Урок по теме "Квадратные уравнения. Теорема Виета".
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Тема урока: Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Цели  урока:

Образовательные -  закрепить теорему Виета;  научить решать квадратные уравнения, сумма коэффициентов которых равна нулю; отрабатывать навыки устного решения этих уравнений.

Развивающие -  развивать  общеучебные и специальные умения и навыки, познавательные процессы: память, мышление, внимание.

 Воспитывающие – воспитание трудолюбия, желания добиться поставленной цели, сознательного отношения к учебе, развитие самостоятельности и творчества.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

I Организационный момент.  Сообщаются задачи и цели урока.

II Повторение пройденного материала

1. Тест по теме «Квадратные уравнения»

1 вариант

1. Уравнения вида ax2 + bx +c = 0, где a,b,c – заданные числа, а … 0, х – переменная, называется __________________ уравнением.
2. Уравнение x2 = a, где а > 0, имеет корни x1 = ____ , x2 = ____ .
3. Уравнение ax2 = 0, где а ≠ 0, называется _________________ квадратным уравнением.
4. Уравнение ax2 + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, называют ________________ квадратным уравнением.
5. В уравнении ax2 + bx +c = 0 число b называется ________________ коэффициентом.
6. Корни квадратного уравнения ax2 + bx + с = 0 вычисляются по формуле       х1,2 =  … ± √…  

 …

7. Приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором  a =___, b = ___,  c = ____ .
8. Если х1 и х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливы формулы        х1 + х2 = ____,     х1 ∙ х2 = ____.

2 вариант

1. Если ax2 + bx + с = 0 – квадратное уравнение,  то а называют _______________ коэффициентом, с -  ______________ членом.
2. Уравнение x2 = a, где а < 0, не имеет ______________ .
3. Уравнение ax2 + с = 0, где a ≠ 0, с ≠ 0, называют ________________ квадратным уравнением.
4. Корни квадратного уравнения ax2 + bx +c = 0 вычисляются по формулам

        ;                                   .

5. Квадратное уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два различных действительных корня, если .
6. Квадратное уравнение вида  называют _____________.
7. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ________________коэффициенту, взятому с ______________ знаком, а произведение корней равно ____________________члену.
8. Если числа  таковы, что , то  и   – корни уравнения _______________________ .

2. Устно ответить на вопросы:

1) Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

а)        1) x2 – 3x = 0;                           б)   1)  4x2 – x + 3 = 0;

        2) x2 -64 = 0;                               2) x2 -5x + 6 = 0;

        3) 4x2 = 0;                                         3)  x2 + 3x +1 = 0;

        4) 2x2 + x – 1 = 0.                                4)  x2 – 3x – 1 = 0.

Ответы:

а) 4) – лишнее, так как это полное квадратное уравнение. 1), 2), 3) – неполные квадратные уравнения.

б) 1) – лишнее, так как это уравнение общего вида. 2), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения.

    2)  Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

(Ответ: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.)

         3) Сформулируйте теорему Виета.

   4)  Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ?

(Ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением).

Один из учеников записывает равносильное уравнение:

.

Использование таблицы:

III. Решение задач с использованием теоремы Виета .

1. Дано уравнение:

.

Не решая уравнения найти:

1. Сумму корней …
2. Произведение корней…
3. Квадрат суммы корней…
4. Удвоенное произведение…
5.  =
6. Подобрать корни…

Класс выполняет задание в тетрадях.

Учитель записывает ответы, полученными учащимися на доске.

2) Устно:

а) Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:

1. ;                              ?                  ?
2.                               ?                  ?
3.                               ?                  ?
4.                               ?                  ?

б) Для уравнений 1), 2) найти подбором корни.

Ответ: 1) .

IV. Изучение нового свойства квадратных уравнений

1. Учитель:

- Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

2. Задание  (устно)

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

                                                  Сумма коэффициентов

Учитель:

- При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов!

Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.

1. Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства.

(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома.)

                                                                                                                                                              Сумма коэффициентов

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного  уравнения.

Учитель:

- Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни.

Попробуйте найти какую-то закономерность:

1. В корнях этих уравнений;
2. В соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
3. В сумме коэффициентов.
4. Ученики отвечают то, что они здесь заметили:

1. Первый корень равен 1;
2. Второй корень равен  или ;
3. Сумма коэффициентов равна 0.

- Ребята, к  какому выводу вы пришли? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников и, если нужно. корректирует вывод:

Если в уравнениях , то один из корней

равен 1, а другой (по теореме Виета) равен .

Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:

.

- Ребята! Это свойство применят для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

V. Решение уравнений на закрепление свойства

x2 + 4x – 5 = 0;                x2 - 6x + 5 = 0;        

x2 + x – 2 = 0;                3x2 + x – 4 = 0;                

x2 + 6x – 7 = 0;                5x2 - 6x + 1 = 0;        

V. Самостоятельная работа (по карточкам в двух вариантах)

Задание. Решить уравнение:

ВАРИАНТ I

ВАРИАНТ II

1. 
2. 
3. 
4. .

Учитель проверяет задания учащихся, быстро справившихся с решением. Выставляется оценка. Остальные учащиеся сдают работы на проверку.

VII. Задание на дом

1. Придумать три уравнения, в которых  .

      2. Решить № 29.18(б);29.28

VIII. Итог урока

Выставление оценок учащимся за работу на уроке.