Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Рекомендации выпускникам

школ и абитуриентам технических вузов

Учитель математики СОШ № 8

 Погорелая О.И.

                                   Содержание.

1. Введение

2. Основные правила

3. Иррациональные  уравнения:

• Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
• Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
• Решение сложных иррациональных уравнений.

4. Иррациональные неравенства:

• Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
• Решение нестандартных иррациональных неравенств.
• Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

5. Вывод

6. Список литературы

I. Введение

Я, Погорелая О.И., составила рекомендации для выпускников  по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение  иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматривают, а на вступительных экзаменах эти задания часто встречаются.

В данной работе показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому мои рекомендации можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также ими можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.  

II. Иррациональные  уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения  стандартного вида  можно решить пользуясь следующим правилом:

    Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение   = x – 2,

Решение.

 = x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4,                                                                        Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0,                                                                       х = 5,       = 5 – 2,

x1 = 5,                                                                                                               3 = 3

x2 = 1 – постор. корень                                                         х =  1,      1 – 2 ,

Ответ: 5                                                                         пост. к.            1 -1.  

б) Решить уравнение   = х + 4,

Решение.

 = х + 4,

Ответ: -1

в) Решить уравнение  х – 1 =

Решение.

 х – 1 =

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

х(х2 – 4х + 4) = 0,

х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,

                                         (х – 2)2 = 0,

                                          х = 2

Ответ: 0; 2.    

г) Решить уравнение  х –  + 4 = 0,

Решение.

х –  + 4 = 0,

х + 4 = ,                                                         Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                          х = 11,            11 –  + 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0,                                                                                       0 = 0

х1 = 11,                                                                     х = 6,               6 –  + 4 = 0,  

х2 = 6.                                                                                                          0 = 0.

Ответ: 6; 11.

            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:

• Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение  =

Решение.

 = ,                                           –                    +               

                                                                                                            x        

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

           или                                                                                                                

Ответ:

б) Решить уравнение  

Решение.

,                                                         –                     +

                    x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

            или                    

Ответ:   .

• Иррациональные  показательные  уравнения:

а) Решить уравнение  

Решение.

             ОДЗ:  

Пусть   = t,   t  > 0

Сделаем  обратную  замену:

 = 1/49,                             или                  = 7,

 = ,                                                      

– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.

Ответ: 3 

б) Решить уравнение    

Решение.

Приведем  все степени к одному основанию  2:

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ:  0,7

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x                                      Проверка:

x                      x = 3,      

4x                                                                           1 = 1.

                                    x = 1,75  
Ответ: 3.

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

 но  , значит:

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение  

Решение.

Пусть  = t,   тогда  = ,   где   t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем  обе  части  в  квадрат

                        Проверка:  x = 2,5      

Ответ:  2,5.

б) Решить  уравнение  

Решение.

Пусть  = t,   значит = ,   где  t > 0

t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16,                                                    Проверка:

x = 8,                                                             x = 2,        

x = 2.                                                                                           6 = 6

Ответ:  2.

в) Решить  уравнение  

Решение.

Пусть   = t,   где   t  > 0

Сделаем обратную замену:

 = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат

                          Проверка:          

                                                               ,          

Ответ: –5; 2.

             Решение сложных  иррациональных уравнений:

• Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:

Решить уравнение  

Решение.

  возведем  обе  части уравнения в  куб

 возведем обе  части  уравнения в  квадрат

Пусть   = t

t 2– 11t + 10 = 0,

Сделаем  обратную  замену:                                             Проверка:

= 10,                          или          = 1,                     x = ,              

x = -пост. корень                                                                          0  

Ответ:   1.                                                                  x = 1,      

                                         1 = 1

• Иррациональные  логарифмические уравнения:

а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

lg(3 = lg,

Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:

Ответ: 32,75

б) Решить  уравнение   

Решение.

Ответ:  ; – 2; 3.

  IV. Иррациональные неравенства

Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит  под  знак  корня (радикала).

Иррациональное  неравенство  вида  равносильно системе неравенств:

Иррациональное  неравенство  вида  равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

          и          

 Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить  неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

                                                                                  +                –                     +      

Ответ:     [1; 2).                                                                                                    1                3                        x 

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:

Ответ:        

в) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:  нет решений     

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:  

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:    

• Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при  умножении и делении:

а) Решить неравенство

Решение.

Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)

Учитывая то, что   и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:  

• Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство  

Решение.

,

 сгруппируем  по  два  слагаемых

 вынесем общий множитель за скобку

 учитывая, что  > 0 и правило знаков при                           умножении  данное неравенство равносильно  системе  неравенств:

Ответ:  ( 0; 1 )

•    Иррациональное   неравенство,   содержащее   два   знака иррациональности:

Решить  неравенство

Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

Ответ:

• Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить  неравенство

Решение.

Пусть  = t, тогда   = ,     t  > 0

Сделаем  обратную  замену:

возведем в  квадрат  обе  части  неравенства

Ответ:

        Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

• Иррациональные  показательные  неравенства:

а) Решить  неравенство

Решение.

,

 т.к.  y = 0,8t  ,  то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,

x2 – 3x – 4 < 0,

f(x) = x2 – 3x – 4,

ОДЗ,                                                          +                  –                 +

Нули функции:  x1 = 4;   x2 = – 1.                                      –1                   4               x

Ответ: х

б) Решить  неравенство  4– 2 < 2– 32

Решение.      

4– 2 < 2– 32,                            ОДЗ:  x > 0

2– 2 2 < 2 24 – 25, выполним  группировку слагаемых

2(2– 2) – 24(2–2) < 0,

(2– 2)  (2– 24) < 0, учитывая  правило  знаков   и  ОДЗ  данное  неравенство равносильно 2-м системам:

                        или                                 

т.к. y = 2t , то                                       т.к. y = 2t , то

Ответ: х

• Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить  неравенство  

Решение.

 уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Ответ:  

V. Вывод

Данные рекомендации помогут выпускникам средней школы научиться решать иррациональные уравнения  и  неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие  знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.    

Примеры  взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпускникам школ  и  абитуриентам  технических  вузов.

VI. Список  литературы

1. Алгебра  и  начала   анализа.   Под  редакцией                        А.Н. Колмогорова
2. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин,  В.П. Норин
3. Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А. Гусев,  А.Г. Мордкович
4. Сборник задач по математике. Под  редакцией              М.И. Сканави
5. Справочный  материал