система
статья по математике (11 класс)

Олимпиада «Курчатов»  2021

1. Два землекопа вместе копали яму. Если бы первый землекоп копал со скоростью второго, то они бы справились на 7 минут позже. А если бы второй копал со скоростью первого, то они бы справились на 1 минуту раньше. За какое время они вместе выкопают яму, если каждый будет копать в своём темпе? Ответ дайте в секундах.
2. В классе учатся 2020 школьников. В первый учебный день после каникул 6 человек сделали уборку в классном кабинете. Далее каждый учебный день какие-то двое школьников снова прибирали класс.

Спустя N учебных дней после каникул учитель заметил, что любые два школьника убирались вместе не более одного раза. Какое наибольшее значение может принимать N?

3. В квадрате 33×33 Рома закрасил одну клетку невидимыми чернилами. У Насти есть проявитель, который действует следующим образом: если его применить к закрашенной клетке, то она станет красной, если применить к клетке, соседней с закрашенной по стороне или углу, то она станет розовой, а во всех других случаях ничего не произойдёт. Какое наименьшее количество раз Насте придётся применить проявитель, чтобы гарантированно найти клетку, закрашенную Ромой? (Проявлять саму эту клетку Насте не надо — достаточно наверняка узнать, где она находится.)

4. Найдите количество пар неотрицательных чисел (x,y), каждое из которых не превосходит 6π, удовлетворяющих равенству (tgx+ctgy)2 = (tgx+1)(ctgy−1)

5. Аня выписала на доску все натуральные числа от 1 до 7000, а затем Боря стёр какие-то k из них. При каком наибольшем k можно гарантировать, что среди оставшихся на доске чисел обязательно найдётся 31 число, одно из которых равно сумме тридцати остальных?

6. Даны две непересекающиеся окружности радиуса R. Прямая ℓ1 пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Прямая ℓ2 пересекает первую окружность в точках K и L, а вторую — в точках M и N. Известно, что

AB=BC=CD=13;

 KL=LM=MN=8

Найдите R.

1)

5) Понятно, что если, например, вычеркнуть 218 первых чисел (от 1 до 218) то сумма любых 30-ти из оставшихся больше 7000 (т. к самая минимальная из таких сумм - сумма от 219 включительно до 248 включительно равна 7005) Поэтому в любом случае k<218 Склоняюсь к мысли, что k=217, но пока не придумал, как это корректно доказать