Проектная работа "Виды уравнений и способы их решения"
методическая разработка (8 класс) по теме
Проектная деятельность учащихся дает наилучшие результаты в старших классах. Но подготовка к серьезной проектной деятельности начинается еще в 5-8 классах.
Пример проектной работы.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 vidy_urvneniy_i_sposoby_ih_resh.docx | 14.73 КБ |
 lineynye_uravneniya.ppt | 748.5 КБ |
| otchyot_lineynye_uravneniya.doc | 54.5 КБ |
| kvadratnye_uravneniya.ppt | 1.36 МБ |
| kvadratnye_uravneniya_otchet.doc | 47 КБ |
| drobno-ratsionalnye_uravneniya.ppt | 190.5 КБ |
| otchyot_drobno-ratsionalnye_uravneniya.doc | 43.5 КБ |
| uravneniya_vysshih_stepeney.ppt | 1.13 МБ |
| otchyot_uravneniya_vysshih_stepeney.doc | 41.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема проекта: «Виды уравнений и способы их решений».
Участники проекта: ученики 8 класса.
Сроки реализации проекта: две недели.
Результат: защита проектов, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.
Задания для групп (в каждой группе 2-3 человека)
Задание для группы 1.
1.Сбор информации по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5.Защита проекта (презентация).
Задание для группы 2.
1.Сбор информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5.Защита проекта (презентация).
Задание для группы 3.
1.Сбор информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5.Защита проекта (презентация).
Задание для группы 4.
1.Сбор информации по теме «Уравнения высших порядков, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
4. Подготовка к защите проекта.
5.Защита проекта (презентация).
Результаты проекта:
• Приложение 1. «Линейные уравнения, методы их решения»
• Приложение 2. «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения»
• Приложение 3. «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения»
• Приложение 4. «Уравнения высших порядков, методы их решения»
Для учеников работа над учебными проектами — это возможность максимального раскрытия их творческого потенциала. Она позволяет проявить себя индивидуально или в группе, попробовать свои силы, приложить свои знания, принести пользу, показать публично достигнутый результат. Это деятельность, направленная на решение интересной проблемы, сформулированной зачастую самими учащимися в виде задачи, когда результат этой деятельности — найденный способ решения проблемы — носит практический характер, имеет важное прикладное значение и, что весьма важно, интересен и значим для самих открывателей.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Уравнение вида ax + b = 0 где a , b – некоторые числа, x – переменная, называется линейным уравнением.
Если а ≠ 0 , то линейное уравнение имеет единственный корень х = - b/a Если а = 0 ; b ≠ 0 , то линейное уравнение не имеет решений. Если а = 0 ; b = 0 , то х – любое число.
Линейные уравнения (приводимые к виду ax = b ) a = 0 a ≠ 0 b = 0 b ≠ 0 0x = 0 0x ≠ 0 b є R ax = b бесконечное множество корней (x є R) нет действительных корней Один корень ( x = a/b) b = 0 b ≠ 0
Пример 1 . Решим уравнение 2 x – 3 + 4(x – 1) = 5 Решение. 2x – 3 + 4x – 4 = 5 6x = 5 + 4 + 3 6x = 12 x = 12 : 6 x = 2 Ответ : 2
Пример 2. Решим уравнение 2x – 8 – 2(x – 2) = 0 Решение. 2x – 8 – 2x + 4 = 0 - 4 = 0 Ответ : решений нет!!!!!
Пример 3. Решим уравнение 3x + 6 – 3(x + 2) = 0 Решение. 3x + 6 – 3x – 6 = 0 0 = 0 Ответ : x – любое число.
Предварительный просмотр:
Линейные уравнения
Определение:
Уравнение вида ax + b = 0, где a , b – некоторые числа x – переменная, называется линейным уравнением.
Алгоритм решения линейного уравнения
Если a ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень x = -
Пример: 2x – 3 + 4(x -1) = 5
2x – 3 + 4x – 4 = 5
6x = 5 + 4 + 3
6x = 12
x = 12 : 6
x = 2
Ответ: 2
Если a = 0; b ≠ 0, то линейное уравнение не имеет решений.
Пример: 2x – 8 – 2( x – 2 ) = 0
2x – 8 – 2x + 4 = 0
-4 = 0
Ответ: решений нет!
Если a = 0; b =0, то x – любое число.
Пример: 3x + 6 – 3( x + 2 ) = 0
3x + 6 – 3x – 6 = 0
0 = 0
Ответ: x – любое число.
Примеры и решения линейных уравнений.
- 6х – 12 = 5х + 4 2. -9а + 8 = -10а – 2
6х – 5х = 12 + 4 -9а + 10а = -8 - 2
1х = 16 1а = -10
х = 16 : 1 а = -10 : 1
х = 16 а = -10
Ответ: 16 Ответ: -10
3. 7m + 1 = 8m + 9 4. 4 + 25y = 6 + 24y
7m – 8m = 9 – 1 25y – 24y = 6 - 4
-1m = 8 1y = 2
m = 8 : (-1) y = 2 : 1
m = -8 y = 2
Ответ: -8 Ответ: 2
5. 11 – 5z = 12 – 6z 6. 4k + 7 = -3 + 5k
-5z + 6z = 12 – 11 4k – 5k = -3 - 7
1z = 1 -1k = -10
z = 1: 1 k = -10 : (-1)
z = 1 k = 10
Ответ: 1 Ответ: 10
7. -40 * ( -7x + 5 ) = -1600 8. ( -20x – 50 ) * 2 = 100
280x – 200 = -1600 -40 – 100 = 100
280x = -1600 + 200 -40 = 100 + 100
280x = -1400 40x = 200
x = -1400 : 280 x = 200 : 40
x = -5 x = 5
Ответ: -5 Ответ: 5
9. 2.1 * ( 4 – 6y ) = -42 10. -3 * ( 2 – 15x ) = -6
8.4 – 12.6y = -42 -6 + 45x = -6
-12.6 = -42 – 8.4 45x = -6 + 6
-12.6 = -50.4 45x = 0
y = -50.4 : ( -12.6 ) x = 0 : 45
y = 4 x = 0
Ответ: 4 Ответ: 0
11. 13 – 5x = 8 – 2x 12. 5x + ( 3x – 7 ) = 9
-5x + 2x = 8 – 13 5x + 3x – 7 = 9
-3x = -5 8x = 16
x = -5 : ( -3 ) x = 16 : 8
x = 1, 2/3 x = 2
Ответ: 1, 2/3 Ответ: 2
13. 4y + 15 = 6y + 17 14. 3y – (5 – y) = 11
4y – 6y = 17 – 15 3y – 5 + y = 11
-2y = 2 4y = 16
y = 2 : ( -2 ) y = 16 : 4
y = -1 y = 4
Ответ: -1 Ответ: 4
15. -27x + 220 = 5x 16. -2x + 16 = 5x - 19
-27x + 5x = - 220 -2x – 5x = -19 - 16
-22x = -220 -7x = -35
x = -220 : ( -22 ) x = -35 : ( -7 )
x = -10 x = 5
Ответ: -10 Ответ: 5
17. 25 – 3b = 9 – 5b -3b + 5b = 9 – 25 2b = 16 b = -16 : 2 b = -8 Ответ: -8 | 18. 3 * (4x – 8 ) = 3x – 6 12x – 24 = 3x – 6 9x = 18 x = 18 : 9 x = 2 Ответ: 2 |
19. -4 * ( -z + 7) = z + 17 -4z – 28 = z + 17 -5z = 45 z = 45 : ( -5 ) z = -9 Ответ: -9 | 20. c -32 = ( c + 8 ) * ( -7 ) c – 32 = -7c – 56 8c = 24 c = 24 : 8 c = -3 Ответ: -3 |
21. 12 – 2 * ( k + 3 ) = 26 12 – 2k – 6 = 26 -2k = 20 k = 20 : ( -2 ) k = -10 Ответ: -10 | 22. -5 * ( 3a + 1 ) – 11 = -16 -15a – 5 – 11 = -16 -15a = 0 a = 0 : ( -15 ) a = 0 Ответ: 0 |
23. -5 * ( 0.8z – 1.2 ) = -z + 7.2 -4z + 6 = -z + 7.2 -3z = 1.2 z = 1.2 : ( -3 ) z = -3.6 Ответ: -3.6 | 24. -20 * ( x – 13 ) = -220 -20x + 260 = -220 -20x = -480 x = -480 : ( -20 ) x = 24 Ответ: 24 |
25. ( 30 – 7x ) * 8 = 352 240 – 56x = 352 -56x = 112 x = 112 : ( -56 ) x = -2 Ответ: -2 | 26. ( 2.8 – 0.1x ) * 3.7 = 7.4 10.36 – 0.37x = 7.4 -0.37x = -2.96 x = -2.96 : ( -0.37) x = 8 Ответ: 8 |
27. ( 3x – 1.2 ) * 7 = 10.5 21x – 8.4 = 10.5 21x = 18.9 x = 18.9 : 21 x = 0.9 Ответ: 0.9 | 28. 6x + 12 – 42x = 0 6x – 42x = -12 -36x = -12 x = - 36 : ( -2 ) x = -3 Ответ: -3 |
29. 3( y – 5 ) – 2( y – 4 ) = 8 3y – 15 – 2y – 8 = 8 3y – 2y = 8 + 8 + 15 1y = 31 y = 31 : 1 y = 31 Ответ: 31 | 30. -5( 5 – x ) – 4x = 18 -25 + 5x – 4x = 18 5x – 4x = 18 + 25 1x = 43 x = 43 : 1 x = 1 Ответ: 1 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где коэффициенты a , b , c - любые действительные числа, причем а≠0. Многочлен ax 2 + bx + c называют квадратным трехчленом.
Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0 называют всякое значение переменной x , при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена. Квадратные уравнения с коэффициентами a , b , c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта. Решить квадратное уравнение –значит найти все его корни или установить ,что корней нет.
Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b , c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.
Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q =0 сумма корней равна - p , а произведение корней равно q .
Особые квадратные уравнения: 2 x 2 - x -1= 0 D=9 x 1 =1 x 2 =-1 ∕2 2x 2 +3x-5=0 D=49 x 1 =1 x 2 =-5∕2 x 2 +3x-4=0 D=25 x 1 =1 x 2 = -4
3x 2 +2x-1=0 D=16 x 1 = -1 x 2 = 1/3 2x 2 +x-1=0 D=9 x 1 =-1 x 2 =1/2 x 2 -3x-4=0 D=25 x 1 =-1 x 2 =4
Предварительный просмотр:
Квадратные уравнения
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c- любые действительные числа, причем а≠0.
Многочлен ax2+bx+c называют квадратным трехчленом.
Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.
Квадратные уравнения с коэффициентами a, b, c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта.
Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить ,что корней нет.
Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b,c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.
Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 сумма корней равна
-p, а произведение корней равно q.
Формулы
Решим квадратные уравнения:
- 2x2-x-1=0
D=9
x1=1 x2=-1 ∕2
- 2x2+3x-5=0
D=49
x1=1 x=-5∕2
- x2+3x-4=0
D=25
x1=1 x2= -4
Запишем результаты в таблицу
Уравнение | Коэффициенты | Результаты вычислений | |||||
а | b | c | а+b+c | c/a | x1 | x2 | |
2x2-x-1=0 | 2 | -1 | -1 | 0 | -1/2 | 1 | -1/2 |
2x2+3x-5=0 | 2 | 3 | -5 | 0 | -5/2 | 1 | -5/2 |
x2+3x-4=0 | 1 | 3 | -4 | 0 | -4 | 1 | -4 |
Вывод:
Если a+b+c=0, то один из корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен 1, а второй корень вычисляется по формуле c/a .
- 3x2+2x-1=0
D=16
x1= -1 x2= 1/3
- 2x2+x-1=0
D=9
x1=-1 x2=1/2
- x2-3x-4=0
D=25
x1=-1 x2=4
Уравнение | Коэффициенты | Результаты вычислений | |||||
а | b | c | a-b+c | -c/a | x1 | x2 | |
3x2+2x-1=0 | 3 | 2 | -1 | 0 | 1/3 | -1 | 1/3 |
2x2+x-1=0 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1/2 | -1 | 1/2 |
x2-3x-4=0 | 1 | -3 | -4 | 0 | 4 | -1 | 4 |
Если a-b+c=0, то один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй вычисляется по формуле –с/а .
Примеры на решение:
1. 10x2+5x=0
12x2+3x=0
25-100x2=0
4-36x2=0
x2-16=0
- x2-x-30=0
x2+5x+2=0
x2+7x-4=0
x2+x-42=0
x2-7x+6=0
x2-3x-2=0
x2+8x-3=0
x2+5x-3=0
- 3x2+2x-1=0
8x2+4x-4=0
2x2-x-1=0
2x2+3x-5=0
3x2-2x-1=0
2x2+x-1=0
Домашнее задание
3x2+5x=2
7x2-10x+3=0
2x2+3x-5=0
x2-2x+1=0
11x2-8x-3=0
2x2+3x+5=0
5x2+16x+11=0
Выбрать уравнения, которые
А) имеют корень равный 1
Б) имеют корень равный -1
В) не имеют корней
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение Уравнение f ( x ) = g ( x ) называется дробно-рациональным , если f ( x ) и g ( x ) являются дробно-рациональными функциями.
Решение уравнений. Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений: При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом: находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножают обе части уравнения на общий знаменатель (или на дополнительные множители); решают получившееся целое уравнение; исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Пример. 1). Общий знаменатель : 10 2). 3). 4).
Предоставив всю информацию о том, как решаются дробно – рациональные уравнения и что это такое, мы предлагаем вам решить уравнения по данной теме.
Благодарим за внимание!
Предварительный просмотр:
Дробно-рациональные уравнения
Если равенство, содержащее переменную величину, (которую обычно обозначают одной из последних букв латинского алфавита, например x) является истинным не при всех допустимых значениях этой переменной, оно называется уравнением (с одним неизвестным).
Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.
Определение. Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g(x) являются дробно-рациональными функциями.
1. 2.
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:
При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:
1.находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;общий знаменатель(x+5)(3-x)
2.умножают обе части уравнения на общий знаменатель (или на дополнительные множители);
3.решают получившееся целое уравнение;
4.исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
или
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Биквадратное уравнение Биквадратное уравнение – уравнение вида ах 4 + b х 2 +с=0, где а ≠0. Пример : 9х 4 -5х 2 +4=0, х 4 +4х 2 =0
Алгоритм решения биквадратного ур-я Ввести замену переменной: пусть х 2 = t . Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 +bt+c=0 . Решить новое квадратное уравнение. Вернуться к замене переменной. Решить получившиеся квадратные уравнения. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения. Записать ответ.
Пример решения биквадратного ур-я Пример: 4х 4 -5х 2 +1=0 Пусть х 2 = t ; 4t 2 -5t+1=0 ; D=(-5) 2 -4 ·4·1=25-16=9 ; t 1 = t 2 = Обратная подстановка: х 2 = ; х 2 =1; х 3 =-1; х 4 =1 х 1 = - ; х 2 = Ответ: х 1 , 2 = ± , х 3,4 = ± 1.
Таблица для исследования числа решений биквадратных ур-ий № Уравнение Знак дискриминанта ( D) Корни нового уравнения t 1 и t 2 Знаки корней нового уравнения Корни исходного уравнения Кол-во решений биквадратного уравнения 1 х 4 -10х 2 +9 =0 D >0 t 1 =1, t 2 =9 t 1 >0, t 2 >0 x 1 , 2 = ±1, x 3,4 =±3 4 2 2x 4 -x-1=0 D >0 t 1 =1, t 2 =-0,5 t 1 >0, t 2 <0 x 1,2 = ±1 2 3 x 4 +5x+4=0 D >0 t 1 =-4, t 2 =-1 t 1 <0, t 2 <0 нет корней 0 4 2x 4 +5x 2 +4=0 D <0 нет корней ------ нет корней 0 5 x 4 -8x 2 + 16 =0 D=0 t=4 t >0 x 1,2 = ±2 2 6 x 4 +8x 2 +16=0 D=0 t=-4 t <0 нет корней 0
Домашнее задание Провести исследование: может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?
Схема Горнера
Предварительный просмотр:
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней, приводимые к квадратным.
Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Показательные уравнения и способы их решения
Данная презентация помогает обобщить знания по теме "Показательные уравнения и способы их решения". Подготовиться к ЕГЭ....
"Типы логарифмических уравнений и способы их решения"
Рассмотрены типы логарифмических уравнений и примеры их решения....
"Уравнения и способы их решения", 9 класс
Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике - выявление средствами пре...
Урок-смотр знаний по теме "Квадратные уравнения и способы их решения"
Данная методическая разработка включает в себя конспект урока и презентацию по теме "Квадратные уравнения и способы их решения". Надеюсь, что она будет полезна как начинающим учителям математики, так ...
презентация урока по теме "ВИДЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ"
Данная презентация может использоваться для проведения урока по теме " Показательные уравнения"...
Презентация для 9 класса по теме: "Целые уравнения и способы их решения"
В нашем лицее математика изучается по профильной программе. И одна из углубленныж тем 9 класса: "Уравнения высших степеней". В предложенной презентации разобраны основные методы решения уравнений.Разо...
Уравнения и способы их решения
Данный материал можно испльзовать при подготовке обучающихся к ГИА...