Главные вкладки

    Элективный курс по алгебре (11 класс) по теме:
    Уравнения и неравенства с параметрами

    разработка элективного курса по теме"Решение уравнений и неравенств с параметрами" и презентация по этой же теме

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    parametry.rar469.54 КБ

    Предварительный просмотр:

    РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА

    Ф.И.О., категория

    по математике (элективный курс), 11 класс

    Уравнения и неравенства с параметрами.

    Предмет, класс и т.п.

    Рассмотрено на заседании

    педагогического совета

    протокол № 1 от  

    «26»       августа        2010г.

    2010 - 2011  учебный год


    Оглавление

    Пояснительная записка        

    Структура курса планирования учебного материала        

    Краткое содержание курса        

    I. Первоначальные сведения.        

    II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.        

    III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.        

    IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.        

    V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.        

    VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.        

    VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.        

    Планирование        

    Заключение        

    Задачи для самостоятельного решения.        

    Литература        


    Пояснительная записка

    Цель профильного обучения в старших классах - обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

    В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

    Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

    Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

    В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

    Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

    При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

    Задачи курса

    1. Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;
    2. Выявить и развить математические способности;
    3. Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

    Цель курса

    1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.
    2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы
    3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
    4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

    В результате изучения курса учащиеся должны

    1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.
    2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.
    3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.
    4. Овладеть навыками исследовательской деятельности.

    Структура курса планирования учебного материала

    Темы:

    1. Первоначальные сведения. 2ч
    2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
    3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
    4. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
    5. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
    6. Тригонометрия и параметры. 2ч
      Иррациональные уравнения. 2ч
    7. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
      Рациональные уравнения. 2ч
    8. Графические приемы решения. 2ч
    9. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч
    1. количество решений уравнений;
    2. уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями
    1. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

    Краткое содержание курса

    I. Первоначальные сведения.

    Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
    Основные приемы решения задач с параметрам.
    Решение простейших уравнений с параметрами.

    Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

    Примерное содержание.

    Решить уравнение с параметром - это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

    Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами  отыскиваются действительные решения.

    Другими примерами  равенств с параметрами могут служить  общие виды функций, изучаемых в основной школе.

    - линейная функция y=kx+b, (k, b - параметры, x, y- переменные);

    - квадратичная функция y= ax²+bx+c, где а≠0 (a, b, c-параметры, x, y -переменные).

    Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

    Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.


    II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

    Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
    Решение уравнений, приводимых к линейным.
    Решение линейно-кусочных уравнений.
    Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
    Геометрическая интерпретация.
    Решение системных уравнений.

    Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра. 

    Примерное содержание.

    1. Алгоритм решения уравнений вида    Ах=В.

    Решением является любое действительное число

    При  А=0 и  В=0

    Нет решений

    При  А=0,  

    Единственное решение

    При  

    2. Рассмотреть примеры.

    ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

    Решение.

    Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

    ,

    ,

    Рассмотрим случаи:

    Если т.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

    Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

    Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

    Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

    при    -  нет  решений

    при    -   любое действительное число.

    ПРИМЕР 2: Решить уравнение:                                        

    Решение.

    Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

    ,

    ,

    ,

    Рассмотрим случаи:

    Если т.е.  и , тогда получим  единственное решение уравнения: .

    Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:  а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

    в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

    уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

    следовательно, данное уравнение решений не имеет.

     3.  Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

     Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой  

    части.

    Рассмотрим случаи:  а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в  

    уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

    решением данного уравнения является любое действительное число.

    в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

    уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

    следовательно, данное уравнение решений не имеет.

     4.  Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

            - неверное числовое равенство,  следовательно, данное уравнение решений  

    не имеет.

    Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

    при ,   или  ,   -  любое действительное число

    при ,   или  ,      -   нет  решений.


    III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

    Определение линейного неравенства.
    Алгоритм решения неравенств.
    Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
    Исследование полученного ответа.
    Обработка результатов, полученных при решении.

    Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств. 

    Примерное содержание.

    1.На доске записаны следующие неравенства:

    а)

    б)

    в)

    Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

    2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

    Неравенства вида axb axb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

    В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

    3..  Решение линейных неравенств вида aх>b.

    если a>0, то  .

    если a<0, то  .

    если a=0 и b<0, то .

    Если a=0 и b0, то решений нет.

    Пример 1. Решите неравенство ах>1.

    1) если a>0, то  

    2) если a<0, то  

    3) если a=0, то  решений нет.

    4.  Решение линейных неравенств вида aх<b.

    если a>0, то  .

    если a<0, то  .

    если a=0 и b>0, то .

    если a=0 и b0, то решений нет.

    Пример 2. Решите неравенство ах<5.

    1) если a>0, то  

    2) если a<0, то  

    3) если a=0, то  .

    5. Решение линейных неравенств вида axb.

    если a>0, то  .

    если a<0, то  .

    если a=0 и b0, то .

    если a=0 и b>0, то решений нет.

    Пример 3. Решите неравенство  ax4.

    1) если a>0, то  

    2) если a<0, то  

    3) если a=0, то  решений нет.

    6. Решение линейных неравенств вида ax b

    если a>0, то  .

    если a<0, то  .

    если a=0 и b 0, то .

    если a=0 и b<0, то решений нет.

    Пример 4. Решите неравенство ах 6.

    1) если a>0, то  ;

    2) если a<0, то  ;

    3) если a=0, то  .

    7. Решить неравенства.

    (m-1)x<5m

    если m-1>0,  т.е. m>1, то ,

    2        если m-1<0,  т.е. m<1, то ,

    3.        если m-1=0, т.е.  m=1, то  .      

    (a-1)x>6

    если a-1>0, т.е. a>1,   то ,

    2.    если a-1<0, т.е. a<1, то ,

    3.    если a-1=0, т.е. а=1,  то решений нет.

    При каких значениях параметра b уравнение   имеет положительный корень?

    Решение.

    Так как корень х>0, то  0,8 b+14>0;   0,8 b>-14;   b>-1,75.

    Ответ: при b>-1,75

    IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.

    Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
    Алгоритм решения уравнений.
    Аналитический способ решения.
    Графический способ.
    Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

    Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

    Примерное содержание.

    1.Повторить

    Теорему Виета.

    Тождество  

    Свойства функций   и

    При каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

    5.    Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

    2.Решить уравнения: 1)ax² + 2x + 4=0,

    2)(a + 3)x²+2x(a+5)+2a+7=0.

    Ответ: 1) x=-2 при а=0; х=-4 при а=1/4; при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2

    при а=-4,а=1;   при ; не имеет корней при .    

    V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

    Область значений функции.
    Область определения функции.
    Монотонность. Координаты вершины параболы.

    Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

     Примерное содержание.

    Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является  парабола.  

    Коэффициент  a определяет направление ветвей параболы. Если  а >0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз.  Дискриминант квадратного трёхчлена  D=b²-4ac  определяет  наличие и количество общих точек с осью  Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то  парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек  две.

    Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит  (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

    Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа  и  – нули функции, D = b– 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы.         В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

    VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

    Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
    Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
    Область значений тригонометрических функций.

    Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
    Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

    VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

    Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
    Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
    Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

    VIII. Производная и ее применение.

    Касательная к функции.
    Критические точки.
    Монотонность.
    Наибольшие и наименьшие значения функции.
    Построение графиков функций.

    Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

    IX. Нестандартные задачи.

    Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений  высших степеней с параметром

    Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

    Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

    В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

    Планирование

    1. Предмет: Элективный курс
    2. Учитель:  
    3. Класс: 11
    4. Нагрузка в неделю: 1час
    5. Нагрузка в год: 34часа

     № урока

    Тема

    Кол-во

    Тип урока или вид урока

    ТСО

    Промежуточный контроль

    Примечание

    Дата

    Основные понятия уравнений с параметрами.

    1

    Комбинированный

    Презентация

    Основные понятия неравенств с параметрами.

    1

    Комбинированный

    Диск

    Уравнения с параметрами (первой степени).

    1

    ПЗУ

    Диск

    Уравнения с параметрами (первой степени).

    1

    ПКЗУ

    СР

    Неравенства с параметрами (первой степени).

    1

    ПЗУ

    Презентация

    Неравенства с параметрами (первой степени).

    1

    ОСЗ

    Уравнения с параметрами (второй степени).

    1

    Комбинированный

    Презентация

    Уравнения с параметрами (второй степени).

    1

    Комбинированный

    Уравнения с параметрами (второй степени).

    1

    Комбинированный

    Уравнения с параметрами (второй степени).

    1

    Комбинированный

    Уравнения с параметрами (второй степени).

    1

    Комбинированный

    ТЕСТ

    Неравенства с параметрами (второй степени).

    1

    ОНМ

    Диск

    Неравенства с параметрами (второй степени).

    1

    ЗИ

    Неравенства с параметрами (второй степени).

    1

    ПЗИ

    ТЕСТ

    Рациональные уравнения с параметрами.

    1

    Комбинированный

    Диск

    Рациональные уравнения с параметрами.

    1

    Комбинированный

    Графические приемы при решении уравнений и неравенств.

    1

    ОНМ

    Диск

    Графические приемы при решении уравнений и неравенств.

    1

    ПЗУ

    СР

    Свойства квадратичной функции.

    1

    Комбинированный

    Свойства квадратичной функции.

    1

    Комбинированный

    Текстовые задачи с использованием параметра.

    1

    Урок-практикум

    Презентация

    Текстовые задачи с использованием параметра.

    1

    Урок-практикум

    Текстовые задачи с использованием параметра.

    1

    ЗИ

    СР

    Иррациональные уравнения с параметрами.

    1

    ОНМ

    Диск

    Иррациональные уравнения с параметрами.

    1

    Комбинированный

    Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

    1

    Комбинированный

    Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

    1

    ЗИ

    Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

    1

    Урок-соревнование

    ТЕСТ

    Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями.

    1

    ПЗУ

    Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями.

    1

    ПЗУ

    Нестандартные задачи.

    1

    Комбинированный

    Диск

    Нестандартные задачи.

    1

    Урок-консультация

    Итоговая контрольная работа по курсу.

    1

    Зачет

    КР

    Защита индивидуальных проектов.

    1

    Урок-практикум


    Заключение

    Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

    Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

    Задачи для самостоятельного решения.

    1. Решить уравнение:  

    2. Решить уравнение:  

    3. Решить уравнение:  

    4. Решить уравнение:  

    5. Решить уравнение:  

    6. Решить уравнение:  

    7. Решить уравнение:  

    8. Решить уравнение:  

    9. Решить уравнение:  

    10. Решить уравнение:  

    11. При каких значениях параметра в уравнение :

         а) имеет бесконечно много корней;                 в) имеет корень, равный единице;

         б) не имеет корней;                                            г) имеет ненулевые корни?

    12. При каких значениях а уравнение имеет:

         а) только положительные корни;                 б) только отрицательные корни?

    13. Решить уравнение:   :

          а) относительно х  и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

          б) относительно у  и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

    14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

    15. При каких значениях параметра а уравнение  имеет корни не равные    

          3?

    16. Решить уравнение х2+а2 - 1 =0.

    Ответ: при │а│>1 корней нет,  при других а х=±.  

    17. Решить уравнение ах2-х+3 =0.

    Ответ: при  а=0  х=3, при   а= х=6, при а> корней нет, при других а  

    х=.

    18. Решить неравенство ах2 +( а+1)х+1>0 при различных значениях а.

                          Ответ:    при а=0  х>-1; при а=1   х Є (-∞; -1)U(-1; +∞), при а>1  х Є (-∞; -1)U( -1/а; +∞),

     при а<0  х Є (-1; -1/а); при а Є (0;1)  х Є (-∞; -1/а)U(-1; +∞).

    19. При каких значениях параметра а неравенство х2+ах+1<0 не имеет решений?

                          Ответ:   а Є[-1;1].

    20. Решить неравенство  х2-4ах+9 ≤0.

                          Ответ: при  │а│>1,5 решений нет, при а=1,5 х=3,  при а=-1,5 х=-3, при других а  хє[2а-; 2а+].      

    21. При каком значении параметра а система  имеет ровно два решения?

                        Ответ:  а=2.

    22. Решить неравенство х2 - 2ах + 1>0 для всех значений параметра а.

                          Ответ:  при  |а|>1   х Є R,

                                       при  а=1    х Є R, где х ≠ 1,

                                       при  а=-1   х Є R, где х ≠ -1,

    при  -1<a<1   х Є (-∞;-)U(а+; +∞).

    23. При каких значениях а неравенство ах2 +4ах +а+3<0 выполняется для всех действительных значений х?

    Ответ:  а Є (-∞; -4).  

    24. При каких значениях параметра m двойное неравенство

      выполняется при всех действительных значениях х?

    Ответ:  m Є (-2; 4).


    Литература

    1. Агалаков.С.А Математика. Единый экзамен- 2004. Часть С. Омск; НОУ НОК Образование плюс, 2004.
    2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосеенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск: Аверсэв, 2003.
    3. БашмаковМ., Резник Н. Задачник по алгебре для 7класса общеобразователь-ной школы. Санкт – Петербург, 2001.
    4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.. Сборник задач по алгебре. 8-9кл. М.: Просвещение, 1994.
    5. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999
    6. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
    7. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Илекса. Гимназия. Москва- Харьков, 2002.
    8. Далингер В.А.. Всё для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике, выпуск 4. ОГПИ, Омск, 1995.
    9. Евсеева А.И.. Уравнения с параметрами.// ж. «Математика в школе», 2003, №7.
    10. Ерина Т.М.. Линейные и квадратные уравнения с параметром.// ж. «Матема-тика для школьников», 2004, №2.
    11. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
    12. Крамор В.С. Примеры  с параметрами и их решение. Аркти, Москва, 2000.
    13. Математика для поступающих в вузы //Сост. Тырымов А.А.. – Волгоград: Учитель, 2000.
    14. Математика. Задачи Сканави М.И. – Минск 1998г.
    15. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
    16. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г
    17. Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Чебоксары – Издательство Чувашского университета, 2006.
    18. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2001.
    19. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
    20. Е.М. Родионов. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. Изд – во МЦ «Аспект», 1992.
    21. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г
    22. Ю.Ф. Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просве-щение, 1999.
    23. А.В. Шевкин. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. 8-9 классы. М.: Русское слово, 2003.
    24. Тысяча и один пример. Под ред. О.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. Изд – во «Слобожаницина», 1994.
    25. 514 задач с параметрами. Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград, 1991.

    По теме:
    методические разработки, презентации и конспекты уроков

    Рабочая программа элективного курса "Уравнения и неравенства с параметрами"

    Данная рабочая программа элективного курса предназначена для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы. Она может...

    Элективный курс по алгебре на тему: "Уравнения, неравенства и их системы»

     Элективный курс представляет углубленное изучение теоретического материала укрупненными блоками. Курс рассчитан на...

    Элективный курс "Логарифмические и показательные уравнения и неравенства"

    Программа удачно совмещает материал базового уровня с материалом повышенного уровня по математике. Такой подход позволяе...

    Элективный курс "Рациональные уравнения и неравенства"

    Разработка элективного курса по математике для учащихся 9 класса ....

    Элективный курс "Уравнения и неравенства"

     -расширение знаний учащихся по теме «Уравнения и неравенства»;-выработка умений решать уравнения и неравенства;-ос...

    Элективный курс "Уравнения и неравенства"

    Элективный курс по математике «Уравнения и неравенства», рассчитан на 17 часов. Курс построен в соответствии со схемой «...

    Элективный курс "Уравнения. Неравенства. Системы"

    Программа элективного курса "Уравнения. Неравенства. Системы." для 10 - 11 классов. Изучение  курса позволяет учащи...

    Уравнения и неравенства с параметрами

    Программа элективного курса для учащихся 10-11 классов содержит введение, пояснительную записку, тематическое планирован...

    Уравнения и неравенства с параметрами

    На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно  предлагаются так называемые задачи с параметр...