План-конспект учебного занятия "Функции и их свойства"
план-конспект занятия по математике (11 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по учебной дисциплине ОУДу.03 Математика

для обучающихся гр.107 курс 1

специальность 40.02.01 Право и организация социального обеспечения

преподаватель Н.В.Васильева

Тема: Функции и их свойства

Цель занятия: расширение представления обучающихся о числовой функции, способах задания, области определения, множестве значений, основных свойствах функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность – нечетность, формирование понятий: об обратной функции, приращении аргумента и приращении функции, применение полученных знаний для решения задач.

 Задачи занятия:

Обучающая: научить применять полученные знания для решения простейших задач, строить графики элементарных функций, находить область определения и множество значений несложных функций, находить приращение функции в указанной точке и в общем виде, проводить простейшие преобразования графиков функций, применять теорию пределов к решению задач.

Воспитательная: воспитывать ответственность за выполняемую работу, выполнять её точно, аккуратно и вовремя.

Развивающая: развивать умение самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями.

Информационно-справочное оснащение

Основная литература:

1.Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией

               А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г.

Дополнительная литература:

1. Математика. Учебник. 11 класс А.Г. Мордкович, И.М.Смирнова,

Мнемозина, 2009 г.

          2. Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования,

              М.И.Башмаков, Академия,2010  г.

          3. Математика. Наглядный справочник с примерами. Л.Э.Генденштейн, А.П.Ершова,

              А.С.Ершова, ИЛЕКСА, 2015 г.

Интернет-ресурсы:

Междисциплинарные связи: естествознание.

Внутридисциплинарные связи: Раздел 1 «Алгебра».

Тема 1.4 «Функции их свойства и графики».  Занятие № 35-42.

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1

2. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Вопрос 1. Функции и их свойства.  

Понятие функции является центральным понятием математики и не только математического анализа. Вспомним  определение функции.

Если каждому элементу x множества D ставится в соответствие единственный элемент y множества E,  то говорят, что на множестве D задана функция .

 х – аргумент – независимая переменная; y – зависимая; она находится по закону: f. 

Множество D называется областью определения функции, множество E называется множеством  значений функции.

Множество значений аргумента – Ваши личности, множество значений функции – Ваши фамилии. Вот так мы продемонстрировали понятие функции: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, человек не может иметь две фамилии.

Но математика рассматривает числовые функции, т.е. множества D и Е – числовые множества, которые Вы изучали в теме 1. При этом можно дать и такое определение числовой функции: числовая функция – это множество пар (х, у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом. Вдумайтесь.

Как определяется, задается функция? Прежде всего, формулой, по которой по заданному х находится у. Например: f(x) = x2 +x +3. Подставим х = 2,  получим у = 9

Функция может задаваться не одним аналитическим выражением, а несколькими, например:

Очень часто зависимость одной переменной величины от другой невозможно выразить аналитически, но такая зависимость существует о определяется она в виде таблицы.

               В таком случае говорят о таблично заданной функции, общепринятая аббревиатура: ТЗФ Обратите внимание, что среди заданных пар чисел (х;у) нет пар с одинаковым первым элементом, в таком случае ТЗФ не являлись бы функцией.

        Еще одно определение числовой функции: числовая функция – множество пар (х;у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом.

И, наконец, когда не удается найти аналитического выражения для , найти множество пар (х;у), то функцию можно задать графически, т.е. ее графиком. Вспомните свою кардиограмму, перо самописцев в самых различных приборах.

        Рассмотрим понятия, выражающие т.н. общие свойства функций.

Монотонность. Если для х1, х2 , принадлежащих интервалу (a;b) и удовлетворяющих условию  х1, < х2 следует  f(х1) < f(х2), то, говорят, что  на (a;b) эта функция возрастает. Или, как говорили в школе, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. Самостоятельно сформулируйте определение убывающей функции. Если функция только возрастает или только убывает в области определения, то о такой функции говорят, что она монотонна. Так линейная функция, степенная с нечетным показателем являются монотонными, а популярная у = х2 монотонной не является, т.к. при x < 0 она убывает, а при x > 0 она возрастает.

Ограниченность. Пусть на D задана функция . Если существуют такие числа m и M, что для всех х  D, что m ≤ ≤ M, то говорят, что функция ограничена в области определения. Различают и такие понятия, как ограниченность снизу и ограниченность сверху. Так,  у = х3 – неограниченная функция, у = х2 – ограничена снизу, т.к. она неотрицательна в области определения. у = Sinx и y = Cosx – ограниченные функции, т.к. они принимают значения только из отрезка [-1; 1] – это их множество значений

Четность и нечётность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и ;

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и .

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а нечётной – относительно начала координат.

Яркие «представители» четных функций: у = х2, y = Cos x, , нечетных  у = х3,

у = Sinx,  ,  . Для многих функций нет смысла говорить об их четности – нечетности. Так функция   не относится ни к четным, ни к нечетным, потому как ее область определения несимметрична относительно нуля. Такие функции называют функциями общего вида.

Какова методика определения четности – нечетности функции? Рассмотрим примеры.

Подставим в функцию вместо х  -х, будем иметь:

   Получили определение нечетной функции, вывод: функция нечетная.

 Подставим в функцию вместо х  -х, будем иметь:

   Получили определение четной функции, вывод: функция четная.

Периодичность. Функция  называется периодической, если существует такое число Т, что для всех х из области определения выполняется равенство:

Очевидно, что если существует такое число Т, называемое периодом, то число nT, где n – целое число, также является периодом этой функции. Важнейшие представители периодических функций – тригонометрические функции, которые Вы будете изучать подробно в теме 4. В качестве дополнительного домашнего задания  попробуйте построить график функции: дробная часть числа х: это разность между аргументом х и ближайшим к нему целым числом, стоящем на числовой прямой слева от него.

        Рассмотрим практические задачи на отыскание области определения некоторых функций. Заметим, что многочлен определен на всем множестве действительных чисел:       D = R. Так для функции у = х2 + 6х – 7   D = R. Дробно – рациональная функция определена для всех х, при которых ее знаменатель отличен от нуля. Например:

 областью определения будет все множество действительных чисел, отличных от  -1 и 1. На языке интервалов D = (-∞; -1)(-1; 1)(1; ∞)

Рассмотрим другие примеры. Найти область определения функций.

   Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют неравенству:  > 0    

    Ответ: D = (-4; 3). Воспользовались методом интервалов, изученным в прошлой теме.

  Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

        x + 5 ≥ 0

        x – 1 ≠ 0      Откуда х  ≥ -5 и  x ≠ 1 Объединяя эти

неравенства, имеем ответ: D = [-5; 1) (1; ∞).

Самостоятельно выполните упражнения из сборника: с.24 № 1.8 – 1.13  

Понятие об обратной функции. Очень важное и глубокое понятие. Будьте внимательны.

Пусть дана функция у = х3 Вспомним, что она монотонная: каждому значению аргумента соответствует единственное значение аргумента и наоборот: каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента (только для монотонных функций!). Будем далее считать  независимой переменной у, а х – его функцией, выразим х через у.  

 и заменим, как то принято обозначать аргумент и функцию, х на у и у на х, получим

. Вот эти две функции у = х3 ,   и называются взаимно обратными.

Построим графики этих функций и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов. Запомните это свойство графиков всех взаимно обратных функций. В дальнейшем Вы будете строить обратные функции по мере их изучения.

Но как быть, если функция, для которой надо построить обратную не является монотонной?  Например, необходимо построить обратную для у = х2, которая немонотонна. Для этого необходимо так задать область определения исходной функции, на которой она стала бы монотонной. Если для функции  у = х2 положить D = [0; ∞), то на этом луче она монотонно возрастает, а значит имеет обратную. Очевидно, это  Построим их графики и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов.

Поработайте самостоятельно.

Постройте обратную функцию для монотонной линейной функции у = 3х, постройте их графики.

Определив функцию  на

D = [0; ∞), постройте для нее обратную функцию.

И заключительный вопрос настоящего урока: приращение аргумента и приращение функции.

Пусть задана функция  . При х = х0  она принимает значение .

х0  - на оси ОХ в точке А, у0 – на оси ОУ в точке N. Дадим х приращение Δх = АВ, получим новое приращенное значение аргумента (в точке В) х = х0 + Δх

Вычислим приращенное значение  функции  на оси ОУ – точка М, т.е. длина отрезка ВЕ.

Естественно, что отрезок DE и будет являться приращением функции в точке х0, если приращение аргумента равно Δх.

Т.е. Δf(x0) = -

Итак, приращение функции есть разность между приращенным значением функции и первоначальным (отрезок DE).

Обратите внимание, что для возрастающей функции DE > 0, а для убывающей функции АС будет больше DE, поэтому разность DE – АС < 0 и Δf(x0) < 0.

Сделайте самостоятельно схематический чертеж убывающей функции и укажите Δf(x0).

Вычислим приращение функции  f(x) = х2 + 2х +5  при x0 = 2 и Δx = 0,1    x0 + Δx = 2,1

По формуле  Δf(x0) = -  = (будем иметь) = -  =

2,12 + 2*2,1 + 5 – (22 + 2*2 +5 ) = (применяем микрокалькулятор) = 0,61

Поставим задачу отыскать приращение функции не в конкретной точке  x0, а в произвольной х, т.е. выведем формулу приращения в общем виде: 

Δf(x) = -  = (х + Δx)2 +2(х + Δx) + 5 - х2 - 2х -5 =  х2 + 2х Δx + (Δx)2 +2х Δx +5 - х2 - 2х -5 =  2х Δx + (Δx)2 +2 Δx = 2х Δx + 2 Δx + (Δx)2 = 2(х + 1)Δx + (Δx)2 – это и есть приращение функции в общем виде:  Δf(x) =  2(х + 1)Δx + (Δx)2. Подставим х = 2,  Δx = 0,1 получим Δf(x) = 0,61 – все верно.

Контрольные задания по Вопросу 1.

Таблица 2

3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 3

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

Задание 1. Решить задачи разного уровня сложности.

1 уровень сложности:  №73, стр.286, Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г., оценка «3».  

2 уровень сложности:  № 74, стр.286, №77 (а), стр.287, Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г. стр.190, оценка «4».

3 уровень сложности: №51(б), Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г. Оценка «5».

Задание 2. В рабочих тетрадях представить ответы на контрольные задания в таблицах 1,2,3.

Преподаватель                                                                              Н.В. Васильева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

от 04 мая  2016 г. № _18_