Урок 5 «Решение задач на построение сечений призмы»
план-конспект урока по математике (10, 11 класс)

Урок №5

Тема урока: Решение задач на построение сечений призмы

Цели урока: дидактические:

• повторить понятия параллелепипеда, свойства, виды параллелепипедов;
• ввести общее понятие сечение многогранника;
• разобрать примеры построения сечения призмы;

Развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей, самостоятельности мышления обучающихся, пространственного воображения.

Воспитательные: формировать эстетические навыки при выполнении чертежей и записей в тетради и самостоятельность мышления обучающихся

Оборудование урока: цветные мелки, чертежные инструменты, раздаточные материалы, с/р по теме “Параллелепипед” приложение 2.

Методы и приемы обучения: метод эвристической беседы, поисковый.

Особенность: формирование общих, и личностных компетенций  при изучении математики.

1. Учить обучающихся, организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения математических задач, оценивать их эффективность и качество.

2. Учить студентов, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

3. Учить студентов, работать в коллективе, эффективно общаться с одногруппниками  и преподавателями.

Тип урока: изучение нового материала        

Вид урока: урок-лекция с элементами беседы

Ход урока

1. Организационный момент.

1.1. Выявление отсутствующих обучающихся;

1.2 Организация внимания и проверка готовности студентов к уроку.

2. Проверка усвоение материала.

На прошлом уроке мы изучали четырехугольные призмы – параллелепипеды, проверим, как вы подготовились к уроку.

Выполняем самостоятельную работу.

С/Р «Проверь себя"

                D1        C1

        A1        B1        

        0        

        D1                C

        A        B          рис. 1.

             D1                                С1

                A1                 B1

        D        C

        A                 B        рис. 2.

3. Актуализация знаний

Повторяем аксиомы стереометрии и следствия из них с использованием таблицы.

Учитель:

Многогранник и плоскость могут:

• вообще не иметь общих точек;
• иметь единственную общую точку;
• пересекаться по отрезку.

Сечение многогранника будет плоской фигурой, ограниченной конечным числом отрезков, получающихся в пересечении плоскости с гранями многогранника.

Чтобы найти пересечение плоскости какой-то грани многогранника с плоскостью сечения, нужно в плоскости грани как-нибудь, построить две точки, принадлежащие сечению.

Диагональные сечения – это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

 Как можно задать плоскость сечения? Известны четыре способа:

1) двумя пересекающимися прямыми;

2) прямой и не лежащей на ней точкой;

3) тремя не лежащими на одной прямой точками;

4) двумя параллельными прямыми.

    Следовательно, плоскость сечения может быть задана одним из этих способов.

    В задачах на сечение необходимо, как правило, использовать метод следов, метод внутреннего проектирования или и тот и другой.

                                                 Метод следов

            Следом сечения на плоскости грани называется прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани.

                                                                        Заданные точки

                                                                     Точка на следе

                                           след

проекции заданных точек

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

Рис. 2

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

Запомните.  Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

2. Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Точка  X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим  ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

.

 Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

 .

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

.

Точка  X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L (они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Проверка усвоение материала

Самостоятельная работа на построение сечения, в случае затруднения студенты используют инструкцию.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

Инструкция к построению.

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
4. Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже).

Решение.

Инструкция к построению.

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Подведение итогов

Студенты  сдают на проверку самостоятельные работы.

Домашнее задание

П. 41-42, задача №15, № 10