Исследовательская деятельность на уроках математики как средство развития мышления и практических навыков у обучающихся.
статья

Исследовательская деятельность
на уроках математики как средство развития мышления и практических навыков у обучающихся.

.

.

        В формировании многих качеств, необходимых успешному современному человеку, может большую роль сыграть математика. На уроках математики дети учатся рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы. Не зря М.В. Ломоносов говорил «математика ум человеческий в порядок приводит». Слайд 1.

         Но как научить детей учиться, мыслить и вслушиваться в слово. Выход один: нужно дать ученикам возможность самим искать ответ. Значит нужно научить их думать.

        Изучение математики предполагает не только запоминание и воспроизведение, но и узнавание («это выражение представляет собой разность квадратов двух функций»), понимание («здесь нужно применить именно эту формулу»), анализ («если правая часть этого уравнения отрицательна, то уравнение имеет решения») и рефлексию («это неравенство можно решить несколькими способами, воспользуемся самым коротким»).          Даже выполнение самых рутинных и скучных преобразований способствует выработке таких качеств, как собранность и систематичность.

 Математика учит строить и оптимизировать деятельность, вырабатывать и принимать решения, проверять действия, исправлять ошибки, различать аргументированные и бездоказательные утверждения. Именно на уроках математики формируются универсальные (общие) умения и навыки, являющиеся основой существования человека в социуме. Общество заинтересовано в гражданах, которые умеют самостоятельно думать и решать разнообразные проблемы, обладают критическим и творческим мышлением, умеют работать в коллективе, обладают коммуникативными навыками.

     Такие качества формируются у учащихся в процессе исследовательской деятельности. Исследовательская деятельность обучающихся – это Слайд 2  процесс решения ими творческой, исследовательской задачи, направленный на получение новых знаний.

Важность проблемы-  развитие творческих способностей обучающихся, обусловлена двумя основными причинами. Первая из них - падение интереса к учебе. Желание учиться и познавать с "аппетитом" знания наблюдается у детей с первого по пятый класс. "Лес" рук на вопрос учителя на уроке, к седьмому классу превращается в редкий "лесок", а к десятому классу превращается в одинокое "дерево".

Здесь налицо противоречие между всё возрастающей сложностью и насыщенностью школьной программы, постоянно увеличивающимся уровнем требований и способностью учеников освоить весь объем предлагаемых ему сведений. Не в силах справиться с такими нагрузками, дети просто перестают заниматься, свыкаются с ролью неспособных, отстающих. Нежелание части детей учиться - своего рода психологическая защита от перегрузки, потеря уверенности в своих силах. Вторая причина в том, что даже те ученики, которые, казалось бы, успешно справляются с программой, теряются, как только оказываются в нестандартной учебной ситуации, демонстрируя свое полное неумение решать продуктивные задачи.

Учебно-исследовательская деятельность подразумевает ознакомление обучающихся с различными методами выполнения исследовательских работ, способами сбора, обработки и анализа полученного материала, а также направлена на выработку умения обобщать данные и формулировать результат.

Овладение навыками исследовательской деятельности предполагает наличие у обучающихся системы базовых знаний и непосредственного участия в исследовательской работе.

Основными задачами научно-исследовательской работы являются:

• формирование у обучающегося интереса к научному творчеству, обучение методике и способам самостоятельного решения научно-исследовательских задач;
• развитие творческого мышления и самостоятельности, углубление и закрепление полученных при обучении теоретических и практических знаний;
• выявление наиболее одаренных и талантливых воспитанников, использование их творческого и интеллектуального потенциала для решения актуальных задач.

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Необходимо прививать ученикам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности. 

Исследовательская деятельность обучающихся – это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для обучающихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности. 

В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий. 

Слайд3. Исследовательские задания – это предъявляемые обучающимся задания, содержащие проблему; решение ее требует проведения теоретического анализа, применения одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание. 

Цель исследовательского метода – «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения. Обучающийся должен почувствовать прелесть открытия. 

Основные этапы учебного исследования. Слайд 4.

1) Мотивация – очень важный этап процесса обучения, если мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у воспитанника вопроса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи. 

2) Этап формулирования проблемы – самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам кадет в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих обучающихся самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны преподавателя. 

3) Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п. Число испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала. 

4) Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. – они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности. 

5) Выдвижение гипотез. Полезно прививать обучающимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых обучающимися гипотез. 

6) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости. 

7) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки. 

В качестве иллюстрации учебного исследования приведу фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора» 8 класс. 

Слайд 5. Исходной задачей может служить следующая задача: «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?» 

Анализируя математическую модель этой практической задачи, ученики формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Слайд 6. Для того, чтобы учащиеся пришли к выводу о связи между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника предлагаю учащимся следующую исследовательскую работу. Каждая группа учащихся строит в тетради три прямоугольных треугольника со сторонами 3см ,4см и 5см; 6см,8см и 10см; 5см, 12см и 13см. Далее на сторонах треугольника достраивают квадраты и находят их площадь. Сравнивают площадь квадрата построенного на гипотенузе с площадями квадратов, построенных на его катетах. Учащиеся должны прийти к выводу о том, что площадь квадрата построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Сравнивают свой вывод с теоремой, предложенной в учебнике и известной как теорема Пифагора.

Слайд 7. В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей  задачей: «Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор? Почему она долгое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие доказательства теоремы?»

Слайд 8. При изучении темы «Сумма внутренних углов треугольника» в качестве исходного задания можно предложить такую задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам: 

1)  А = 90о,  В = 60о,  С = 45о;
2)  А = 70о,  В = 30о,  С = 50о;
3)  А = 50о,  В = 60о,  С = 70о».

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45о от луча АС (или ВС, кому как нравится), они увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла воспитанники выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий угол которого больше, либо меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.

    По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: Слайд 9.  «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. Далее им предлагается на практике проверить свое утверждение.

      Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, обучающиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. Например, изучая число, обучающиеся могут самостоятельно прийти к тому, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же число. Для эксперимента предлагаются различные предметы «круглой формы» разного диаметра Больше пользы будет в том случае, если ученики сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое значение. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь.

     Иногда за урок удается решить одну крупную проблему, или же урок может содержать несколько мелких проблемных заданий.

Слайд 10. Урок-исследование по теме «Свойства квадратного корня» можно провести в форме эвристической беседы, т.е. с помощью системы вопросов-ответов, в результате чего обучающиеся «открывают» свойства квадратного корня. 

Сначала задаются вопросы, нацеливающие обучающихся на наблюдение за математическими объектами, на абстрагирование от несущественных свойств этих объектов. 

1) Выполните действия и сравните полученные результаты: 

2) Запишите в буквенной форме замеченное вами свойство. 

Каковы допустимые значения входящих в записываемое равенство переменных? 

3) Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в него множители не являются точными квадратами?

Теперь наблюдения обучающихся должны оформиться в виде доказательств. К ним учеников подталкивают следующие вопросы. 

4) Докажите ваше предположение, используя определение арифметического квадратного корня. 

Чему равно выражение ? 

Чему равно выражение ?

5) Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его в словесной форме. 

6) Выполняется ли такое свойство для корня из произведения трех множителей? 

7) Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного числа сомножителей? 

8) Имеет ли смысл выражение ?

9) Можно ли применить к нему свойство корня из произведения? 

10) Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее это сделать?

Работа класса продолжается исследованием свойства корня из дроби. Причем она проводится по вопросам, аналогичным тем, что приведены в пунктах 1-5. После того как сформулировано свойство арифметического корня из дроби, обучающиеся демонстрируют на примерах применение этого свойства. 

Следующий этап урока нужно посвятить предупреждению ошибок, которые обучающиеся часто допускают в этой теме. 

11) Существует ли свойство корня из суммы; корня из разности? 

На описанном уроке происходит формирование таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа данных и по аналогии с известным решением. Обучающимся приходится проводить доказательство утверждения с опорой на определение и посредством записи закономерности в буквенной форме.

Слайд 11.  Кроме уроков-исследований существуют также мини-исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследовательские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут. 

Вот примеры совсем небольших проблем-вопросов: «Почему треугольник назван «треугольником»? Можно ли дать ему другое название, также связанное с его свойствами?»

«Как можно объяснить название «развернутый угол»?» 

«В Древнем Египте после разлива Нила требовалось восстановить границы земельных участков, для чего на местности необходимо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали веревку, завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами, равными 3, 4 и 5 таких отрезков. Правильно ли они поступали?»

Слайд 12. Алгебра 7 класс: тема «Взаимное расположение графиков линейных функций». В ходе выполнения работы учащимся необходимо сделать вывод о том, как влияет коэффициент k и b на взаимное расположение графиков. Для этого класс разбивается на группы, и каждой группе предлагаю построить в одной системе координат следующие графики: 1. y=2х-3 и y=2х+ 5 2. y=2x-3 и y=-3x+2 3. y=2x-3 и y= -2x-3 После выполнения работы каждая группа презентует свои выводы классу. После обсуждения учащиеся должны прийти к выводу о том, что при равных коэффициентах k графики параллельны, при различных k- графики пересекаются, при равных b и различных k прямые пересекаются в точке с координатой (0;b).

Слайд 13. Геометрия 7 класс: тема «Медиана, биссектриса, высота треугольника». В форме исследовательской работы предлагаю учащимся познакомиться с новыми элементами треугольника. Для этого класс разбивается на группы по 4-5 человек, и каждая группа получает три чертежа, на первом построены все медианы треугольника, на втором – биссектрисы треугольника, на третьем чертеже – высоты треугольника. Выполнив необходимые измерения, учащиеся должны сформулировать определения медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Далее каждая команда представляет свои определения перед классом, и в заключении я предлагаю сравнить ученикам предложенные ими определения с теми, что даны в учебном пособии.

Слайд 14. Тема «Неравенство треугольников»: предлагаю обучающимся построить три треугольника - первый со сторонами 3см, 4см и 5см, второй со сторонами 8см, 3см и 7см, третий – со сторонами 9см, 5см и 7см. В течение нескольких минут ребята выполняют построение, а затем мы переходим к обсуждению результатов построения. Оказывается, что в третьем случае построить треугольник не удалось. Обучающиеся выдвигают предположения, почему этого не случилось, и приходят к выводу. Что все зависит от длин отрезков. Далее приходим к гипотезе что «каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон», проверяем на других примерах и сравниваем результат с теоремой в учебнике, разбираем доказательство.

Слайд 15. Тема «Соотношение между сторонами и углами в треугольнике»: предлагаю построить треугольник, измерить его стороны и углы, назвать большую и меньшую сторону, а также больший и меньший угол, сделать вывод об их взаимном расположении. Таким образом, в ходе практической работы по измерению сторон и углов треугольника обучающиеся приходят к выводу, что в треугольнике «против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона».

Слайд 16. Тема «Признаки параллельности прямых»: обучающиеся строят параллельные прямые и секущую, выполняют измерение образовавшихся углов. Рассматривают пары накрест лежащих углов и обнаруживают, что они равны, затем рассматривают пары односторонних углов и приходят к выводу, что их сумма равна 180°, далее переходим к парам соответственных углов и находим, что они равны. Формулируем признаки параллельности, сравниваем их с признаками, рассмотренными в учебнике, и рассматриваем одно из доказательств. Два других доказательства предлагаю рассмотреть дома самостоятельно.

         Перечислю еще несколько работ, которые я предлагаю своим учащимся:

Слайд 17. ∙ формула Эйлера, вывод формулы связывающей число вершин, граней и ребер многогранника;

∙ вычисление площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда;

Слайд 18. ∙ вывод формулы для нахождения площади параллелограмма, трапеции и треугольника;

Текстовые задачи являются важнейшим средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают огромный опыт применения математики к решению практических задач. Решение текстовых задач развивает:

∙ смекалку;

∙ умение ставить вопросы и отвечать на них

;∙ умение рассуждать;

∙ умение составлять план решения;

∙ умение анализировать полученный результат;

∙ логическую культуру учащихся;

∙ интерес к процессу поиска решения задач;

∙ интерес к предмету в целом;

∙ положительные эмоции учащихся, связанные с удачным решением.

Чтобы научить учеников мыслить, нужно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать. Решение задач дает возможность связать теорию с практикой, формирует у детей практические знания, необходимые каждому человеку в повседневной жизни: выбрать более дешевый тариф, подсчитать стоимость покупки, время прохождения некоторого пути и так далее. Решая задачу, ребёнок учится логически мыслить, рассуждать, коротко и ясно выражать свои мысли.

Организовывая творческую деятельность на уроках, учитель способствует:

∙ развитию творческого мышления учащихся;

∙ развитию поисковой и познавательной деятельности учеников;

∙ воспитанию инициативной личности;

 ∙ интеллектуально-творческому развитию учащихся;

∙ росту интереса к своему предмет

Конечно, не каждая тема предполагает проведение мини - исследований. Выбор темы должен подчиняться некоторым правилам:

- быть интересной ученику, увлекать его;

 - соответствовать возрастным особенностям учащегося;

- быть оригинальной и, желательно, объективно новой.

Я использую исследовательский метод не вместо систематического предметного обучения, а наряду с ним, как компонент образовательных систем. И считаю, что необходимо начинать делать это с обучения в начальной школе. Обучающимся интересен этот вид учебной деятельности. Для учителя применение такого метода дает следующие преимущества:

∙ возможность повысить свои профессиональные качества;

∙ обмен опытом и сотрудничество с коллегами и работниками других отраслей;

∙ возможность по-новому оценить знания, умения и навыки ученика .

В заключении отмечу, что педагогическая ценность  исследований на уроках состоит в том, что они помогают педагогу подвести учащихся к самостоятельному мышлению и самостоятельной практической деятельности.

 Привлечение обучающихся к выполнению творческих учебно-исследовательских работ имеет глубокий воспитательный характер. Оно способствует развитию целеустремленности, трудолюбия и силы воли, формированию стремления к познанию, самостоятельности мышления, научного мировоззрения. Ничто не заменит воспитаннику наслаждения от собственного творчества, которое доставляет радость, стимулирует процесс мышления, способствует удовлетворению эстетических потребностей и показывает внутреннюю красоту познания.