Методика подготовки учащихся 9 класса к итоговой аттестации в форме ГИА по теме «Планиметрические задачи»
методическая разработка по математике (9 класс)

Методика подготовки  учащихся  9 класса

к итоговой аттестации в форме ГИА по теме

 «Планиметрические задачи»

Часть 1.  Вступительное слово.

Ничто так не развивает способность человека к аналитическому мышлению, как математика. Прочные знания в области математики в дальнейшем помогут ученику не только успешно освоить ту или иную техническую специальность, но и найдут применение во многих жизненно важных ситуациях.

При подготовке к экзаменам учащиеся должны иметь и уметь применять довольно большой объем знаний.  Но даже в нетиповых заданиях можно выделить шаблоны, что позволяет подготовленному правильным образом ученику уметь распознавать ход мыслей составителя.

Специфика экзаменов в форме теста ставит ребят в довольно сложное положение, т.к. они должны оперировать своими знаниями и уметь применять их чаще всего в нестандартной для них ситуации. 

             Подготовленность к ГИА по учебному предмету понимается как комплекс приобретенных знаний, навыков, умений, качеств, позволяющих успешно выполнять определенную деятельность. В готовности учащихся к сдаче экзамена в форме ГИА можно выделить следующие составляющие:

-информационная готовность (информированность о правилах поведения на экзамене, информированность о правилах заполнения бланков и т.д.);

-предметная готовность или содержательная (готовность по определенному предмету, умение решать тестовые задания);

-психологическая готовность (состояние готовности – "настрой", внутренняя настроенность на определенное поведение, ориентированность на целесообразные действия, актуализация и приспособление возможностей личности для успешных действий в ситуации сдачи экзамена).

          Предметная подготовленность по геометрии включает следующее.

Учебный материал по геометрии разбивается на 8 ключевых тем:

1         Геометрические фигуры и их свойства.

2        Треугольник.

3        Соотношения между сторонами и углами треугольника.

4        Многоугольники.

5        Окружность и круг.

6        Измерение геометрических величин.

7        Векторы и координаты.

8        Движения.

Среди целей обучения геометрии в 7-9 классах выделим формирование следующих умений:

1. Находить углы, используя:

а) теоремы о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника;

б) свойства углов при параллельных прямых;

в) теорему о сумме углов выпуклого многоугольника;

г) свойства углов, вписанных в окружность;

д) тригонометрические функции углов;

е) таблицы тригонометрических функций;

ж) формулу углов между векторами на координатной плоскости;

з) формулу углов между прямыми на координатной плоскости.

2. Находить длины и расстояния, используя:

а) теорему Пифагора;

б) свойства подобных треугольников;

в) тригонометрические функции углов;

г) формулу расстояния между точками на координатной плоскости;

д) формулу длины вектора на координатной плоскости.

3. Находить площади фигур на плоскости, используя:

а) формулы площади треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, круга и его частей;

в) свойства площадей подобных фигур.

4. Решать задачи на доказательство, используя:

а) признаки равенства треугольников;

б) соотношения между сторонами и углами треугольника;

в) свойства четырехугольников (квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции;

г) свойства взаимного расположения прямой и окружности, двух окружностей;

д) свойства многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности;

е) признаки подобия треугольников.

5. Изображать геометрические фигуры и проводить дополнительные построения, используя:

а) понятие геометрического места точек на плоскости;

б) аналитическое задание геометрических фигур.

 В ГИА должны присутствовать задачи, реализующие все эти цели. В противном случае, отсутствующим умениям будет уделяться меньше внимания, что приведет к снижению качества геометрической подготовки учащихся.

Предлагаем тренировочные задачи, которые можно использовать как в процессе изучения геометрии, так и при непосредственной подготовке к ГИА.

Применяются следующие принципы подготовки к ГИА:

Первый принцип – тематический. Эффективнее выстраивать такую подготовку, соблюдая принцип от простых типовых заданий к сложным.

Второй принцип – логический. На этапе освоения знаний необходимо подбирать материал в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного следует другое. На следующих занятиях полученные знания способствуют пониманию нового материала.

Третий принцип – тренировочный. На консультациях учащимся предлагаются тренировочные тесты, выполняя которые дети могут оценить степень подготовленности к экзаменам.

Четвёртый принцип – индивидуальный. На консультациях ученик может не только выполнить тест, но и получить ответы на вопросы, которые вызвали затруднение.

Пятый принцип – временной. Все тренировочные тесты следует проводить с ограничением времени, чтобы учащиеся могли контролировать себя - за какое время сколько заданий они успевают решить.

Шестой принцип – контролирующий. Максимализация нагрузки по содержанию и по времени для всех учащихся одинакова. Это необходимо, поскольку тест по своему назначению ставит всех в равные условия и предполагает объективный контроль результатов.

            Следуя этим принципам, формирую у учеников навыки самообразования, критического мышления, самостоятельной работы, самоорганизации и самоконтроля.

Часть 2. Устные упражнения – один из важных приемов при подготовке учащихся к ГИА по математике.

             В методике математики различают устные и письменные формы работ учащихся. Устная работа на уроках имеет большое значение – это и беседы учителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся при выполнении тех или иных заданий и т.п. В современных программах содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико за счет введения алгебраического и геометрического материала, а также за счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами.

Устные задания не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

          В связи с введением обязательного ГИА по математике возникает необходимость научить учащихся старших классов решать быстро и качественно задачи базового уровня. При этом необыкновенно возрастает роль устных вычислений и вычислений вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы.

         Устные упражнения как этап урока имеют свои задачи:

1) воспроизводство и корректировка знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя;

2) контроль состояния знаний учащихся;

3) автоматизация навыков простейших вычислений и преобразований.

При подготовке к решению геометрических задач, включенных в варианты  КИМов  по ГИА в качестве устных упражнений можно использовать задачи на готовых чертежах по той или иной теме, не требующие значительных теоретических и вычислительных  выкладок.

Например, повторение темы «Признаки равенства треугольников».

Используя готовые чертежи, учитель в короткое время может повторить типовые задачи по указанной теме. Следует начать с озвучивания что дано, что требуется доказать. После выделения равных элементов, спросить  какой признак равенства треугольников  содержит их в условии. Какой еще элемент должен быть равным в треугольниках. Найти его на рисунке и доказать.

Часть 3. Применение ИКТ на уроках математики при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

         По данным исследований, в памяти человека остается 1/4 часть услышанного материала,  1/3часть увиденного,  1/2часть увиденного и услышанного, ¾ части материала, если ученик привлечен в активные действия в процессе обучения.

Электронные презентации дают возможность учителю при минимальной подготовке и незначительных затратах времени подготовить наглядность к уроку. Уроки с применением презентаций зрелищны и эффективны в работе над информацией. Особенно, если это уроки повторения и обобщения материала определённой темы.

Рассмотрим презентацию на тему « Нахождение  длин и расстояний между точками» ( презентация прилагается).

Методически уместным будет перед решением задач повести  актуализацию знаний учащихся, повторив используемый при решении задач теоретический материал.

Далее  покажем методику решения задач из данной презентации (выборочно).

Первый блок задач предполагает использование теоремы Пифагора, свойство средней линии трапеции, распознавание трапеции на рисунке.

Слайд 1.

На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 18 м и 48 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб.

Обозначим столбы точками. Укажем как определить расстояние от точки до прямой.

Вопросы учащимся:

1. В каком отношении находятся отрезки, изображающие на рисунке столбы, почему? (они параллельны как перпендикуляры к одной прямой)
2. Как называется четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны, а две другие нет? (трапеция)
3. Чем для трапеция является искомый отрезок? (средней линией) Почему? Как обосновать, что он соединяет середины сторон?( по т. Фалеса)
4. Как найти длину средней линии? (половина суммы длин оснований)
5. (48+18):2=33(м)
6. Обсудив план решения, учащиеся записывают  решение в тетрадь.

Слайд 2.

На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Первый и второй находятся от дороги на расстояниях 15 м и 20 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб.

               Обозначим столбы цифрами1,2,3.

Вопросы учащимся:

1. Как найти расстояние от точки до прямой? ( опустить перпендикуляр из точки на прямую).
2. В каком отношении находятся три перпендикуляра к одной прямой? (они параллельны)
3. Определите вид четырехугольника  на рисунке.( трапеция)
4. Назовите основания и среднюю линию.
5. Прочитайте теорему о средней линии трапеции.
6. Как найти основание трапеции, зная длины средней линии и второго основания?

(15+х):2=20, х=25.

Слайд 3.

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

На рисунке схематично показана траектория движении мальчика, стрелками указано движение в направлении частей света.

Вопросы учащимся:

1. Определите вид треугольника на рисунке ( прямоугольный).
2. Чем является в данном треугольнике искомый отрезок (гипотенузой).
3. Какой теоремой нужно воспользоваться? Скажите формулировку   теоремы. Для нахождения гипотенузы необходимо знать дины катетов, они известны по условию задачи? (теоремой Пифагора, длины катетов известны ).
4. Ответ: 1000.

Слайд 4.

Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Вопросы учащимся:

1.Чем отличается данный рисунок от предыдущего? ( после движения не запад и север, девочка прошла на восток, т.е. параллельно движению на запад, но в противоложном направлении)

2.Можно ли, проведя дополнительные построения свести данную задачу к предыдущей?  (да,  отсекая от трапеции прямоугольный треугольник с катетами  300м и 500-100=400(м))

Ответ: 500м.

Предложить учащимся для самостоятельного решения, повторив предварительно формулы движения, и обратив внимание, что при решении время должно быть выражено в одних единицах и минуты следует перевести в часы.

Слайды 5,6.

Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?

Ответ:2,5км

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Ответ : 50 км

Для отработки навыка решения разобранных задач и закрепления предложить для самостоятельного решения дома задачи:

7.Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.

ответ:500м

8. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

9. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

10. В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 11 м, а другой 6 м. Найдите расстояние между их верхушками

Слайд 16.

На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Вопросы учащимся:

1.Какие отрезки должны быть равны, чтобы расстояния от каждой вороны до сыра были одинаковыми? (АЕ=ЕС).

2. Определить вид треугольников АВЕ и СДЕ.( прямоугольные).

3.  Выразите длины гипотенуз АЕ и СЕ через длины катетов.(АВ и СД известны, ВЕ и ЕД –нет)

4.Что известно из условия задачи о длинах ВЕ и ЕД?( ВЕ+ЕД=10)

5. Если ВЕ принять за  «х», то ЕД=10-х.

6. Используя условие АЕ=ЕС и теорему Пифагора составьте уравнение.

=+, =+

+=+. Ответ. 6

Приведем примеры нахождение длин, используя признаки подобия.

Слайд 17.

Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние AB от лодки A до берега b.

Вопросы учащимся:

1. Определите вид треугольников АВС и ЕДС.( прямоугольные)
2. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников. Подобны ли  изображенные ни рисунке? Почему?( подобны, углы при вершине С в треугольниках равны как вертикальные)
3. Запишите равенства отношений сторон.(== ).
4. Приняв искомый отрезок за «х» и заменив в пропорции отрезки их длинами , составьте уравнение и решите его.
5. Ответ:100
6. Второй вариант : сразу указать значение коэффициента подобия к=10 и найти соответственную сторону АВ=10ДЕ=1010=100.

Слайд 29.

Какой должна быть ширина (x) прямоугольной рамки для фотографии, указанной на рисунке, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны?

Методические рекомендации учащимся :

1. Обозначьте вершины прямоугольников АВСД –внешнего, -внутреннего.
2. АВ=18,  АД=16, =8, =18-2х.
3. Запишите отношение подобных сторон и замени стороны значением длин соответствующих отрезков. Реши полученное уравнение.
4.  =
5. Ответ:4,5 см

Аналогичные задачи из презентации могут быть предложены  учащимся для самостоятельного решения.

Часть 4. Заключение.

              Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности, чтобы сделать ее более доступной.

Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком.

Под математической грамотностью понимается способность учащихся:

распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; формулировать эти проблемы на языке математики; решать эти проблемы, используя математические знания и методы; анализировать использованные методы решения; интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы; формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.