Материалы для подготовки к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

ПАМЯТКА ДЛЯ ВЫПУСКНИКОВ

как вести себя во время сдачи экзаменов в формате ЕГЭ

Экзаменационные материалы состоят из трех частей, в которых сгруппированы задания разного уровня сложности. Всегда есть задания, которые ты в силах решить. Задания разрабатываются в соответствии с программой общеобразовательной школы и отвечают образовательному стандарту. Задания части С отвечают более высокому уровню сложности, но соответствуют школьной программе - они доступны для тебя!

Итак, позади период подготовки. Не пожалей двух-трех минут на то, чтобы привести себя в состояние равновесия.

Вспомни о ритмическом дыхании, аутогенной тренировке: подыши, успокойся. Вот и хорошо!

Будь внимателен! В начале тестирования тебе сообщат необходимую информацию (как заполнять бланк, какими буквами писать, как кодировать номер школы и т.п.). От того, насколько ты внимательно запомнишь все эти правила, зависит правильность твоих ответов!

Соблюдай правила поведения на экзамене! Не выкрикивай с места, если ты хочешь задать вопрос организатору проведения ЕГЭ в аудитории, подними руку. Твои вопросы не должны касаться содержания заданий, тебе ответят только на вопросы, связанные с правилами заполнения регистрационного бланка, или в случае возникновения трудностей с тестопакетом (опечатки, не пропечатанные буквы, отсутствие текста в бланке и пр.).

Сосредоточься! После заполнения бланка регистрации, когда ты прояснил все непонятные для себя моменты, постарайся сосредоточиться и забыть про окружающих. Для тебя должны существовать только текст заданий и часы, регламентирующие время выполнения теста. Торопись не спеша!

Не бойся! Жесткие рамки времени не должны влиять на качество твоих ответов. Перед тем, как вписать ответ, перечитай вопрос дважды и убедись, что ты правильно понял, что от тебя требуется.

Начни с легкого! Начни отвечать на те вопросы, в знании которых ты не сомневаешься, не останавливаясь на тех, которые могут вызвать долгие раздумья. Тогда ты успокоишься, голова начнет работать более ясно и четко, и ты войдешь в рабочий ритм. Ты как бы освободишься от нервозности, и вся твоя энергия потом будет направлена на более трудные вопросы.

Пропускай! Надо научиться пропускать трудные или непонятные задания. Помни: в тексте всегда найдутся, такие вопросы, с которыми ты обязательно справишься. Просто глупо недобрать баллов только потому, что ты не дошел до «своих» заданий, а застрял на тех, которые вызывают у тебя затруднения.

Читай задание до конца! Спешка не должна приводить к тому, что ты стараешься понять условия задания «по первым словам» и достраиваешь концовку в собственном воображении. Это верный способ совершить досадные ошибки в самых легких вопросах.

Думай только о текущем задании! Когда ты видишь новое задание, забудь все, что было в предыдущем. Как правило, задания в тестах не связаны друг с другом, поэтому знания, которые ты применил в одном (уже, допустим, решенном тобой), как правило, не помогают, а только мешают сконцентрироваться и правильно решить новое задание. Этот совет даст тебе и другой бесценный психологический эффект: забудь о неудаче в прошлом задании (если оно оказалось тебе не по зубам). Думай только о том, что каждое новое задание - это шанс набрать баллы.

Исключай! Многие задания можно быстрее решить, если не искать сразу правильный вариант ответа, а последовательно исключать те, которые явно не подходят. Метод исключения позволяет в итоге сконцентрировать внимание всего на одном - двух вариантах, а не на всех пяти-семи (что гораздо труднее).

Запланируй два круга! Рассчитай время так, чтобы за две трети всего отведенного времени пройтись по всем легким, доступным для тебя заданиям (первый круг), тогда ты успеешь набрать максимум баллов на тех заданиях, в ответах на которые ты уверен, а потом спокойно вернуться и подумать над трудными, которые тебе вначале пришлось пропустить (второй круг).

Угадывай! Если ты не уверен в выборе ответа, но интуитивно можешь предпочесть какой-то ответ другим, то интуиции следует доверять! При этом выбирай такой вариант, который, на твой взгляд, имеет большую вероятность.

Проверяй! Обязательно оставь время для проверки своей работы, хотя бы для того, чтобы успеть пробежать глазами ответы и заметить явные ошибки.

Не огорчайся! Стремись выполнить все задания, но помни, что на практике это не всегда реально. Учитывай, что количество решенных тобой заданий вполне может оказаться достаточным для хорошей оценки.

Удачи тебе!

ПОМНИ:

- ты имеешь право на подачу апелляции по процедуре проведения экзамена в форме ЕГЭ руководителю пункта проведения экзамена в день выполнения работы, не выходя из пункта проведения экзамена;

- ты имеешь право подать апелляцию в конфликтную комиссию в течение трех дней после объявления результата экзамена.

ПАМЯТКА ДЛЯ ВЫПУСКНИКОВ

 Как подготовиться к сдаче экзаменов

Экзамены (в строгом переводе с латыни – испытания) – это не просто «отбарабанил» и ушел. Это процесс многокомпонентный и сложный, где каждая из составляющих успеха просто незаменима. Психологическая готовность так же важна, как и хорошее владение знаниями по предмету.

Подготовка к экзамену

• Сначала подготовь место для занятий: убери со стола лишние вещи, удобно расположи нужные учебники, пособия, тетради, бумагу, карандаши.

• Можно ввести в интерьер комнаты желтый и фиолетовый цвета, поскольку они повышают интеллектуальную активность. Для этого бывает достаточно какой-либо картинки в этих тонах или эстампа.

• Составь план подготовки. Для начала определи, кто ты - «жаворонок» или «сова», и в зависимости от этого максимально используй утренние или вечерние часы. Составляя план на каждый день подготовки, необходимо четко определить, что именно сегодня будет изучаться. Не вообще: «немного позанимаюсь», а какие именно разделы и темы будут пройдены.

• Начни с самого трудного - с того раздела, который знаешь хуже всего. Но если тебе трудно «раскачаться», можно начать с того материала, который тебе больше всего интересен и приятен. Возможно, постепенно войдешь в рабочий ритм, и дело пойдет.

• Чередуй занятия и отдых, скажем, 40 минут занятий, затем 10 минут - перерыв. Можно в это время помыть посуду, полить цветы, сделать зарядку, принять душ.

• Не надо стремиться к тому, чтобы прочитать и запомнить наизусть весь учебник. Полезно структурировать материал за счет составления планов, схем, причем желательно на бумаге. Планы полезны и потому, что их легко использовать при кратком повторении материала.

• Выполняй как можно больше различных опубликованных тестов по этому предмету. Эти тренировки ознакомят тебя с конструкциями тестовых заданий.

• Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов (на задания в части А в среднем уходит по 2 минуты на задание).

• Готовясь к экзаменам, никогда не думай о том, что не справишься, а, напротив, мысленно рисуй себе картину триумфа.

• Оставь один день перед экзаменом на то, чтобы вновь повторить все планы ответов, еще раз остановиться на самых трудных вопросах. 

НАКАНУНЕ ЭКЗАМЕНА

• Многие считают: для того чтобы полностью подготовиться к экзамену, не хватает всего одной, последней перед ним ночи. Это неправильно. Ты уже устал, и не надо себя переутомлять. Напротив, с вечера перестань готовиться, прими душ, соверши прогулку. Выспись как можно лучше, чтобы встать отдохнувшим, с ощущением своего здоровья, силы, боевого настроя. Ведь экзамен - это своеобразная борьба, в которой нужно проявить себя, показать свои возможности и способности.

• В пункт сдачи экзамена ты должен явиться, не опаздывая, лучше за полчаса до начала тестирования. При себе нужно иметь пропуск, паспорт (а не свидетельство о рождении) и несколько (про запас) гелевых или капиллярных ручек с черными чернилами.

• Продумай, как ты оденешься на экзамен: в пункте тестирования может быть прохладно или тепло, а ты будешь сидеть на экзамене 3 часа. 

По материалам www.ege.ru

Советы родителям: как помочь детям подготовиться к экзаменам

Не тревожьтесь о количестве баллов, которые ребенок получит на экзамене, и не критикуйте ребенка после экзамена. Внушайте ребенку мысль, что количество баллов не является совершенным измерением его возможностей.

Не повышайте тревожность ребенка накануне экзаменов - это может отрицательно сказаться на результате тестирования. Ребенку всегда передается волнение родителей, и если взрослые в ответственный момент могут справиться со своими эмоциями, то ребенок в силу возрастных особенностей может эмоционально "сорваться".

Подбадривайте детей, хвалите их за то, что они делают хорошо.

Повышайте их уверенность в себе, так как чем больше ребенок боится неудачи, тем более вероятности допущения ошибок.

Наблюдайте за самочувствием ребенка, никто, кроме Вас, не сможет вовремя заметить и предотвратить ухудшение состояние ребенка, связанное с переутомлением.

Контролируйте режим подготовки ребенка, не допускайте перегрузок, объясните ему, что он обязательно должен чередовать занятия с отдыхом.

Обеспечьте дома удобное место для занятий, проследите, чтобы никто из домашних не мешал.

Обратите внимание на питание ребенка: во время интенсивного умственного напряжения ему необходима питательная и разнообразная пища и сбалансированный комплекс витаминов. Такие продукты, как рыба, творог, орехи, курага и т.д. стимулируют работу головного мозга.

Помогите детям распределить темы подготовки по дням.

Ознакомьте ребенка с методикой подготовки к экзаменам. Не имеет смысла зазубривать весь фактический материал, достаточно просмотреть ключевые моменты и уловить смысл и логику материала. Очень полезно делать краткие схематические выписки и таблицы, упорядочивая изучаемый материал по плану. Если он не умеет, покажите ему, как это делается на практике. Основные формулы и определения можно выписать на листочках и повесить над письменным столом, над кроватью, в столовой и т.д.

Подготовьте различные варианты тестовых заданий по предмету (сейчас существует множество различных сборников тестовых заданий). Большое значение имеет тренаж ребенка именно по тестированию, ведь эта форма отличается от привычных ему письменных и устных экзаменов.

Заранее во время тренировки по тестовым заданиям приучайте ребенка ориентироваться во времени и уметь его распределять. Тогда у ребенка будет навык умения концентрироваться на протяжении всего тестирования, что придаст ему спокойствие и снимет излишнюю тревожность. Если ребенок не носит часов, обязательно дайте ему часы на экзамен.

Накануне экзамена обеспечьте ребенку полноценный отдых, он должен отдохнуть и как следует выспаться.

И помните: самое главное – это снизить напряжение и тревожность ребенка и обеспечить подходящие условия для занятий.

Полезные сайты для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ

1. Решу ЕГЭ:  https://rus-ege.sdamgia.ru/   

На сайте собраны типовые задания по всем экзаменационным предметам, есть возможность составить собственный вариант по выбранным темам и пройти онлайн-тестирование.

2. Яндекс.Репетитор: https://yandex.ru/tutor/

На сайте собраны пробные варианты от СтатГрад и ФИПИ, создателей экзаменационных заданий.

3. Бингоскул: https://bingoschool.ru/

На сайте есть и теоретические материалы, и тестовые задания. Он ведёт статистику успеваемости ученика по выбранным предметам.

4. ФИПИ:  https://fipi.ru/

Сайт некрасивый и неудобный, но именно здесь можно найти открытый банк экзаменационных заданий, методических пособий для экспертов и проверок. Он считается официальной базой заданий от составителей экзаменов.

5. Незнайка: https://neznaika.info/

Простой и понятный сайт, где очень много пробных вариантов по всем предметам.

6. Образовательный портал InternetUrok: https://interneturok.ru/

Этот сайт не столько готовит к ЕГЭ, сколько объясняет теоретический материал в целом. Здесь много видеоуроков, конспектов, тестирований и прочих полезных материалов. Хороший вариант для изучения «западающих» тем в домашних условиях.

7. Экзамен.ru:  https://www.examen.ru/

Большой новостной портал об экзаменах и обо всём, что с ними связано. Здесь можно решать онлайн задания не только в формате ЕГЭ и ОГЭ, но и просто по темам школьной программы. Хороший ресурс, чтобы узнать что-то новое и проверить свои знания.

8. ЕГЭ Максимум:  https://egemaximum.ru/

Сайт, больше похожий на страничку форума, но в этом и заключается его прелесть. Помимо видеоуроков и методических материалов, он позволяет общаться в открытых комментариях. У сайта узкая направленность — здесь можно готовиться только к экзаменам по математике.

9. Спадиоло.ru: https://spadilo.ru/ 

Ресурс всё с теми же пробными вариантами, который выигрывает за счёт понятных и интересных разборов заданий. Они могут заинтересовать даже самого немотивированного ученика. Здесь много не только вариантов тестов, но и разные форматы теоретических материалов.

10. Экзамер: https://examer.ru/ 

Сайт для подготовки к экзаменам. Обучение проходит в формате игры, что подходит даже для первого этапа подготовки.

Подробнее на «Меле»:  https://mel.fm/ucheba/fakultativ/5839760-ege_sites

Демонстрационная версия ЕГЭ—2022. Профильный уровень.

1. Задание 1 № 621662

Найдите корень уравнения: 

ИЛИ

Найдите корень уравнения 

ИЛИ

Найдите корень уравнения 

ИЛИ

Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

2. Задание 2 № 621663

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

ИЛИ

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?

3. Задание 3 № 621664

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.

ИЛИ

Площадь треугольника ABC равна 24, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

ИЛИ

В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

ИЛИ

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

4. Задание 4 № 621665

Найдите  если  и 

ИЛИ

Найдите значение выражения: 

ИЛИ

Найдите значение выражения: 

5. Задание 5 № 621666

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в  раза больше первого? Ответ выразите в см.

ИЛИ

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

ИЛИ

Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1 : 2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

6. Задание 6 № 621667

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

ИЛИ

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

7. Задание 7 № 621668

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле  где  м/с — скорость звука в воде,  — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

8. Задание 8 № 621669

Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

ИЛИ

Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

ИЛИ

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими

автомобилями через 15 минут после обгона?

9. Задание 9 № 621670

На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 

10. Задание 10 № 621671

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

ИЛИ

В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

11. Задание 11 № 621672

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

ИЛИ

Найдите точку максимума функции 

ИЛИ

Найдите точку минимума функции 

12. Задание 12 № 621674

а) Решите уравнение: 

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 

13. Задание 13 № 621675

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

14. Задание 14 № 621676

Решите неравенство 

15. Задание 15 № 621677

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

16. Задание 16 № 621678

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

17. Задание 17 № 621679

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

18. Задание 18 № 621680

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Ключ

ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Урал

1. Задания Д2 № 77349

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

2. Задания Д1 № 77257

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

3. Задания Д4 № 27556

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Задание 2 № 282857

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

5. Задание 1 № 26651

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 27770

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

7. Задание 6 № 27502

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

8. Задание 5 № 27051

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

9. Задание 4 № 26756

Найдите значение выражения 

10. Задание 7 № 27980

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала  Гц и определяется следующим выражением:  (Гц), где c – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а  м/с и  м/с – скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

11. Задание 8 № 26597

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

12. Задание 11 № 77487

Найдите точку максимума функции 

13. Задание 12 № 563613

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 563614

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади как 3 : 4.

б) Найдите объем пирамиды KBQPC.

15. Задание 14 № 563615

Решите неравенство: 

16. Задание 16 № 563616

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 4, 

17. Задание 15 № 563617

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего

года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

18. Задание 17 № 563618

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

19. Задание 18 № 563619

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а) Может ли выполняться равенство A · S = 28000?

б) Может ли выполняться равенство A · S = 2971?

в) Найдите наибольшее произведение A · S < 5997.

Ключ

ЕГЭ — 2021 по математике. Основная волна 07.06.2021. Санкт-Петербург

1. Задания Д2 № 517187

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 5700 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

2. Задания Д1 № 27520

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была отрицательной.

3. Задания Д4 № 27558

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Задание 2 № 286311

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".

5. Задание 1 № 26653

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 560723

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 38°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

7. Задание 6 № 27492

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

8. Задание 5 № 269491

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Найдите объем шара.

9. Задание 4 № 96871

Найдите значение выражения 

10. Задание 7 № 28257

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  Ом и  Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 8 Ом. Ответ выразите в омах.

11. Задание 8 № 5861

На изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

12. Задание 11 № 77489

Найдите точку максимума функции 

13. Задание 12 № 563574

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 563560

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка K — середина бокового ребра SD, а точка N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает боковое ребро SC в точке P.

а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.

б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS.

15. Задание 14 № 563576

Решите неравенство: 

16. Задание 16 № 563577

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.

б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12,  а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

17. Задание 15 № 563578

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

18. Задание 17 № 563579

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

19. Задание 18 № 563559

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?

б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?

в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?

Ключ

ЕГЭ — 2021 по математике. Резервная волна 29.06.2021. Центр. Вариант 401

1. Задания Д2 № 563885

Призерами олимпиады стали 18 человек, что составило 10% от участвующих. Сколько всего человек участвовало в олимпиаде?

2. Задания Д1 № 27518

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Задания Д4 № 27846

На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.

4. Задание 2 № 563887

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Г., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

5. Задание 1 № 563888

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 563889

В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол BAD равен 30°, AD — биссектриса. Найдите угол C.

7. Задание 6 № 119971

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

8. Задание 5 № 27073

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

9. Задание 4 № 563891

Найдите значение выражения: 

10. Задание 7 № 563892

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением  где  и  — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях,  и  — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 224 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

11. Задание 8 № 563893

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 104 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание 11 № 563894

Найдите точку минимума функции 

13. Задание 12 № 563895

a) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 563896

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.

а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA1 = 1.

15. Задание 14 № 563897

Решите неравенство 

16. Задание 16 № 563898

Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а) Докажите, что BM = CM.

б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если 

17. Задание 15 № 563899

15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;

— 15 июля 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

18. Задание 17 № 563900

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы два различных корня.

19. Задание 18 № 563901

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?

б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Ключ

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва

1. Задания Д2 № 548371

В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

2. Задания Д1 № 548372

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 40°C до температуры 60°C.

3. Задания Д4 № 548373

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Задание 2 № 548374

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что турист Б., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

5. Задание 1 № 548375

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 548376

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

7. Задание 6 № 548377

На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

8. Задание 5 № 548378

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C,  прямоугольного параллелепипеда  у которого   

9. Задание 4 № 548379

Найдите значение выражения 

10. Задание 7 № 548380

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2. Скорость вычисляется по формуле  где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 километра, приобрести скорость 80 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

11. Задание 8 № 548381

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание 11 № 548382

Найдите точку минимума функции 

13. Задание 12 № 548383

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 548384

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK = KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK.

15. Задание 14 № 548385

Решите неравенство 

16. Задание 16 № 548386

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

17. Задание 15 № 548387

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму будет взят кредит банке, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

18. Задание 17 № 548388

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

19. Задание 18 № 548389

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?

Ключ

ЕГЭ по математике 24.07.2020. Резервный день. Вариант 2

1. Задание 12 № 548807

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

2. Задание 13 № 548808

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой AB = 1 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 2.

а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.

б) Найдите объем пирамиды ABMC1.

3. Задание 14 № 548809

Решите неравенство 

4. Задание 16 № 548810

На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что 

б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что  причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 15. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.

5. Задание 15 № 548811

Планируется открыть вклад на 4 года, положив на счет целое число млн рублей. В конце каждого года он увеличивается на 10%, а в начале третьего и четвертого года вклад пополняется на 5 млн рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более 10 млн рублей.

6. Задание 17 № 548812

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно 4 различных решения.

7. Задание 18 № 548813

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы 2 мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа одну третью или одну четвертую своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.

а) Возможно ли, чтобы мальчиков было столько же, сколько и девочек?

б) Могло ли быть ровно 4 мальчика?

в) Могло ли быть ровно 10 мальчиков?

Ключ

ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна

1. Задания Д2 № 562745

Система навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт проходит на высоте 21 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

2. Задания Д1 № 562746

На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько рабочих дней из данного периода цена золота была равна 1678 рублям за грамм.

3. Задания Д4 № 562747

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.

4. Задание 2 № 562748

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 12, но не дойдя до отметки 3.

5. Задание 1 № 562749

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 562750

Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

7. Задание 6 № 562751

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 4). Найдите корень уравнения f '(x) = 0.

8. Задание 5 № 562752

Объём куба равен 24. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

9. Задание 4 № 562753

Найдите значение выражения 

10. Задание 7 № 562754

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой  где  – температура нагревателя (в градусах Кельвина),  – температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой температуре нагревателя  КПД этого двигателя будет  если температура холодильника  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

11. Задание 8 № 562755

Расстояние между пристанями A и B равно 165 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание 11 № 562756

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

13. Задание 12 № 562757

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 562758

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.

15. Задание 14 № 562759

Решите неравенство 

16. Задание 16 № 562760

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.

б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.

17. Задание 15 № 562761

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,25 млн рублей.

18. Задание 17 № 484629

Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

19. Задание 18 № 562763

В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.

а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?

б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?

в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Ключ

ЕГЭ−2020. Досрочная волна 27.03.2020. Вариант 1.

1. Задания Д2 № 541366

Шоколадка стоит 25 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну — в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно

получить, потратив не более 480 рублей в воскресенье?

2. Задания Д1 № 541367

На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимала Папуа–Новая Гвинея, одиннадцатое место — Индия. Какое место занимала Монголия?

3. Задания Д4 № 541368

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.

4. Задание 10 № 541369

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°C, равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8°C или выше.

5. Задание 1 № 541370

Найдите корень уравнения 

6. Задание 3 № 541371

В треугольнике ABC сторона AB равна  угол С равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

7. Задание 6 № 541372

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  Найдите значение производной функции  в точке 

8. Задание 5 № 541373

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 5.

9. Задание 4 № 541374

Найдите значение выражения 

10. Задание 7 № 541375

Два тела, массой m = 9 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 6 м/c под углом  друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле  где m — масса (в кг), \upsilon  — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом  должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

11. Задание 8 № 541376

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй — 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего

сплава. Ответ дайте в килограммах.

12. Задание 11 № 541377

Найдите точку минимума функции 

13. Задание 12 № 541378

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 541379

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

15. Задание 14 № 541380

Решите неравенство 

16. Задание 16 № 541381

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH = AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если 

17. Задание 15 № 541382

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

18. Задание 17 № 541383

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

19. Задание 18 № 541384

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за эти дни?

Ключ

Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1

1. Задания Д2 № 561163

В квартире установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). Показания на 1 марта составляли 548 м3 воды, а 1 апреля — 556 м3. Сколько нужно заплатить за горячую воду за март, если стоимость 1 м3 горячей воды составляет 191 руб. 50 коп.?

2. Задания Д1 № 561164

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в городе N за каждый месяц 2019 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 8 градусов Цельсия?

3. Задания Д4 № 561165

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены две точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

4. Задание 2 № 561166

Перед началом турнира по шахматам участников случайным образом разбивают на пары с помощью жребия. Всего зарегистрировано 26 шахматистов, среди которых 18 спортсменов из Санкт-Петербурга, в том числе и Алексей Журавлёв. Найдите вероятность, что Алексей Журавлёв будет играть с шахматистом из Санкт-Петербурга.

5. Задание 1 № 561167

Найдите корень уравнения: 

6. Задание 3 № 561168

В треугольнике ABC угол B — тупой, AB = 5, BC = 6. Найдите величину угла, противолежащего стороне AC, если площадь треугольника равна 7,5. Ответ дайте в градусах.

7. Задание 6 № 561169

Прямая y = −5x + 2 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 5x + 3. Найдите абсциссу точки касания.

8. Задание 5 № 561170

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 4 раза, а высота останется прежней?

9. Задание 4 № 561171

Вычислите 

10. Задание 7 № 561172

Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле  (м), где  м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте  м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 3,2 м?

11. Задание 8 № 561173

Из пункта А и пункт В, расстояние между которыми 72 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 18 км больше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание 11 № 561174

Найдите точку минимума функции 

13. Задание 12 № 561175

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Задание 13 № 561176

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA1 и A1C1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A1N = 2.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC1.

15. Задание 14 № 561177

Решите неравенство 

16. Задание 16 № 561178

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.

а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.

17. Задание 15 № 561179

В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?

18. Задание 17 № 561180

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

19. Задание 18 № 561181

Сима записала несколько различных натуральных чисел, все цифры которых четны, после чего нашла сумму этих чисел и обозначила ее через S.

а) Может ли сумма цифр числа S быть нечетным числом?

б) Может ли произведение цифр числа S быть нечетным числом?

в) Пусть десятичная запись числа S состоит из 366 цифр. Какое наименьшее натуральное значение может принимать произведение цифр числа S?

Ключ