Урок на тему: "Схема исследования функции".
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

Урок на тему: Схема исследования функции (1 курс, 2 ч)

    Цели: повторить схему исследования функции для построения ее графика и рассмотреть исследование функции с помощью производной; упражнять учащихся в исследовании функции с помощью производной и построении графиков функций; развивать навыки исследования функций и построения графиков; закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной

Ход урока:

1. Повторение пройденного материала

1. Повторить схему исследования функции.
2. Исследовать функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помпощью производной.

2. Изучение нового материала

1. Разобрать по учебнику пример 1. Пояснить осоставление таблицы и построения графика на рис 111.
2. Исследовать функцию и построить ее график:  у= х4/4-х3/3- х2.

Р е ш е н и е.

1) Область определения — D(y)=R

2) функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической;

3) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):  х4/4-х3/3- х2=0,

 3х4-4х3-12х2=0, х2(3х2-4х-12)=0;  х1=0; х2≈ -1,4; х3≈2,8.

Пересечение с осью ОУ: х=0,у=0.

Возьмем также две дополнительные точки: у(1)= - 13/12;   у(3)=9/4;

4) находим производную: у' = х3-х2-2х=х(х2-х-2)=х(х+1)(х-2).

у'=0,   х(х+1)(х-2) =0, х=0, х= -1, х=2;

5) найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:  

(-∞;-1), (-1;0), (0;2), (2;+∞).

Составим таблицу:

 6) Строим график.

3. Закрепление изученного материала

1. (Устно). Определите по следующим данным характер монотонности функции и указанных промежутках и вид экстремума:

а)

б)

в)

2. Внесите необходимые данные, при которых в указанных точках функция имела бы заданные виды экстремумов:

3. Назовите промежутки возрастания (убывания) и вид каждого из экстермумов функции. Изобразите эскиз графика функции, если, исследуя ее с помощью производной, получили данные:

4. Постройте эскиз графика функции у=ах2, если: а)а>0;  б)a<0. Определите промежутки возрастания и убывания функции. Какой знак имеет производная в этих промежутках?

5. Найдите экстремум квадратичной функции у=ах2+bx+c (a≠0), если  а)а>0;  б)a<0.

6. Изобразите эскиз графика функции  у=ах2+bx+c (a≠0), если в левой полуокрестности точки х0 (х0- абсцисса вершины параболы) у'>0, а в правой полуокрестности х0  у' <0, при условии, что: а) D=0; б) D<); в) D>0.

7. Определите (с использованием производной) вершину параболы и изобразите эскиз графика функций: а)у=х2-3х+2;   б)у= -х2-4х+5;  в) у=3х2-х-1; г)у= 2х2+5х-3.

4. Самостоятельная работа (СО)

Карточка — задания №1

Вариант 1.  Исследуйте функцию у=х2 +2х-8 с помощью производной и постройте ее график.

 П л а н    р е ш е н и я:

1)Установите область определения функции.

2) Найдите производную функции.

3) Определите критические точки функции.

4) Определите знак производной в каждом из промежутков, на  которые критические точки разбивают область определения.

5) Запишите промежутки возрастания и убывания функции.

6) Найдите точку экстремума функции и значение функции в ней.

7) Постройте график функции.

Карточка- задания№2

Вариант 2.  Исследуйте функцию у=х3/9 +х2 с помощью производной и постройте ее график. П л а н    р е ш е н и я:

1) Установите область определения функции.

2) Найдите производную функции.

3) Определите критические точки функции.

4) Определите знак производной в каждом из промежутков, на  которые критические точки разбивают область определения.

5) Запишите промежутки возрастания и убывания функции.

6) Найдите точку экстремума функции и значение функции в них.

7) Постройте график функции.

Карточка — задания №3

Карточка- задания№2

Вариант 3.  Исследуйте функцию у=х2-х3/6 с помощью производной и постройте ее график. П л а н    р е ш е н и я:

1) Установите область определения функции.

2) Определите критические точки функции.

3) Определите знак производной в каждом из промежутков, на  которые критические точки разбивают область определения.

4) Запишите промежутки возрастания и убывания функции.

5) Найдите точку экстремума функции и значение функции в них.

6) Постройте график функции.

Карточка — задания №4

Вариант 4.  Исследуйте функцию у=х4/4-х2  с помощью производной и постройте ее график. П л а н    р е ш е н и я:

1) Установите область определения функции.

2)  Определите критические точки функции.

3)Определите знак производной в каждом из промежутков, на  которые критические точки разбивают область определения.

4) Запишите промежутки возрастания и убывания функции.

5) Найдите точку экстремума функции и значение функции в них.

6) Постройте график функции.

5. Математический диктант:

Вариант 1. Изобразите схематично график непрерывной функции y=f(x), обладающей следующими свойствами:

Вариант 2. Изобразите схематично график непрерывной функции y=f(x), обладающей следующими свойствами:

6. Итог урока.