Решение прикладных задач с помощью производной
методическая разработка по математике

Скажи мне, я забуду.

Покажи мне, я могу запомнить.

Позволь мне сделать,

и это станет моим навсегда.

Китайская пословица

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

По дисциплине: Математика

Для группы 20-СЛ

Тема: Решение прикладных задач с помощью производной

Цели:

• образовательная: создание условий дляпрактического применения знаний о производной, формирования умения решения студентами задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции; иметь представление о задачах на оптимизацию.
• развивающая: способствовать развитию аналитического, пространственного мышления, умения самостоятельно определять цели деятельности, логично и точно излагать свою точку зрения, осуществлять деятельность с использованием всевозможных ресурсов для достижения поставленных целей.

• воспитательная: способствовать формированию у студентов отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, умения учитывать позиции других участников деятельности, готовности и способности к самостоятельной, ответственной деятельности.

Вид занятия: урок

Тип урока: урок комплексного применения знаний

Применяемая методика: практико-ориентированный подход

Оборудование: презентация, информационно-методический раздаточный материал для студентов, карточки опроса

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)
2. Мотивационная беседа (3 мин)
3. Решение задачи на сварку бака наибольшего объема (15 мин)

Применяемая методика: индивидуальное выполнение студентами задания по практическому решению задачи на изготовление бака и вычислению объема.

4. Объяснение нового материала. (10 мин)
5. Актуализация обучающимися знаний, необходимых для решения прикладных  задач с помощью производной. (10 мин)
6. Организация самостоятельной деятельности обучающихся по решению задачи 2 (10 мин)
7. Обсуждение результатов выполнения задачи. (5 мин)
8. Закрепление изученного материала (25мин)

Применяемая методика: решение задач

9. Рефлексия. (5 мин)
10. Подведение итогов урока (3 мин)
11. Задание на дом (2 мин)

Сценарий занятия

1. Организационный момент

Взаимные приветствия преподавателя и студентов, фиксация отсутствующих, проверка внешнего состояния аудиторного помещения, проверка подготовленности группы к занятию, организация внимания и внутренней готовности.

2. Мотивационная беседа: (2 мин.)

Слайд 1 Решение прикладных задач с применением производной

На предыдущем занятии мы рассмотрели решение заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной, определили алгоритм решения таких заданий. Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т. е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение.

Слайд 2 Задачи на оптимизацию

Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.Задачи на нахождение наибольшего или  наименьшего (т.е. наилучшего) значения величин  называются задачами на оптимизацию.Давайте подумаем, какие задачи на оптимизацию вам, как сварщикам, возможно,  предстоит решать в работе.

3. Решение задачи на сварку бака наибольшего объема

(Работа в парах)

Слайд 3 Задача на изготовление бака наибольшего объема

Представьте себе, что вам поступил заказ: Из квадратного листа железа необходимо изготовить бак в форме прямоугольного параллелепипеда с наибольшим объемом. Давайте практическим путем определим, какие параметры должен иметь этот бак?

На каждый стол (2 студента) выдан бумажный квадрат со стороной 24х24 см и различной разметкой (вырезка по краям квадратов со сторонами 1х1, 2х2, 3х3, 4х4х, 5х5, 6х6, 7х7, 8х8, 9х9, 10х10, 11х11см). Необходимо склеить «бак» и подсчитать его объем эмпирическим путем. Ответ фиксируется на доске и выбирается наибольший объем.

Итак, наибольший объем имеет бак высотой 4 см и основанием 16х16 см. Для того, чтобы прийти к этому результату, нам пришлось практическим путем выполнить построение 12 «баков». В жизни это – непозволительная роскошь. Т.е. необходимо проблему решить другим путем.  Для этого мы применим знания и принцип математического моделирования

4. Объяснение нового материала

Слайд 4 Принцип математического моделирования

В самых простых задачах на оптимизацию м имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает наибольшее или наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают, используя принцип математического моделирования, который состоит из трех этапов:

1. Составление математической модели
2. Работа с составленной моделью
3. Ответ на вопрос задачи

Используя принцип математического моделирования, решим задачу на изготовление бака наибольшего объема.

1 этап: Составление математической модели:

1) Проанализировав условия задачи, выделим оптимизируемую величину, т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой необходимо найти. В данном случае это объем бака, обозначим его V

2) Одну из участвующих в задаче величин обозначить за независимую переменную х. Постараться выразить через эту переменную остальные величины. В нашей задаче логично за независимую переменную х принять высоту бака, тогда основание бака – квадрат со стороной (24-2х). Определим реальные границы переменной х. Логично, что высота бака –положительная величина, меньшая 12.

3) Исходя из условия задач, выразим V через х:

V(х)=(24-2x)2x,  0<х<12. Математическая модель построена

2 этап. Работа с составленной моделью

Найдем наибольшее значение функции V(x) на интервале (0;12)

V(x)=576x-96x2+4x3

Находим производную и стационарные точки

V'(x)=576-192x+12x2,    576-192x+12x2=0, х1=12,х2=4.

Только одна точка х=4 принадлежит интервалу (0;12), причем при 0<х<4 V'(x)>0, а при 4<х<12  V'(x)<0, т.е. х=4 точка максимума, а значит, в этой точке функция V(x) принимает наибольшее значение.

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

Х – это высота бака, т.е. высота равна 4, стороны основания бака – 16.

Итак, бак с наибольшим объемом имеет параметры: 16х16х4.

(Обучающиеся записывают в тетради со слайда Принцип мат.моделировния)

5. Актуализация обучающимися знаний, необходимых для решения прикладных  задач с помощью производной

Для решения прикладных задач с использованием принципа математического моделирования с применением производной нам необходимо вспомнить основные правила дифференцирования и некоторые понятия диф. исчисления

 Слайд 5. Математический диктант

(Обучающие пишут математический диктант по варантам, меняются тетрадями, выполняют проверку)

Слайд 6. Математический диктант. Ответы

6. Организация самостоятельной деятельности обучающихся по решению задачи 2

Итак, повторив правила дифференцирования и некоторые понятия диф.исчисления, решим задачу №2, использую этапы математического моделирования.

Слайд 7. Задача 2.

Дан бак без крышки в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем которого равен 108 дм3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Приложение 1

1. Составляем математическую модель

2. Работа с математической моделью. Найти наименьшее значение функции S(x) на интервале (0;108) по алгоритму

3. Ответ на вопрос задачи.

7. Обсуждение результатов выполнения задачи.

(Устное обсуждение и письменное решение на доске)

8.Закрепление изученного материала

Обучающиеся делятся на 4 группы. Каждая группа получает задачу для решения по образцу, алгоритму. Затем представитель от группы объясняет у доски свое решение

Задача 1.

Сварщику поступил заказ выполнить ограждение участка площадью 2400м2, разбивего на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина ограждения была наименьшей. Найти размеры участков.

Задача 2

Требуется сварить ящик с крышкой объёмом 576 дм³, стороны основания ящика должны относиться как 1:2. Какой должна быть величина его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

         Задача 3

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. У сварщика есть 20 метров изгороди. Надо огородить участок так, чтобы площадь его была наибольшая

       Задача 4

Требуется изготовить открытыйжестяной короб в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на его изготовление можно потратить жести 300см2

9. Рефлексия.

Слайд 8

Сиквейн - короткое нерифмованное стихотворение из 5 строк. Классический сиквейн составляется следующим образом :

• первая строка - одно слово(существительное или местоимение), выражающее тему,
• вторая строка - два слова (прилагательное или причастие), описывающие свойства, признаки темы,
• третья строка - три слова (глаголы или деепричастия), описывающие действие темы,
• четвертая строка - фраза или предложение из четырех слов, выражающее отношение автора к теме,
• одно слово(любая часть речи), выражающее суть темы, резюме.

Обучающиеся составляют в группе сиквейн по теме данного занятия

10. Подведение итогов урока

Ребята, наше занятие подходит к концу. Я хочу вас всех поблагодарить, вы все большие молодцы: были активны, благодаря чему мы с вами достигли поставленных целей: получили представление о математическом моделировании как способе решения прикладных задач; учились с помощью производной решать задачи на оптимизацию.

(Выставление оценок)

11. Задание на дом

Алимов Ш.А, Колягин Ю.М. и др, Алгебра и начала анализа, стр. 337 № 1344