Основные методы решения тригонометрических уравнений (профильный уровень)
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Вопросы учащимся:

1. Какие свойства тригонометрических функций оказывают существенное влияние при решении тригонометрических уравнений? (область определения, множество значений, четность, периодичность).
2. Вспомним, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.
3. Частные случаи тригонометрических уравнений.
4. Основные методы решения тригонометрических уравнений и их особенности.

Слайд 2 презентации.

Слайды 3-7.

Приложение 1. Опорную таблицу стоит раздать учащимся (желательно каждому) с целью повторения необходимого материала.

3. Бенефис одного уравнения.

Задача. Решите уравнение  различными способами.

Решение.

1 способ. Путем введения вспомогательного аргумента.

,

,

,

Так как , то существует такое значение , что , тогда последнее уравнение может быть переписано в виде
, где .

,

.

Поскольку функция  - четная, то
,

,

.

Ответ: .

Данное уравнение написано на доске.

Класс разбивается на 4 группы (состав каждой группы определяется учителем по его усмотрению) по количеству способов решения уравнения, предложенных учителем. Для дальнейшего обсуждения плюсов и минусов каждого способа необходимо вызвать к доске по одному представителю от группы.

2 способ. С помощью универсальной подстановки.

.

Учитывая, что , , , обозначим . Получим рациональное уравнение относительно t.

,

,

,

 ни при каких значениях t.

,

,

.

Вернемся к исходной переменной.

,

,

.

Проверим, являются ли числа вида , решениями заданного уравнения:

,

,

 - неверное числовое равенство, значит числа вида  на являются корнями заданного уравнения.

Ответ: .

Учащиеся должны понимать, что ответы, полученные в первом случае и  во втором случаях, одинаковы.

3 способ. Выражение  и через половинный аргумент и приведение к однородному.

,

,

,

.

Разделим обе части равенства на . Потери корней не произойдет, так как синус и косинус одного аргумента одновременно в ноль не обращаются.

.

Обозначим .

,

,

.

Вернемся к исходной переменной.

,

,

.

Ответ: .

4 способ. Возведение обеих частей равенства в квадрат.

,

,

,

,

.

Разделим обе части равенства на . Потери корней не произойдет, так как синус и косинус одного аргумента одновременно в ноль не обращаются.

,

Обозначим .

,

,

.

Вернемся к исходной переменной.

,

.

Проверка сложна.

Решение тригонометрических уравнений возведением обеих частей в квадрат нецелесообразно (только в крайних случаях является рациональным). Этот метод пытаются обходить.

При обсуждении этого способа решения необходимо обратить внимание на то, что возведение обеих частей равенства в квадрат не является равносильным преобразованием, поэтому может привести к появлению посторонних корней. Следовательно, необходима проверка.

Вывод ученики должны записать в тетрадях.

4. Итог урока.

Какие из основных методов решения тригонометрических уравнений не были использованы на уроке? Перечислите.

5. Домашнее задание.

Домашнее задание состоит из двух обязательных блоков. В первом блоке метод решения уравнений предложен, а во втором блоке ученики должны сами его определить.

Приложение 2.

Предложить ребятам просмотреть задания домашней работы и при необходимости прокомментировать некоторые моменты.

Метод разложения на множители

Функционально-графический метод

Метод введения новой переменной

Метод

Необходимо помнить !

1. Разложение на множители

Разложение на множители с использованием формул тригонометрии или алгебраических приемов.

Из полученных значений неизвестного надо исключить те, для которых выражения, входящие в заданное уравнение, не имеют смысла.

Введение вспомогательного аргумента.

Применяется в уравнениях, содержащих сумму .

2. Введение новой переменной

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции

Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним.

При делении обеих частей однородного уравнения на  (или ) область определения сужается, но потери корней не происходит, так как синус и косинус одного аргумента одновременно в нуль не обращаются.

Универсальная подстановка.

, ,

Посредством универсальной подстановки могут быть найдены все решения данного уравнения, за исключением тех, для которых  не существует, т.е. . Наличие или отсутствие решений этого вида может быть установлено непосредственной проверкой.

Уравнения, рациональные относительно выражений .

Новая переменная: 

Уравнения,  где левая часть является рациональной функцией относительно  может быть сведено к рациональному уравнению относительно неизвестного.

3. Функционально-графический

Уравнения вида.

Если при решении уравнения удается установить разный характер монотонности функций  и , и угадать каким-либо образом один корень, то уравнение решено – найденный корень – единственный.