Олимпиадные задачи
статья по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10 класс)

13.01 Решение различных задач на повторение

Оформляем полное решение задач на отдельных двойных листочках.  

При решении задач можно использовать рабочую тетрадь.

1. В деревне 9 домов. Известно, что у Гоши соседи Иван и Роман, Максим сосед Ивану и Михаилу, Виктор — Алексею и Андрею, а также по соседству живут Константин с Андреем, Иван с Михаилом, Константин с Алексеем, Михаил с Романом и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Гоша огородами пробраться к Андрею за яблоками?

2. В некотором государстве 6 городов и 10 автодорог, каждая из которых связывает какие-то два города. Между городами устанавливается авиационное сообщение, исходя из принципа экономии: авиационная линия между двумя городами устанавливается тогда и только тогда, когда автомобильная дорога между этими городами отсутствует. Сколько авиалиний будет проведено?

3. В стране 1329 городов, из каждого выходит по 4 дороги. Сколько всего дорог в стране?

4. Докажите, что не существует графа с пятью вершинами, степени которых равны           4, 4, 4, 4, 2.

5. Вася считает, что в его классе у всех разное число друзей-одноклассников. Не ошибается ли он?

6. Иван утверждает, что среди любых а) четырёх; б) пяти; в) шести человек обязательно найдётся либо трое знакомых друг с другом, либо трое незнакомых. Не завирается ли он?

7. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе.  Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения)

8. Докажите, что если 21 человек собрал 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.

9. Каждая клетка таблицы 2015×2015 покрашена в один из 2014 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Можно ли за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?

10. а) На складе есть кувшины двух разных цветов и двух разных форм. докажите, что там найдутся два кувшина, отличающиеся и формой и цветом.

б) В магазин привезли платья трёх цветов и трёх фасонов. Обязательно ли можно выбрать для витрины 3 платья так, чтобы были представлены все цвета и все фасоны?

11. В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Дополнительные задачи см на обороте

Доп.

12. Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: „один, два, ...” Боря не выговаривает букву «P», поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква «P», а называет сразу следующее число без буквы «P». Миша не выговаривает букву «Ш», поэтому пропускает числа с буквой «Ш». У Бори последний столб получил номер «сто». Какой номер этот столб получил у Миши?

13. Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил сумму этих чисел на их произведение. После этого он стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?

14. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?

13.01 Решение различных задач на повторение

Оформляем полное решение задач на отдельных двойных листочках.  

При решении задач можно использовать рабочую тетрадь.

1. В деревне 9 домов. Известно, что у Гоши соседи Иван и Роман, Максим сосед Ивану и Михаилу, Виктор — Алексею и Андрею, а также по соседству живут Константин с Андреем, Иван с Михаилом, Константин с Алексеем, Михаил с Романом и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Гоша огородами пробраться к Андрею за яблоками?

2. В некотором государстве 6 городов и 10 автодорог, каждая из которых связывает какие-то два города. Между городами устанавливается авиационное сообщение, исходя из принципа экономии: авиационная линия между двумя городами устанавливается тогда и только тогда, когда автомобильная дорога между этими городами отсутствует. Сколько авиалиний будет проведено?

3. В стране 1329 городов, из каждого выходит по 4 дороги. Сколько всего дорог в стране?

4. Докажите, что не существует графа с пятью вершинами, степени которых равны           4, 4, 4, 4, 2.

5. Вася считает, что в его классе у всех разное число друзей-одноклассников. Не ошибается ли он?

6. Иван утверждает, что среди любых а) четырёх; б) пяти; в) шести человек обязательно найдётся либо трое знакомых друг с другом, либо трое незнакомых. Не завирается ли он?

7. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе.  Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения)

8. Докажите, что если 21 человек собрал 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.

9. Каждая клетка таблицы 2015×2015 покрашена в один из 2014 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Можно ли за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?

10. а) На складе есть кувшины двух разных цветов и двух разных форм. докажите, что там найдутся два кувшина, отличающиеся и формой и цветом.

б) В магазин привезли платья трёх цветов и трёх фасонов. Обязательно ли можно выбрать для витрины 3 платья так, чтобы были представлены все цвета и все фасоны?

11. В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Дополнительные задачи см на обороте

Доп.

12. Боря и Миша едут в поезде и считают столбы за окном: „один, два, ...” Боря не выговаривает букву «P», поэтому при счете он пропускает числа, в названии которых есть буква «P», а называет сразу следующее число без буквы «P». Миша не выговаривает букву «Ш», поэтому пропускает числа с буквой «Ш». У Бори последний столб получил номер «сто». Какой номер этот столб получил у Миши?

13. Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил сумму этих чисел на их произведение. После этого он стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?

14. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?