Введение в комбинаторику и теорию вероятностей
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Предисловие

       Тема  «Теория вероятностей»  начинает занимать в школьной программе все большее место. Это связано с тем, что понятия вероятности и статистики очень широко встречаются в жизни. Поэтому они изучаются на таких специальностях, как физика, биология, экономика, социология, на всех инженерных специальностях.  И если раньше с теорией и практическими задачами по теории вероятностей школьники знакомились лишь на факультативах и в классах с углубленным изучением математики, то теперь все выпускники  9-х и 11-х классов должны справляться  с заданиями по этой теме на ГИА и ЕГЭ. А при продолжении обучения в колледжах и ВУЗах очень многим студентам предстоит изучить большой и сложный курс по теории вероятностей и математической статистике.

        Данное учебное пособие предназначено для школьников     9 – 11 классов. В нем максимально просто и понятно изложены элементарные сведения из комбинаторики и теории вероятностей. Пособие содержит необходимые теоремы и формулы, а также достаточное количество задач, представляющих интерес для учащихся, включая задачи, встречавшиеся на школьных экзаменах.  Важно, что приводятся полные решения всех задач.

       Задачи, приводящие к основным понятиям, выделены жирным шрифтом. Задачи, иллюстрирующие применение формул и теорем, подчеркнуты.    

        Пособие может быть использовано не только учениками, но и студентами для повторения важных начальных знаний по данной теме, учитывая, что большинство рассмотренных задач может предлагаться и в колледжах, и в ВУЗах на занятиях и контрольных работах.  

Задача 16 (о шахматных фигурах).

        Сколькими способами на первой горизонтали шахматной доски можно расставить две ладьи, два коня, два слона, короля и ферзя?

Решение. Всего 8 фигур меняются местами. Запишем какую-нибудь расстановку: К, Л, С, К, Ф, Л, Кр, С.  Ясно, что среди перестановок из 8 элементов будут встречаться одинаковые, т.к. если поменять местами две ладьи, или два слона, то новые комбинации не возникнут. Поэтому Р8 надо разделить на число перестановок двух ладей, двух коней и двух слонов. Получим      = 5040.

Задача 17 (о фруктовых наборах).

В буфете продают фрукты: яблоки, груши, апельсины, персики. Сколько различных наборов из пяти фруктов можно составить?

Решение. Применим следующую систему записи конкретных наборов фруктов. Например:  яб, яб, гр, ап, ап    – 11010110,

                                                    яб,  гр, гр, гр, перс – 10111001,

                                                    ап, ап, ап, ап, ап    -  00111110.

Каждый фрукт обозначается единицей, нули разделяют виды фруктов:     до первого нуля яблоки, между первым и вторым нулями – груши, между вторым и третьим нулями – апельсины, после третьего нуля – персики.

Теперь количество комбинаций из пяти фруктов легко подсчитать – это число перестановок из восьми элементов (пяти единиц и трех нулей). По образцу решения задачи 16  получим:   =  56.

В задаче 16  комбинации отличались только порядком – это перестановки с повторениями.

В задаче 17  комбинации отличались только составом – это сочетания с повторениями.