Тренинг-урок по подготовке по математике к ГИА и ЕГЭ
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 « Нижне- Наратбашская средняя общеобразовательная школа Буинского района Республики Татарстан»

Урок-тренинг

по подготовке к ГИА и ЕГЭ

по математике

2010-2011 уч.год

Тип урока: урок обобщения систематизации знаний.

Цели урока:

           Обучающие:

1. Обобщить решение задач на движение, работу и на проценты  различными способами 

Развивающие:

1. Воспитывать интерес к предмету через меж предметные связи с физикой, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность .

          Воспитывающие:

2. развитие у школьников самостоятельности мышления и в учебной деятельности;  развитие навыков самоконтроля; научить рационально распределять время выполнения заданий ЕГЭ.
3. формирование информационной культуры, компьютерной грамотности и потребности в приобретении знаний., развивать чувство прекрасного.
4. формирование таких качеств знаний, как прочность, глубина, оперативность;  воспитание у учащихся культуры поведения, добросовестного отношения к учебному труду, сопереживания успехам и неудачам товарищей.

Оборудование:

1. компьютер и проектор;
2. тексты задач на движение, работу и на проценты для решения в классе и дома.

Подготовка к уроку: 

Повторение способов решения задач на движение, работу и на проценты.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point и видео уроков.

План урока:

1. Организационный момент (сообщение необходимости решения задач на движения, работу и на проценты).
2. Актуализация опорных знаний (повторение определения процента и движения, работы).
3. Закрепление материала (решение задач разными способами).
4. Итоги урока. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

1.Взаимное приветствие.

2.Проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

Ребята! Для того чтобы просто сдать ЕГЭ по математике и получить аттестат, достаточно решить несколько простых задач. Это задачи В1, В2, В5 и В12. Никаких особых математических способностей для этого не требуется. Мы с вами сегодня научимся решать задания В12 - на движение, на работу и на проценты с помощью таблиц, формул и схем.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Есть задачи, которые решаются по одной-единственной формуле: s = vt,  то есть расстояние, скорость  и время. Из этой формулы можно выразить скорость или время :           V=S/t        и       t=S/V

2.Есть задачи В12 — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Еще один тип задач В12, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A p t. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

4. Проценты — удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».

III. Закрепление материала.

Задача1.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна 40. Воспользуемся уравнением. «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все        математические сезамы»,-сказал С. Коваль.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна  и 40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу. Данная таблица приемлема при решении задач на движение.
Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что  на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь помножим на 4, вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида 0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле 2 4, затем корни по формуле .

В нашем уравнении 1,   40,   500.

Найдем дискриминант 1600 2000 3600 и корни:

10, 50.

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение.

Задача2.

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна 1, а скорость, с которой она движется против течения 1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем  на два часа больше, чем .

Условие « на два часа меньше, чем » можно записать в виде

2

Составляем уравнение:

и решаем его.

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

Раскрываем скобки

Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

Умножаем обе части уравнения на 1

1 255

256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: 16   и   16   (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

Еще один тип задач В12, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Правила решения задач на работу очень просты.

1. A p t, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти t или p.
2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
4. В качестве переменной  удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

Задача 3.

 Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна 1 (он делает на одну деталь в час больше). Поскольку , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно,  на 1 меньше, чем , то есть

1

.

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

  110 0

Дискриминант равен 441. Корни уравнения: 10,   11. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их :-) Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

Задача 4.

На изготовление 21 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Обозначим : Х-детали в час 1-й рабочий

(Х+2)-детали в час 2-й рабочий

21/(х+2) + 4 = 35/х.      Приведем к общему знаменателю: 21х+4х(х+2)=35(х+2),

21х+4х2+8х = 35х+70,    4х2 – 6х – 70 = 0,   2х2 – 3х – 35 = 0,  D=9+280= 172 ,   x= (3+17)/4=5,

x=(3-17)/4 <0 - не удовл. усл.

Ответ:  5.

Задача 5.

 Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна 1, поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит,   2. Составим уравнение:

и решим его.

Ответ: 10.

Проценты — удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».

Задача 6.

Магазин снизил цену на стиральную машину на 10% при этом в результате продажи получает прибыль 8% .Какую прибыль получал магазин до снижения цены?

Примем последнюю цену за а руб. Ее понизили на 10%, т.е. на 0,1а руб, новая цена стала 0,9а руб.

0,9а руб. это цена, содержащая 8% прибыли. х руб - закупочная цена.  Составим пропорцию:

0,9а руб. — 108%

х руб.      — 100%              х=0,9а·100% /108% = 2,5а/3 =( 5/6)а

Найдем, сколько % составляла цена до понижения от закупочной цены.

а / ( 5/6 а) *100% = 600/5% = 120%. 

Значит, прибыль магазина до снижения цены была 20%.     Ответ: 20.
Приложение. Презентация и видео урок .

IV. Итоги урока. Домашнее задание.

В следующей статье мы разберем задачи под номером В12 на растворы, сплавы, смеси, на нахождение средней скорости и движение по окружности.

Подведем итоги.

Мы рассказали, как решать такие задачи. А дальше — практика. На сайтах www.mathege.ru вы найдете весь Банк заданий по математике, разработанный ФИПИ, а на сайте ege.yandex.ru — сможете проверить свои силы, решая типовые задания. Многочисленные сборники вариантов ЕГЭ можно найти в любом книжном магазине.

Домашнее задание: задания В12

К сожалению, тесты, которые вы найдете в сборниках или на специальных сайтах, посвященных ЕГЭ, содержат немало опечаток. Поэтому, если задача у вас не получается, не впадайте в панику — решайте похожую