ по математике СтатГрад

7 апреля 2015 года

Вариант №1

MN ǁ AP  ВР : PN = 7:3.

1. AM = MC  PN = NC = 3у  ВС = 13у.
2. 

Ответ: 49 : 81.

Вариант №2

1.  QNM = QPM = α (опираются на одну дугу), QNP  = QMP = α (опираются на одну дугу)   ⇒ QPM  = QMP   ∆QPM – равнобедренный.

2. PQN  = PMN = ϒ (опираются на одну дугу), NQM  = MPN = β (опираются на одну дугу).

3.  ∆PSN  ~  ∆QSM (по двум углам).

          (1)

     ∆PSQ ~ ∆NSM (по двум углам).

            (2)

Из (1) и (2)    ∆PSN ~ ∆QSM ~ ∆PSQ ~ ∆NSM  

                         PSN = QSM = PSQ = NSM = 90°  

                         QS – высота и медиана

                          PS  =

Ответ: 45.

Вариант №3 (аналогично вариант №6 (сборник Ященко))

1.

2.  ∆АВС ~ ∆ВСР (по двум углам).    

3.             

Ответ: 204.

Вариант №4

1. ABCD – трапеция.  BC ǁ AD.

BN = NC, AM = MD,  AF = FB, CT = TD 

2.   

3.  Опишем окружность около ΔALD ⇒ 

      AD - диаметр.

4. LM = AM = MD = R = a ⇒

⇒ ΔALM  и ΔLMD – равнобедренные ⇒ углы при основаниях у треугольников равны.

5. ∠LBN = ∠LAM, ∠LCN = ∠LDM,  как соответственные углы при

 ВС ǁ AD  ⇒  ∆ВLN и ∆LNC –равнобедренные   ⇒   LN = BN и LN = NC  ⇒

BN = NC.

6. Пусть  LM = а,  AM = а,  LN = а - 1,  BN = b.

∆BLN ~ ∆ALM (по двум углам)          .

Т.к  ⇒ BC + AD = 22 ⇒ a + b = 11 ⇒  b = 11 – a.

(а – 1)а = а(11 – а)

2а2 – 12а = 0

a = 0 или  а = 6   b = 5.

Ответ: 10 и 12.