Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
статья по алгебре (10, 11 класс) на тему

Методы решения иррациональных уравнений и неравенств        

Иррациональные уравнения и неравенства встречаются в заданиях единого государственного экзамена. Задачи на эту темы есть как в первой части, так и во второй.

Разберем несколько примеров.

        Задача 1. Решите уравнение:  

Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень:

Ответ: -10.

        Задача 2. Найдите корень уравнения .  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение. Возведем в квадрат:

Ответ: 8.

Задача 3. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону  , где  м – длина покоящейся ракеты,   км/с – скорость света, а  – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Решение. Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения ,  при заданном значении длины покоящейся ракеты  м и известной величине скорости света  км/с: 

 км/с. Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна  180000 км/с.

Ответ: 180 000.

Задача 4. Решите систему неравенств 

Решение. Решим первое неравенство. 

;

.

1 случай: , тогда  или . 

При этих  выражение  

имеет смысл, поэтому числа 0 и -7 являются решениями неравенства. 
         2 случай: . 

Решаем неравенство 

Получим: ,  или  
Решением первого неравенства системы является:

,   или . 

Решим второе неравенство системы:

;

;

Учитывая, что , получаем: 

.

Решением второго неравенства системы является:  . , поэтому решением системы неравенств является:   или . 

Ответ: , .

Задача5.  При каждом а решите систему уравнений 

Решение. Запишем второе уравнение в виде 

Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек   до точек  и равно . Поскольку расстояние между точками  и  тоже равно , это означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки  и .

Другими словами, она удовлетворяет уравнению   и условию . 

Таким образом, исходная система равносильна системе 

Подставив  в первое уравнение, получаем 

.

Поскольку функция   возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение  — единственное, ему соответствует . 

Ответ: если , то , при остальных  нет решений. 

Задача 6. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение   имеет более двух корней.

Решение. Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение . 

На промежутке  функция  возрастает.

 Функция  убывает на этом промежутке, поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при . 

При   уравнение  принимает вид  . При   левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При  это уравнение сводится к квадратному уравнению

дискриминант которого,

 ,

поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня. 

Пусть уравнение имеет два корня, 

 и  .

Тогда меньший корень  всегда меньше , а больший корень  не превосходит , если , то есть при  . 

По теореме Виета: 

поэтому знаки корней  и  зависят от знаков выражений  и .

Значит, при  оба корня отрицательны, при   один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при  оба корня неотрицательны. 

Таким образом, при  уравнение  не имеет корней при  и , имеет один корень при   и , имеет два корня при . 

Итак, уравнение  имеет следующее количество корней: 

• нет корней при ; 
• один корень при  и ; 
• два корня   и ;
• три корня при . 

Ответ: .