Урок алгебры в 11 классе по теме: "Решение нестандартных показательных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме
Целью данного урока является систематизация умения решать и выбирать способы решения показательных уравнений; рассмотренте использования свойств функции при решении нестандартных показательных уравнений.
Скачать:
Подписи к слайдам:
х
– 2
х
– 6 =
0
2) 1,5
5х-7
= (
)
х+1
3) 2
.
3
х+1
– 6
.
3
х-1
– 3
х
= 9
4
) (
)
х
= -
5) 2
х²-1
– 3
х²
= 3
х²-1
– 2
х² +2
6) 3
2х+6
= 2
х+3
(3)
(1)
(2)
(6)
(4)
(5)
2
уровень
3
2х² - 1
– 3
(х-1)(х+5)
–
2
.
3
8(х-1
)
= 0
3
2х² - 1
– 3
(х-1)(х+5)
–
2
.
3
8(х-1
)
= 0
/: 3
8(х-1)
3
2х²-1-8(х-1)
– 3
(х-1)(х+5)-8(х-1)
– 2 =0
З
2х²-8х-7
– 3
х²-4х+3
– 2 = 0
3
(2х²-8х+6)-1
- 3
х²-4х+3
+2 =0
3
х²-4х+3
=
t
,
t
3
t
² -
r
– 2 = 0
t
1 = 1;
t
2
= - 2/3 – посторонний корень
3
х²-4х+3
= 1
х²-4х+3
=0
х
1
= 1; х
2
=3
Ответ
: 1:3
“Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”.
Сухомлинский
Какие существуют методы
решения
показательных уравнений
?
1. метод
приведения степеней к одному основанию;
2. метод
вынесения общего множителя за скобки;
3. метод
введения новой переменной;
4. метод
почленного
деления;
5.метод
группировки;
6. графический
метод
.
Самостоятельная работа
1 уровень
12
х
+ (
)
2х
=
13
х
2 уровень
(
)
х
+ (
)
х
= 18
3 уровень
3
2х² - 1
– 3
(х-1)(х+5)
–
2
.
3
8(х-1
)
= 0
12
х
+ (
)
2х
= 13
х
/ : 13
х
0
( 12/13)
х
+ (5/13)
х
= 1
В левой части убывающая функция ( как сумма двух убывающих функций), значит,
х=2
(сделать
проверку
12
1
+ (
)
2
1
=
13
1
)
Ответ:
2
Решение нестандартных
показательных
уравнений
11 класс
“ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.
Я
. А. Каменский
Повторим:
4. Какое
уравнение называется
показательным?
Это уравнение, в котором неизвестные
(иксы) и выражения с ними находятся в
показателях каких-то
степеней.
5.
Каков
общий вид простейшего показательного уравнения?
a
x
=
a
y
6
. Сравните
m
и
n
, если
(
)
m
(
)
n
m
n
)
m
(
)
n
(m
7. Решите
уравнение:
5
sinx
= -
( нет корней)
5
sinx
= 1
( х=
,
n
5
13
18
3
19
1
8
16
12
14
20
10
4
9
15
6
5
13
18
3
19
1
8
16
12
14
20
10
4
9
15
6
Какие четыре
числа
пропущены?
Отдыхаем
Повторим:
1. Какая
функция называется показательной?
Функцию вида
y=a
х
,
где а>0, а
2.
Какими свойствами обладает показательная функция?
3.
Возрастает или убывает данная функция?
y
= (
)
x
возрастает
y
= 16/3
х
убывает
y =
(
)
х
убывает
y =
(
)
х
убывает
1 уровень:
5
2х
–
2
.
5
х
– 15 = 0
0,6
х
.
(25/9)
х²-12
= (27/125)
3
7
х+1
+
3
.
7
х
= 3
х+2
+ 3
х
Домашнее задание
2 уровень:
6
.
4
х
– 13
.
6
х
+
6
.
9
х
= 0
16
х
+ 12
х
=
2
.
9
х
5
2х²-1
–
3
.
5
(х+1)(х+2)
–
2
.
5
6(х+1
)
=0
3 уровень:
4
х
+ (х-13)
.
2
х
-2х+22 = 0
При каких значениях параметра
b
уравнение
9
х
-2(3
b
-2
)
.
3
х
+5
b
² -4
b
= 0 имеет два различных корня?
При каких значениях параметра
a
уравнение
4
х
–(5а-3
)
.
2
х
+ 4а² - 3а = 0 имеет единственное решение?
Решаем
(
)
х
+ (
)
х
= (
)
х
(3
.
5
2sin x- 1
– 2
.
5
sin x-1
– 0,2) = 0
5
х
– 3
х
=16
2
х
+ 3
х
+ 4
х
= 9
х
Решить уравнения
Решаем
5
х
– 3
х
=16
2
х
+ 3
х
+ 4
х
= 9
х
Так как
=
= 1, то
=
Пусть (
)
х
=
t
,
t
, то (
)
х
=
t + 1/t = 18
t
1,2
= 9 ± 4
(
)
х
= 9 + 4
, (
)
х
= 9 - 4
( 9 - 4
)
x
/2
=
( 9 - 4
)
x
/2
= 9 - 4
( 9 - 4
)
x
/2
= ( 9 - 4
)
-1
x
/2 = 1
x
/2 = - 1
x
=2
x
= -2
Ответ
:
-2; 2
3
уровень
(
)
х
+ (
)
х
= 18
Предварительный просмотр:
показательных уравнений
( 2 часа)
Цель урока:
- Образовательная: систематизировать умения решать и выбирать способы решения показательных уравнений; рассмотреть использование свойств функции при решении нестандартных показательных уравнений.
- Развивающая: развивать математическую речь, логические рассуждения при решении показательных уравнений.
- Воспитывающая: воспитывать аккуратность, чувство ответственности, корректность в ведении дискуссии.
Оборудование: карточки с заданиями; презентация к уроку, проектор, экран.
Тип урока: комбинированный урок
Ход урока
- Организационный момент.
- Определение темы и цели урока.
На слайде уравнения
5х – 3х =16 или 2х + 3х + 4х = 9х (Слайд 3)
- Ребята, как решаются эти уравнения? (Учащиеся высказывают свои мнения и предложения).
- Итак, нам недостаточно тех знаний, которые мы ранее изучили. Но как же их все-таки решать? И как можно назвать такие уравнения? Какова же цель нашего урока и его тема?
- Итак, на предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства, решали показательные уравнения. Сегодня мы с вами повторим свойства показательной функции и будем учиться применять их при решении нестандартных показательных уравнений. И тема нашего урока «Решение нестандартных показательных уравнений»
- Фронтальный опрос.
- Какая функция называется показательной? (Слайд 5)
- Какими свойствами обладает показательная функция?
- Возрастает или убывает данная функция?
- y = (
)x ( возрастающая функция, так как
0)
- y = (убывающая функция, так как 0
)
- y = (
)х (убывающая )
- y = (
)х ( убывающая)
- Какое уравнение называется показательным? (Слайд 6)
- Каков общий вид простейшего показательного уравнения?
- Сравните m и n, если
- (
)m
n)
)m
)n (m
- Решите уравнение:
5sinx = - ( нет корней)
- Решите уравнение:
5sinx = 1 ( х= , n
- Сформулируйте теорему о корне. (Слайд 7)
- А сейчас поработаем самостоятельно – за 3-5 минут вы должны решить 5
показательных уравнений. Посмотрите, какой способ решения вы
использовали?
- http://learningapps.org/1119937
- Изучение нового материала
- Каким способом вы решали данные уравнения?
- А какие, вообще, существуют методы решения показательных уравнений? (Слайд 8)
- метод приведения степеней к одному основанию;
- метод вынесения общего множителя за скобки;
- метод введения новой переменной;
- метод почленного деления;
- метод группировки;
- графический метод.
- На столах лежат карточки с уравнениями. Определите, каким методом можем решить каждое из уравнений. (Слайд 9)
1) 4х – 2х – 6 = 0 (3)
2) 1,55х-7 = ()х+1 (1)
3) 2 . 3х+1 – 6 . 3х-1 – 3х = 9 (2)
4) ()х = -
(6)
5) 2х²-1 – 3х² = 3х²-1 – 2х² +2 (4)
6) 32х+6 = 2х+3 (5)
- Какое из уравнений мы знаем, как решать, а какое вам кажется сложным?
- Давайте решим вместе 5 уравнение?
2х²-1 – 3х² = 3х²-1 – 2х² +2
2х²-1 + 2х² +2 = 3х²-1 + 3х²
2х²-1 (1+23)= = 3х²-1 (1+31)
2х²-1 . 9 = 3х²-1 . 4 / : 4 . 3х²-1 0
() х²-1 .
= 1
() х²-1 . (
)2 = 1
() х²-1 . (
)-2 = 1
() х²-3 = 1
Х2 – 3 = 0
Х =
- Физкультпауза (Слайд 10)
- Сейчас мы проведём зарядку для глаз (Звучит спокойная музыка)
Плотно закройте глаза и постарайтесь расслабиться, представьте большой белый экран и кисть, которой вы закрашиваете этот экран в зелёный цвет, красивый зелёный цвет молодой листвы.
А теперь вспомните приятные моменты своей жизни, например, плеск ласкового моря или путешествие на катере по реке, а, может, вы пройдётесь по лесной тропинке, собирая ягоды и грибы.
А теперь откройте глаза интенсивно моргая, сжимая и разжимая глаза.
И, наконец, нарисуйте оценку, которую вы хотите сегодня получить за урок. Нарисовать нужно глазами на доске, на стене, на окне и на потолке.
- Изучение нового материала
(Решаем оставшиеся примеры по группам с разноуровневыми способностями).
1 уровень 2 уровень
4х – 2х – 6 = 0 2 . 3х+1 – 6 . 3х-1 – 3х = 9
2х = t, t 0 3х (2 . 3 – 6 .
– 1) = 9
t2 +t - 2 = 0 3х . 3 = 9
t1 = 1; t2 = - 2 – посторонний корень 3х = 3
2х = 1 х=1
х=0
3 уровень
32х+6 = 2х+3
32(х+3) = 2х+3
9х+3 = 2х+3 / : 2х+3 0
( )х+3 = 1
х= - 3
- Ну а теперь давайте решим уравнение 5х – 3х =16. Каким способом можно это сделать? (Слайд 11)
- Значит, того что мы знаем для решения не достаточно?
Давайте решим это уравнение вместе.
- 5х – 3х =16
5х =16 + 3х /: 3х
( )х = + 1
В начале урока мы выяснили, что f(x) = ( )х возрастающая функция на R, а g(x) = 16/ 3х +1 убывающая функция на R, значит, уравнение (
)х = + 1
имеет единственный корень. Подбором находим, что это число 2, т.е. х=2
Ответ: 2
- (К доске можно вызвать сильного ученика предоставить возможность решить ему следующее уравнение)
2х + 3х + 4х = 9х (Слайд 11)
- Как получить уравнение равносильное данному? ( Выполнить группировку)
2х + 3х = 9х – 4х
2х + 3х = (3х)2 - (2х)2
2х + 3х = (3х – 2х )(3х + 2х)
(2х + 3х) - (3х – 2х )(3х + 2х) =0
(2х + 3х) (1 - 3х + 2х) = 0 /: (2х + 3х)
1 - 3х + 2х = 0
1 + 2х = 3х /: 3х
(1/3)х + (2/3)х = 1
Так как f(x) = (2/3)х и g(x) = (1/3)х убывающие функции на R, то в левой части уравнения убывающая функция (как сумма двух убывающих функций, значит, если уравнение имеет корень, то он единственный). Подбором находим, что х=1 ( 2/3 + 1/3 = 1 – верно)
Ответ: 1
- Как можно еще решить данное уравнение?
2х + 3х + 4х = 9х /: 9х
(2/9)х + (3/9)х + (4/9)х=1
В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма трех убывающих функций), значит, по теореме о корне – уравнение имеет единственный корень и это х=1, а, значит, этот корень имеет и равносильное ему уравнение 2х + 3х + 4х = 9х , т.к. 21 + 31 + 41 = 91 – верно
- (
)х + (
)х = (
)х (Слайд 12)
(У доски решает сильный ученик)
()х + (
)х = (
)х /: (
)х
0
( )х + (
)х = 1
( )х + (
)х = 1
В левой части убывающая функция (как сумма двух убывающих функций ) (это мы выяснили вначале урока), значит, если уравнение имеет корень, то он будет единственным, т.е. х = 2 ( делаем проверку)
Ответ: 2
(3 . 52sin x- 1 – 2 . 5sin x-1 – 0,2) = 0 (Слайд 12)
х
[1;5]
= 0 или 3 . 52sin x- 1 – 2 . 5sin x-1 – 0,2 = 0
3 (5sin x)2 . 5-1 – 2 . 5sin x . 5-1 – 0,2 = 0
х1= 1; х2 = 5 5sin x = t, t
t2 -
t -
= 0/ . 5
3t2 -2t -1 = 0
t1 = 1; t2 = - 1/3 – посторонний корень
5sin x = 1
sin x = 0
х= , n
. Найдем корни, которые принадлежат
[1;5] . 1
5 при n=1, значит, х=
Ответ: 1; 5
- Физкульминутка (Слайд 13)
Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами. В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.
5 | 13 | 18 | 3 |
19 | 1 | 8 | 16 |
12 | 14 | 20 | 10 |
4 | 9 | 15 | 6 |
- Самостоятельная работа по уровням. (Слайд 14 – 16)
1 уровень
12х + ( )2х = 13х / : 13х
0
( 12/13)х + (5/13)х = 1
В левой части убывающая функция ( как сумма двух убывающих функций), значит, х=2 (сделать проверку)
Ответ: 2
2 уровень
32х² - 1 – 3(х-1)(х+5) – 2 . 38(х-1) = 0 /: 38(х-1)
32х²-1-8(х-1) – 3(х-1)(х+5)-8(х-1) – 2 =0
З2х²-8х-7 – 3х²-4х+3 – 2 = 0
3(2х²-8х+6)-1 - 3х²-4х+3 +2 =0
3х²-4х+3 = t, t
3t² - r – 2 = 0
t1 = 1; t2 = - 2/3 – посторонний корень
3х²-4х+3 = 1
х²-4х+3 =0
х1= 1; х2 =3
Ответ: 1:3
3 уровень
( )х + (
)х = 18
Так как =
= 1, то
=
Пусть ( )х = t, t
, то (
)х =
t + 1/t = 18
t1,2 = 9 ± 4
( )х = 9 + 4
, (
)х = 9 - 4
( 9 - 4 )x/2 =
( 9 - 4
)x/2 = 9 - 4
( 9 - 4 )x/2 = ( 9 - 4
)-1 x/2 = 1
x/2 = - 1 x=2
x= -2
Ответ: -2; 2
- Домашняя работа (слайд 17)
Решить уравнения:
1 уровень:
52х – 2 . 5х – 15 = 0
0,6х . (25/9)х²-12 = (27/125)3
7х+1 +3 . 7х = 3х+2 + 3х
2 уровень:
6 . 4х – 13 . 6х + 6 . 9х = 0
16х + 12х = 2 . 9х
52х²-1 – 3 . 5(х+1)(х+2) – 2 . 56(х+1)=0
3 уровень:
4х + (х-13) . 2х -2х+22 = 0
При каких значениях параметра b уравнение
9х -2(3b-2) . 3х +5b² -4b = 0 имеет два различных корня?
При каких значениях параметра a уравнение
4х –(5а-3) . 2х + 4а² - 3а = 0 имеет единственное решение?
- Подведение итогов
Решение самостоятельной работы приведено на слайде.
- Урок хочется закончить словами
“ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.
Я. А. Каменский (Слайд 18)
- Так что вы усвоили нового и прибавили к своему образованию?
- Спасибо всем за работу!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников при решении заданий, содержащих параметры; углу...
Урок в 10 классе по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Урок в 10 классе по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений» ...
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "Решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творчески способностей учеников при решении задач, содержащих параметры, углубле...
Открытый урок в 8 классе по теме: Решение неполных квадратных уравнений
Презнтация для открытого урока в 8 классе по теме: Решение неполных квадратных уравнений....
Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме "Решение задач с помощью систем линейных уравнений"
Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме " Решение задач с помощью систем линейных уравнений"...
Урок алгебры 8 класса на тему «Решение квадратных уравнений различными способами»
Предварительная подготовка: учащиеся должны знать следующие темы: «Квадратное уравнение и его корни», «Неполные квадратные уравнения», «Метод выделения полного квадрата&r...
Конспект урока по алгебре за 10 класс по теме: «Решение систем показательных уравнений и неравенств»
Тип урока: урок закрепления знаний....