Задачи для олимпиад
олимпиадные задания по математике (8 класс) на тему

8 класс

1. Решите уравнение:  (2 балла)

2. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и D пересекают сторону BC в двух точках, расстояние между которыми равно 2. Найти длину стороны BC, если AB = 5. (4 балла)

3. Свежие яблоки содержат 88% воды, а сушёные – 10 %. Сколько сушёных яблок получится из 75 кг свежих? (3 балла)

4. В равнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне разбивает его на два треугольника так, что периметр одного на 6 больше периметра другого. Найти стороны данного треугольника, если известно, что его периметр равен 33. (5 баллов)

5. Алгебраическое выражение  принимает значение -21 при у = -3 и при некотором значении n. Чему равно значение того же выражения при том же значении n и при  (4 балла)

6. Доказать, что число a  = 9619 +3213 – 8 ∙ 7316  делится на 10. (5 баллов)

7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось 140 т стали с содержанием никеля 30%? (5 баллов)

8. Докажите, что при любом значении а > 1 значение выражения отрицательно. (6 баллов)

8 класс

1. (2 балла)

х + 1 = 0 или х – 2 = 0 или х + 2 = 0

Ответ:  -1; ±2.

2. (4 балла)

                          Рис.1                              Рис.2

Возможны два случая (рис. 1 и рис. 2).

В первом случае (рис. 1) биссектрисы углов A и D пересекаются выше прямой BC.

AM −биссектриса (∠1=∠2), BC || AD (∠2 =∠3) , следовательно, ∠1=∠3 , треугольник ABM − равнобедренный, BM = AB.

DN −биссектриса (∠4=∠5), BC || AD (∠5 =∠6) , следовательно, ∠4 =∠6, треугольник DCN − равнобедренный, CN =CD .

Из свойства параллелограмма следует CD = AB = 5.

Итак, BC = BM +MN + NC = 5+ 2 + 5 = 12.

Во втором случае (рис. 2) биссектрисы углов A и D пересекаются внутри параллелограмма.

Рассуждая аналогично, устанавливаем, что BM = AB и CN =CD .

Как видим BN = BM −MN = 3.

Итак,  BC = BN +CN = 3+5 =8.

Ответ:  12 или 8.

3.  (3 балла)

100 – 88 = 12% - сухое вещество в свежих яблоках.

0,12 ∙ 75 = 9(кг) – сухое вещество в свежих яблоках.

100 – 10 = 90% - сухое вещество в сушеных яблоках.

9 : 0,9 = 10(кг) – сушеные яблоки.

Ответ: получится 10 кг сушеных яблок.

4. (5 баллов)

                         В

                                 А1

      А                               С

Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС. Медиана АА1 разбивает треугольник АВС на два треугольника так, что периметр одного на 6 больше периметра другого.

Возможны 2 случая:

-

-------------------------------------

;

ВА1 = СА1, т.е. ВА1 - СА1 = 0.

АВ – АС = 6.

Пусть АС = х, тогда АВ = х + 6.

х + 2(х + 6) = 33

х + 2х + 12 = 33

3х = 21

х = 7 (АС)     7 + 6 = 13 (АВ,  ВС)

Треугольник со сторонами 7, 13, 13 существует.

-

-------------------------------------

АС – АВ = 6.

Пусть АВ = х, тогда АС = х + 6.

х + х+(х + 6) = 33

3х = 27

х = 9 (АВ)     х + 6 = 9 + 6 = 15 (АС)

Треугольник со сторонами 9, 9, 15 существует.

Ответ: 7; 13; 13.   9; 9; 15.

5. (4 балла)

1.   при у = -3.

22n = 44

n = 2

Ответ:

6. (5 баллов)

Доказательство.  

Найдем последнюю цифру чисел:

1. 9619

61 = 6

62 = 36

63 = 216.  Последняя цифра числа 9619 равна 6.

2. 3213

21 = 2          25 = 32

22 = 4          26 = 64

23 = 8          27 = 128

24 = 16         28 = 256…

13 : 4 = 3 (остаток 1)

Последняя цифра числа 3213 равна 2.

3. 7316

31 = 3          35 = 243

32 = 9          36 = 729

33 = 27

34 = 81

16 : 4 = 4

Последняя цифра числа 7316 равна 1.

Полученное число оканчивается нулем, следовательно, делится на 10.

7. (5 баллов)

Пусть стали первого сорта х (т), второго сорта – у (т)

35у = 3500

у = 100 (т)

140 – 100 = 40(т)

Ответ: 40 т стали 1-го сорта, 70 т стали 2-го сорта.

8. (6 баллов)

Доказательство.

…………………..

Т.к. а > 0, то знаменатель 1 – а64 принимает отрицательное значение. И значение дроби  также  отрицательно.