арифметическая прогрессия вокруг нас
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему

ГБОУ СОШ №262 Красносельского района г. Санкт-Петербурга

Конспект открытого урока «Арифметическая прогрессия вокруг нас»,

алгебра 9 класс.

Применение ИКТ на уроке                                                  Дата проведения 12.04.2013

Цели урока.

1. Образовательные цели: обобщение и систематизация знаний по алгебре, осознание разнообразия применения математики в реальной жизни;
2. Развивающие цели: показать гармонию окружающего мира, развивать мышление, кругозор, творческие способности учащихся, интерес к математике, литературе, химии, физике;
3. Воспитательные цели: воспитание стойкого представления о взаимосвязи науки и искусства, формирование целостного представления о мире, всеобщих Законах Вселенной, воспитание чувства прекрасного, познавательной активности, аккуратности, стремления преодолевать трудности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Ход урока

1.Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня урок я начинаю со следующих слов:

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

 Известный лозунг

«Прогрессио – движение вперед»

Итак, сегодня мы говорим с вами о прогрессии, которая называется арифметической. Мы знаем определение арифметической прогрессии, почему она так названа, знаем формулу «n»-го члена, формулу суммы «n»-первых членов арифметической прогрессии, мы решали задачи по данной теме и даже написали контрольную работу. Так чем же мы будем заниматься на данном уроке? А тем, что попытаемся ответить на вопрос, зачем нам были нужны эти знания, и где в повседневной жизни мы можем встретить арифметическую прогрессию и может даже ее применить?

Т.е. тема сегодняшнего урока: «Арифметическая прогрессия вокруг нас»

2. Актуализация ранее изученного материала (устная работа).

1) В качестве небольшой разминки отгадаем кроссворд.

Вопросы кроссворда:

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2. Разность последовательно одинаковых членов.

3. Способ задания последовательности.

4. Разность последующего и предыдущего членов прогрессии.

5. Элементы, из которых состоит последовательность.

6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности.

7.  Функция, заданная на множестве натуральных чисел.

8. Последовательность, содержащая конечное число членов.

2) Вам предлагается карточка, в которой вы должны «Найти пару», соединив их стрелкой.

     Затем вы обменяетесь карточками,  и мы проверим их, выставив оценки друг другу.

3) Работаем всем классом, отвечаем на вопросы тренировочных упражнений.

а) 1. Известно, что а1 = 1, d = 2. Задайте эту прогрессию.

б)  Выразите через  а1  и  d :    а8  и а33   .  

в)  Найдите   а5   , если   а1   = 4,     d =7.             (32)

г) Найдите   а12     , если   а11   = 20,   а13    = 30.             (25)

д) Найти сумму первых 24 членов    арифметической прогрессии, заданной формулой       Xn = 3n – 2   (852)

Помним содержание следующего лозунга:

3. Применение знаний об арифметической прогрессии в других областях.

Ребята, к сегодняшнему уроку вы все были поделены на группы, каждая группа получила индивидуальное домашнее задание. Вы все искали материал о применении  знаний арифметической прогрессии в других областях. Вы должны были не только найти эти сведения и подготовить сообщение, но и доказать на примерах, а также создать совместную презентацию по заданной проблеме. Заслушаем ваши сообщения. Первыми  слушаем группу, которая искала связь между арифметической прогрессией и биологией.

а) в биологии

Учащиеся 1 группы предложили классу решить следующую задачу:

Задача 1.

Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см. каким будет высота саженца через 6 месяцев?

а1=60, d=4

Найти а6=?

Решение:  а6= а1+5d,  а6= 60+5·4= 60+20=80(см)

Задача 2. (предложена для домашнего решения)

Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания.

1. Решение. a1 =30, d=5, Sn= 525, n>0.

   Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;     525= (2·30+ 5 (n-1))n:2;      1050= (60+ 5 (n-1))n;

   1050= 55 n + 5n2;        

   n2 +11 n -210=0,      n1=-21,  n2=10   (n>0).

  Улика достигнет вершины за 10 дней.

Вывод, сделанный учащимися 1 группы: «Мы нашли не так много материала об арифметической прогрессии и биологии, но зато узнали, что биология тесно связана с другой прогрессией – геометрической, и нам хотелось бы в дальнейшем продолжить эту работу».

Слово предоставляется учащимся 2 группы, которые должны были найти связь между арифметической прогрессией и физикой.

б) в физике

Задача1.

При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Дано:

     (аn) – арифм.прогрессия

     а1=5, d = 10

Найти: S5 - ?

Решение:

        Ответ: 125 м

Задача 2. (для домашнего решения)

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

Вывод учащихся 2 группы: «Мы пользовались учебниками физики 7-9. Представили вам то, что удалось найти. Этого мало, но даже это малое нас удивило, потому что мы никак не предполагали связи между арифметической прогрессией и физикой».

Следующая группа 3 познакомит нас со своим исследованием. Попытается связать арифметическую прогрессию с медициной.

в) в медицине

Задача 1. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

1. Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

       возрастающая                   убывающая

       арифметическая           арифметическая

       прогрессия                         прогрессия

       а1=5, d=5

    ап=а1+d(n-1),      

   40=5+5(п-1),        

      п=8,                      

   Sп=((a1+aп)n)/2,   S8 =(5+40)·8:2=180,

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Вывод учащихся 3 группы: « Во время подготовки к уроку по заданной теме мы нашли очень много материала о связи медицины и геометрической прогрессии и хотели бы продлить свои исследования в этой области».

Слово предоставляется учащимся 4 группы, которые устанавливали связь арифметической прогрессии и литературы.

г) в литературе

Математика и поэзия… Разве может их что-то связывать? Они такие разные ученый древнего востока Омар Хайям писал сложные труды по математике, а на полях писал стихи. Его знаменитыми рубаи - мы зачитываемся ими до сих пор. Великий русский геометр Н.И.Лобачевский писал стихи. В полной мере можно отнести к нему слова А.С.Пушкина: «Вдохновение  нужно в поэзии, как в геометрии». Писала стихи и женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская, а о математике она говорила так: «Нельзя быть математиком, не будучи в тоже время поэтом в душе». Великий русский поэт М.В.Лермонтов слыл хорошим математиком и шахматистом. Имя великого русского ученого М.В.Ломоносова знакомо всем. Кроме трудов по математике, физике, химии он тоже писал стихи. А автор известной сказки «Алиса в стране чудес» Льюис Кэрролл был профессором математики.

Ребята читают по одному четверостишью.

1 ученик: Отрывок из стихотворения С.В.Ковалевской

Пришлось ли раз вам безучастно

Бесцельно средь толпы гулять

И вдруг какой-то песни страстной

Случайно звуки услыхать?

На вас нежданною волною

Пахнула память прежних лет,

И что-то милое, родное

В душе откликнулось в ответ...

2 ученик: Рубаи Омара Хайяма

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.

Два важных правила запомни для начала:

Ты лучше голодай, чем что попало есть,

И лучше будь один, чем вместе с кем попало...

3 ученик: Отрывок из оды М.В.Ломоносова

Науки юношей питают,

Отраду старым подают,

В счастливой жизни украшают,

В несчастный случай берегут;

В домашних трудностях утеха,

И в дальних странствах не помеха...

4 ученик: Почему сегодня  мы об этом говорим? Потому что сейчас речь пойдет о поэзии.

Вспомним строки из «Евгения Онегина»

…Не мог он ямба от хорея ,

Как мы не бились отличить…

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Ямб «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Ломоносов – самым подходящим размером считал ЯМБ. 80% стихов А.С.Пушкина написаны ямбом.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.

Хорей   «Я пропАл, как звЕрь в загОне»     (Пастернак)

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

Учащиеся 5 группы предлагают путешествие в глубь веков.

д) в истории

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.

         В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

        1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

        Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)

В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

                1+2+3+…+n=½n(n+1);

                1+3+5+…+(2n-1)=n2;

                2+4+6+…+2n=n(n+1).

У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского «Книга об абаке» (1202 г.)

"Книге абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами. Сообщаемый в этой книге материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

Вывод учащихся 5 группы: «Готовясь к уроку, мы много узнали, и хотя это не совсем тема нашего урока, но нам захотелось рассказать это всем, что наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

4. Итоги урока

Итак, мы сегодня говорили о прогрессии, которая называется арифметической, пополнили свои знания, поговорили о применении этих знаний в других областях науки и искусства. Но не забываем, что впереди нас ждет знакомство с другой прогрессией – геометрической, и я надеюсь, что знакомство с ней вас не разочарует.

Записываем домашнее задание:

1. задачи, подготовленные для вас вашими товарищами
2. найти в базе ГИА задачи на арифметическую прогрессию

5. Рефлексия

6. Минута для отдыха

Включается музыка Петра Ильича Чайковского «Полонез» из оперы «Евгений Онегин».

Дорогие, ребята, наш урок закончен. Последнее, что я хотела бы вам сказать, что желающие могут подготовить сообщение на тему: «Связь прогрессии с музыкой»

Выставление оценок можно перенести на другой урок, подведя итоги работы каждого ученика.

Список используемой литературы, материалов сайтов:

1. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.
2. http://ru.wikipedia.org
3. Энциклопедия для детей. – М., Аванта +, 1997.
4. образовательный портал Мой университет -www/moi-universitet.ru  "Факультет реформа образования" www/edu-reforma/ru
5. http://festival.1september.ru/articles/416294/
6. http://festival.1september.ru/articles/508421/
7. http://www.bryanskedu.net/metodik/math/didakt/
8. http://cor.edu.27.ru/dlrstore/9/9cc8ddaf-8699-17cf-a944-aed055d17c62/index2.htm