РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА

Ф.И.О., категория

по математике (элективный курс), 11 класс

Уравнения и неравенства с параметрами.

Предмет, класс и т.п.

Рассмотрено на заседании

педагогического совета

протокол № 1 от  

«26»       августа        2010г.

2010 - 2011  учебный год

Оглавление

Пояснительная записка        

Структура курса планирования учебного материала        

Краткое содержание курса        

I. Первоначальные сведения.        

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.        

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.        

IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.        

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.        

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.        

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.        

Планирование        

Заключение        

Задачи для самостоятельного решения.        

Литература        

Пояснительная записка

Цель профильного обучения в старших классах - обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Задачи курса

1. Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;
2. Выявить и развить математические способности;
3. Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.
2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы
3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.
2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.
3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.
4. Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

1. Первоначальные сведения. 2ч
2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
4. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
5. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
6. Тригонометрия и параметры. 2ч
   Иррациональные уравнения. 2ч
7. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
   Рациональные уравнения. 2ч
8. Графические приемы решения. 2ч
9. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

1. количество решений уравнений;
2. уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

10. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Примерное содержание.

Решить уравнение с параметром - это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами  отыскиваются действительные решения.

Другими примерами  равенств с параметрами могут служить  общие виды функций, изучаемых в основной школе.

- линейная функция y=kx+b, (k, b - параметры, x, y- переменные);

- квадратичная функция y= ax²+bx+c, где а≠0 (a, b, c-параметры, x, y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра. 

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида    Ах=В.

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

при    -  нет  решений

при    -   любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:                                        

Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , тогда получим  единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:  а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 3.  Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

 Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой  

части.

Рассмотрим случаи:  а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в  

уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 4.  Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

        - неверное числовое равенство,  следовательно, данное уравнение решений  

не имеет.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

при ,   или  ,   -  любое действительное число

при ,   или  ,      -   нет  решений.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств. 

Примерное содержание.

1.На доске записаны следующие неравенства:

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axb axb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3..  Решение линейных неравенств вида aх>b.

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b<0, то .

Если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  решений нет.

4.  Решение линейных неравенств вида aх<b.

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b>0, то .

если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 2. Решите неравенство ах<5.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  .

5. Решение линейных неравенств вида axb.

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b0, то .

если a=0 и b>0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство  ax4.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида ax b

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b 0, то .

если a=0 и b<0, то решений нет.

Пример 4. Решите неравенство ах 6.

1) если a>0, то  ;

2) если a<0, то  ;

3) если a=0, то  .

7. Решить неравенства.

(m-1)x<5m

если m-1>0,  т.е. m>1, то ,

2        если m-1<0,  т.е. m<1, то ,

3.        если m-1=0, т.е.  m=1, то  .      

(a-1)x>6

если a-1>0, т.е. a>1,   то ,

2.    если a-1<0, т.е. a<1, то ,

3.    если a-1=0, т.е. а=1,  то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение   имеет положительный корень?

Решение.

Так как корень х>0, то  0,8 b+14>0;   0,8 b>-14;   b>-1,75.

Ответ: при b>-1,75

IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Примерное содержание.

1.Повторить

Теорему Виета.

Тождество  

Свойства функций   и

При каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5.    Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1)ax² + 2x + 4=0,

2)(a + 3)x²+2x(a+5)+2a+7=0.

Ответ: 1) x=-2 при а=0; х=-4 при а=1/4; при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2

при а=-4,а=1;   при ; не имеет корней при .    

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

 Примерное содержание.

Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является  парабола.  

Коэффициент  a определяет направление ветвей параболы. Если  а >0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз.  Дискриминант квадратного трёхчлена  D=b²-4ac  определяет  наличие и количество общих точек с осью  Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то  парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек  две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит  (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа  и  – нули функции, D = b– 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы.         В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VIII. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений  высших степеней с параметром

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

1. Предмет: Элективный курс
2. Учитель:  
3. Класс: 11
4. Нагрузка в неделю: 1час
5. Нагрузка в год: 34часа

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить уравнение:  

2. Решить уравнение:  

3. Решить уравнение:  

4. Решить уравнение:  

5. Решить уравнение:  

6. Решить уравнение:  

7. Решить уравнение:  

8. Решить уравнение:  

9. Решить уравнение:  

10. Решить уравнение:  

11. При каких значениях параметра в уравнение :

     а) имеет бесконечно много корней;                 в) имеет корень, равный единице;

     б) не имеет корней;                                            г) имеет ненулевые корни?

12. При каких значениях а уравнение имеет:

     а) только положительные корни;                 б) только отрицательные корни?

13. Решить уравнение:   :

      а) относительно х  и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

      б) относительно у  и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

15. При каких значениях параметра а уравнение  имеет корни не равные    

      3?

16. Решить уравнение х2+а2 - 1 =0.

Ответ: при │а│>1 корней нет,  при других а х=±.  

17. Решить уравнение ах2-х+3 =0.

Ответ: при  а=0  х=3, при   а= х=6, при а> корней нет, при других а  

х=.

18. Решить неравенство ах2 +( а+1)х+1>0 при различных значениях а.

                      Ответ:    при а=0  х>-1; при а=1   х Є (-∞; -1)U(-1; +∞), при а>1  х Є (-∞; -1)U( -1/а; +∞),

 при а<0  х Є (-1; -1/а); при а Є (0;1)  х Є (-∞; -1/а)U(-1; +∞).

19. При каких значениях параметра а неравенство х2+ах+1<0 не имеет решений?

                      Ответ:   а Є[-1;1].

20. Решить неравенство  х2-4ах+9 ≤0.

                      Ответ: при  │а│>1,5 решений нет, при а=1,5 х=3,  при а=-1,5 х=-3, при других а  хє[2а-; 2а+].      

21. При каком значении параметра а система  имеет ровно два решения?

                    Ответ:  а=2.

22. Решить неравенство х2 - 2ах + 1>0 для всех значений параметра а.

                      Ответ:  при  |а|>1   х Є R,

                                   при  а=1    х Є R, где х ≠ 1,

                                   при  а=-1   х Є R, где х ≠ -1,

при  -1<a<1   х Є (-∞;-)U(а+; +∞).

23. При каких значениях а неравенство ах2 +4ах +а+3<0 выполняется для всех действительных значений х?

Ответ:  а Є (-∞; -4).  

24. При каких значениях параметра m двойное неравенство

  выполняется при всех действительных значениях х?

Ответ:  m Є (-2; 4).

Литература

1. Агалаков.С.А Математика. Единый экзамен- 2004. Часть С. Омск; НОУ НОК Образование плюс, 2004.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосеенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск: Аверсэв, 2003.
3. БашмаковМ., Резник Н. Задачник по алгебре для 7класса общеобразователь-ной школы. Санкт – Петербург, 2001.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.. Сборник задач по алгебре. 8-9кл. М.: Просвещение, 1994.
5. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999
6. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
7. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Илекса. Гимназия. Москва- Харьков, 2002.
8. Далингер В.А.. Всё для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике, выпуск 4. ОГПИ, Омск, 1995.
9. Евсеева А.И.. Уравнения с параметрами.// ж. «Математика в школе», 2003, №7.
10. Ерина Т.М.. Линейные и квадратные уравнения с параметром.// ж. «Матема-тика для школьников», 2004, №2.
11. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
12. Крамор В.С. Примеры  с параметрами и их решение. Аркти, Москва, 2000.
13. Математика для поступающих в вузы //Сост. Тырымов А.А.. – Волгоград: Учитель, 2000.
14. Математика. Задачи Сканави М.И. – Минск 1998г.
15. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
16. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г
17. Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Чебоксары – Издательство Чувашского университета, 2006.
18. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2001.
19. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
20. Е.М. Родионов. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. Изд – во МЦ «Аспект», 1992.
21. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г
22. Ю.Ф. Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просве-щение, 1999.
23. А.В. Шевкин. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. 8-9 классы. М.: Русское слово, 2003.
24. Тысяча и один пример. Под ред. О.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. Изд – во «Слобожаницина», 1994.
25. 514 задач с параметрами. Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград, 1991.