Разработка урока по алгебре и началам анализа в 11 классе
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Разработка урока по алгебре и началам анализа в 11 классе

 (для учителей, работающих по учебнику « Алгебра и начала анализа» авторы: Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин).

Тема: Первообразная.

Цель урока:

1. Ввести понятие первообразной для функции.
2. Выяснить физический и геометрический смысл первообразной.
3. Отработать умения и навыки нахождения первообразной некоторых элементарных функций.

Тип урока: Комбинированный.

Оборудование: Таблицы, проектор.

Обязательные результаты обучения на данном уроке:

1. Все учащиеся должны знать смысл действия интегрирования.
2. Уметь решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. Найти первообразную функции: fx=4x-8; fx=x2-5x; fx=4cosx-2x
2. Для функции fx=x2-2 найти первообразную, график которой проходит через данную точку М(1;5)

Ход урока:

1. Объяснение нового материала.

1. Понятие противоположного действия: сложение и вычитание; умножение и деление; возведение в степень и извлечение корня.

Вывод: Все известные нам действия парные, то есть имеют обратные, поэтому естественно поискать обратное действие и для дифференцирования.

2. Постановка обратной задачи.

1. Построить график функции: 𝑦=2𝑥-5 (показать на таблице) обратная задача: по заданному графику составит уравнение функции.
2. Построить график функции: 𝑦=x2-4x+3 (показать на таблице) обратная задача: по построенному графику составить уравнение функции.
3. Решить уравнение: x2-9x+14=0, обратная задача: по найденным корням 𝑥1=2; 𝑥2=7 составить исходное уравнение. Для решения этих обратных задач мы использовали уравнение прямой 𝑦=𝑘𝑥+𝑏, в котором по графику находили 𝑘 и 𝑏; уравнение параболы, в котором по графику находили координаты вершины направление ветвей, точки пересечения с осями и т.д. Для решения задачи мы использовали свойства корней квадратного уравнения. А теперь сформируем две следующие задачи:

1. Найти производную функции 𝑦=5x3+4x2;
2. Обратная задача: по заданной производной найти функцию, то есть решить, например ?'=x2.

И так возникла проблема: есть ли обратное действие дифференцированию,  и какие задачи к нему приводят? Для этого надо вспомнить все о прямом действие – действии нахождения производной функции.

Учащиеся отвечают на вопросы.

1. Что такое производная в математике?

Ответ: 𝑦=fx; 𝑦'=lim∆x→0∆y∆x - скорость изменения функции.

2. В физике.

Ответ: мгновенная скорость.

3. В Геометрии.

Ответ: тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ (на экране проецируется чертеж).

        А теперь сформируем обратные задачи:

1. Зная скорость изменения функции найти саму функцию.
2. В физике часто решают задачи:

1. Зная закон скорости или ускорения, находят закон движения, скорости 𝑎t→vt→st
2. Задача о вычислении работы переменной силы.

Вывод: Существуют действие, обратное нахождению производной, следовательно, как любое действие оно должно иметь название и символ.

Действие, обратное дифференцированию это действие нахождения первообразной и называется – интегрирование.

Определение первообразной: Функция 𝐹x называется первообразной для функции fx на некотором промежутке, если для всех 𝑥 из этого промежутка 𝐹'x=fx.

Пример: x5'=5x4

𝐹x=x5 - первообразная для функции fx=5x4.

Функция sinx - первообразная для функции cosx, так как sinx'=cosx.

2. Закрепление материала.

1. Упражнение на доказательство того, что функция 𝐹x является первообразной для функции fx. Пример:

1. 𝐹x= x44,   fx=x3.
2. 𝐹x=4+sin3x,  fx=3cos3x.

        Повторяются все правила и формулы нахождения производной.

2. Упражнения на нахождение первообразных путем отгадывания: Пример: Найти 𝐹x, если fx=4x3

                     ?'=4x3

Вопрос: сколько первообразных можно найти в этой задаче?

Все упражнения на нахождение первообразной сопровождаются проверкой по определенной производной.

После решения таких задач делается предположение: в первообразной степенной функции показатель увеличивается на единицу, а в знаменателе появляется множитель, равны показателю:

fx=xk      𝐹x=xk+1k+1

Проверяется гипотеза доказательством:

𝐹'x=xk*k+1k+1=xk

Далее обращается внимание учащихся на тот факт, что первообразная не изменится, если к функции прибавить постоянную величину С, то есть 𝐹x+С является первообразной для функции fx, а также функция 𝐹x является первообразной функции fx на таком промежутке, на котором обе функции 𝐹x и fxопределены.

3. Заключительная часть урока:

        Понятия функции, предела, производной и интеграла является основными понятиями математического анализа.

        Далее краткая историческая справка. Термин «Функция» впервые был употреблен в 1692 году немецким математиком Г. Лейбницем, над этим понятием работали швейцарский математик И. Бернулли, Л. Эйлер, П. Дирихле, а также великий русский математик Н. И. Лобачевский.

        Первое определение предела дал английский математик Д. Валлис в 1616 году,  И Ньютону принадлежит введение символа 𝑙𝑖𝑚.

        Большой вклад в развитие дифференциального исчисления внесли французские ученые П. Ферма и Р. Декарт.

        Труды Кеплера, Кавальери служили основой теории интегрального исчисления. Развитие этой теории продолжили Эйлер и в России – П. А. Чебышев.

4. Домашнее задание (проецируется на доске).

1. Геометрическое истолкование нахождения первообразной (вспомнить геометрическую суть производной, определение первообразной, линейную функцию).
2. Подготовить сообщения о практическом применении первообразной (2 человека).
3. Упражнения из учебника на нахождение первообразной, а также на доказательство.