Разработки уроков по теме: "Комбинаторика и теория вероятности" для 9 класс
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

9 класс

УМК автор Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра – 9», под редакцией С.А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2011.

Глава V

«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

                          (13 часов)

Основная цель: ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчёта их числа; ввести, понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Урок 1.

  Примеры комбинаторных задач

Цель: повторить и обобщить основные понятия комбинаторики, ввести комбинаторное правило умножения.

Ход урока

I .  Организационный момент.

II . Актуализация знаний:  Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Вспомним примеры таких задач:

1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

    Решение: Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Ответ: 6 комбинаций.

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.

    Решение:

Ответ: 15 чисел.

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром.  Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

     Решение:         КП          КБ           КПр         КК

                             СП           СБ           СПр         СК

                             К-рП       К-рБ      К-рПр      К-рК                   Ответ: 12 вариантов.

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino – соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя  их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.

Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

III. Изучение нового материала.

Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

Примени это правило к каждой из решённых задач.

1-я задача: выбор верхней полосы  -  из 3-х цветов, т.е. n1=3;  средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1.

2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы  два независимых исхода.

IV. Закрепление. Решение задач .

№714. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение.

   Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так.

   Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары:

Б, г; б, к; б, с; б, п (4 пары).

    Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда:

Р, г; р, к; р, с; р, п (4 пары).

 Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 24=8.

 Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.

Ответ: б, г; б, к; б, с; б, п; р, г; р, к; р, с; р, п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.

 №716  Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение.  

   Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А.

   Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила.

    Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д.

    Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД.

     Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС.

    Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).

     Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой  вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12.

Ответ: 12 способов.

   №718. Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

а) 1, 6, 8;        б) 0, 3, 4.

 Решение.  

 а) Выбираем поочерёдно:16, 18, 61, 68, 81, 86. Всего 6 различных чисел.

 б) Выбрать первый 0 мы не можем (число должно быть двузначным), поэтому выбираем на первую позицию только вторую и третью цифры 30, 34, 40, 43. Всего четыре различных двузначных числа.

Ответ: а) 16, 18, 61, 68, 81, 86; б) 30, 34, 40, 43.

№721. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение.

   Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).

   Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами; по правилу произведения всего можно образовать 98=72 пары,  но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов.

Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно.

Ответ: 36 партий.

V. Д/з 715, 717, 723, подготовить устное сообщение из истории комбинаторики. 

№715.   У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Решение.  

И.В.З.            И.З.М.            И.М.П.            И.С.П.         

И.В.М.           И.З.П.            И.М.С.         
И.В.П.            И.З.С

И.В.С.     Ответ: 10 вариантов.

    № 717. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

Решение.  

    Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу будет положено во вторую, т. е. определяя способ заполнения первой вазы, мы одновременно определяем и заполнение второй. Поэтому подсчитаем способы заполнения первой вазы: 1) пусто; 2) одно яблоко; 3) два яблока; 4) три яблока.

    При этом все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы, таковы:

3 и 0; 2 и 1; 1 и 2; 0 и 3.

Ответ: 4 способа.

№723.

   При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение. 

  Порядок не имеет значения: если Иванов пожимает руку Петрову, то и одновременно Петров пожимает руку Иванову, поэтому общее количество рукопожатий (пар) равно .

Ответ: 28 рукопожатий.

VII. Итог.

Урок 2.

Комбинаторные задачи. Перестановки

Цель: закрепить правило умножения при решении комбинаторных задач; повторить другие способы решения задач, провести самостоятельную работу, ввести понятие «перестановка» и решать задачи, решаемые с помощью этой простейшей комбинацией.

I. Организационный момент.

II. Устный счёт.

Вопрос 1: Сколько флагов получится, если для их создания использовать цвета белый, синий, красный, зелёный?

(24)

Вопрос 2: Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?

(120)

Вопрос 3: У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

(15)

Вопрос 4: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5?

(6 )

При решении этих задач мы использовали правило умножения. Напомните его (учащиеся формулируют его). Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

III. Изучение новой темы:

       Сегодня на уроке и на последующих уроках мы пытаемся классифицировать, разбить на типы те комбинации, с которыми вы уже сталкивались при решении задач. Обратимся к последней задаче: в ней даны 3 объекта, нужно  составить из них все возможные комбинации, переставляя их между собой. Такие комбинации называются перестановками из n элементов.

Итак, перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке (т.е. перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов)

Для 3-х элементов (n=3) мы получили 6 перестановок, т.е.

А если объектов 4? (n=4).  То

А если объектов 5? (n=5).  То 5·

А если n?  То  n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.

Это произведение выражает количество перестановок из n элементов и обозначают Pn.

Pn=1·2·3·(n-2)·(n-1)· n.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. 1·2·3·(n-2)·(n-1)· n обозначают n! (читают эн факториал)

Например: 1!=1               2!=1·2=2                  6!=1·2·3·4·5·6=720

Следовательно, число перестановок n предметов равно n!

Примеры разобрать из учебника №1-3 (с177), с комментариями.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что . Значит существует 40 320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.

Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно . Значит, искомое число четырехзначных чисел равно . Получаем =4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Пример 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять а шесть книг. Это можно сделать способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению .

Получаем =6! 4! = 720  24 = 17 280.

IV. Закрепление.       №738(б), №740(б), 741  

№738.  Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

Решение:а)  Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3. Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения равно Р=3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

б) Заметим, сумма данных цифр 3+5+7+9= 24 делится на 3, следовательно,  любое четырёхзначное число, составленное из этих цифр,  делится на 3. Для того чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.

Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трёх местах перед 5 Р=3!=6 различными способами. Столько и будет различных четырёхзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.

Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.

№740.Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких, которые: а) больше 3000;   б) больше 2000?

Решение: а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4.  Фиксируем на первом месте 3, количество чисел равно Р=3!=6.

 Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р=3!=6.

 Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.    

 б) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 2000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 2, 3 или 4. Количество таких чисел равно 6 (фиксирована 2)+6(фиксирована 3)+ (фиксирована 4)=18.  Можно применить метод исключения ненужных вариантов:Р- Р(фиксирована 1) =4!-3!=24-6=18.Ответ: а) 12 чисел; б) 18 чисел. 

 № 741.Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение:

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р=6!=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р= 5!= 120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р=6!=720 Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда  получим ещё Р=6!=720 других комбинаций.

 Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно 720+720=1 440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

V. Обучающая самостоятельная работа:

VI. Д/з №734;№737(б);№738(а);№740(а);№742.

№734.  Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.

№737(б)   Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр:

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:б) Дано 6 цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составить различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что 0 не может стоять на первом месте.

   Можно напрямую применить правило произведения на первое место можно выбрать любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе-любую из пяти оставшихся цифр ( 4 «нулевые» и теперь считаем ноль); на третье место- любую из 4 оставшихся после двух первых выборов цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: 5•5•4•3•2•1=600.

    Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить Р= 6!=720 различными способами. Среди этих способов будут и такие,  в которых на первом месте стоит ноль, что не допустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на первом месте стоит ноль, он (фиксирован), то на последующих пяти местах могут стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество разных способов, которыми можно разместить 5 цифр на пяти местах, равно Р=5!=120, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно120.

   Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: Р- Р=720-120=600.

Ответ: а) 720; б) 600 чисел.

№738(а)  Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

Решение:а)  Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3.

     Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения равно Р=3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

№740(а) Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких, которые: а) больше 3000;   б) больше 2000?

Решение:а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем на первом месте 3, количество чисел равно Р=3!=6.

Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р=3!=6.

Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.    

№742.   В расписании на понедельник шесть уроков: русский язык, алгебра, геометрия, биология, история, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Всего 6 уроков из них два урока должны стоять рядом.

«Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА.

 При каждом варианте «склеивания» получаем Р= 5!= 120 различных вариантов расписания. Общее количество способов составить расписание равно 120+120=240.

Ответ: 240 способов.

VII. Итог.

Урок 3.

Размещения

Цель: ввести понятие «размещение из n элементов по k» вывести формулу, учить её применять к решению задач, формировать умение различать понятия перестановка и размещение.

I. Организационный момент.

II. Устный счёт.

      Вопросы:

1.Что такое перестановка?

2.Чему равно число различных перестановок из n предметов?

3.Что такое факториал натурального числа?

4.Чему равно 1!, 2!, 4!, 5!?

5.Составьте задачу, в которой надо найти число различных перестановок.

(машины на ремонте в автосервисе)

6. Сколько 3-х значных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

(3!=6)

7. Сколько 2-х значных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Есть ли сходство между 6 и 7 задачами?

( в 6-ой: из 3-х элементов по 3 = перестановка из n по n;

в 7-ой: из 3-х элементов по 2 = размещения из n по k)

II. Изучение нового материала.

Мы встретились со случаем, где нужно выбрать из n элементов любые k и расставить их на  k мест. Такие комбинации называются размещениями из n элементов по k и обозначатся .

Итак, размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Для учителя: размещения отличаются друг от друга как составом элементов, выбранных в комбинацию, так и их расположением.

Выведем формулу подсчёта числа размещений:

Как  и для перестановок количество размещений можно найти по правилу умножения: на первое место ставим любой из n имеющихся элементов, на 2-ое – любой из (n-1) оставшихся элементов и т.д. пока не заполнятся все k мест, т.е.

;

Вывод смотрите на странице 181 учебника

III. Примеры. Смотрите стр 181 примеры 1и 2 – рассмотреть самостоятельно.

Пример 1. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем. Итак, мы нашли, что расписание можно составить 3024 способами.

IV. Закрепление. №757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в  эстафете 4x100 м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение.

Выбор из 12 по 4 с учетом порядка:

 способов.

Ответ: 11880 способов

 №762(б) Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8 ?

Решение.

а)  Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:

чисел.

б)  Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноЛЬ.

   Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем  «нулевых»

комбинаций, которые недопустимы.

   Количество четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно:

 чисел.

   Можно рассуждать, непосредственно используя правило произведения: первый выбор - 4 варианта, второй выбор - 4 варианта (включая ноль), третий выбор - 3 варианта, четвертый выбор -

2  варианта. Всего 4*4*3*2= 96 чисел.

Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

V. Обучающая самостоятельная работа

VI. Д/з №755; 759; 763;760в.

№755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно  способов.

Ответ: 870 способов.

№ 759 Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Решение.

Выбираем 6 столов для студентов из 20 имеющихся: порядок выбора учитывается  (кто сидит у окна, кто около преподавателя,

и т. п.):

 способов.

Ответ: 27 907 200 способов.

№763 Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Решение.

Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля).

Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:

544 320 номеров.

Ответ: 544 320 телефонных номеров.

760(в). На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?

Решение.

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

 способов.

Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

Урок 4.

Перестановки и размещения

Цель: дальнейшая отработка решения задач на перемещение и размещение, проверка степени усвоения решения задач.

I. Организационный момент.

II. Устный счёт.

Определите на какое понятие задача: перестановка – размещение?

Вопросы:

1.Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых чисел можно составить, используя эти цифры?

2. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых 3-х значных чисел можно составить, используя эти цифры?

3. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых трёхзначных чисел можно составить, используя эти цифры не более одного раза?

III. Решение задач.

Все вместе: №№734,754   (1 уровень сложности)

№734   Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в театральную кассу?

Решение:

  Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.        

№754   Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение.

   Пронумеруем места в купе (с № I по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

способа.

  Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произведения: для первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго - любое из 3 оставшихся, для третьего - любое из двух оставшихся, всего  способа рассадить семью в купе.

Ответ: 24 способа.

 №743,764б (2 уровень сложности)

№743   Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке?

Решение:

    Буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке, поэтому конструкцию «кон» можно считать одной буквой. Значит нужно найти количество перестановок из трех элементов:

Р= 3! = 6

Ответ: 6 перестановок.

№764(б)  Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов равно

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

№744, 764а (3 уровень сложности)

№744   Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Решение:

    Из 12 элементов 5 элементов можно «склеить» Р= 5!= 120 различными способами.

    Число различных перестановок из 8 элементов (7 элементов + «склейка») равно Р=8!=40 320.

Общее число способов расставить12 книг, из которых 5 книг должны стоять рядом, равно 120•40 320=4 838 400.

Ответ: 4 838 400 способов.

№764(а)  Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов равно

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

IV. Самостоятельная работа

V. Д/з №№733, 761 (1 уровень); 745, 844 (2,3 уровень)

№733  Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение:  Под маршрутом следует понимать порядок посещения курьером учреждений. Пронумеруем учреждения номерами от 1 до 7, тогда маршрут будет представляться последовательностью из 7 цифр, порядок которых может меняться.

   Количество маршрутов равно числу перестановок  из 7 элементов: Р=7!=5 040.

Ответ: 5040 маршрутов

№761 (1 уровень) ). На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение.Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим):

 способов.

Ответ: 7 893 600 способов

 745   Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Решение а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с первого по десятое Р=10!=3 628 800 различными способами.

б) Если мальчики могут сидеть только на нечётных местах, а девочки- только на чётных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками( Р= 5!= 120 вариантов для мальчиков), а девочек с девочками(Р= 5!= 120 вариантов для девочек).

   Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов рассадить детей в этом случае 120•120=14 400.

Ответ: а) 3 628 800 способов; б) 14 400 способов.

№ 844 (2,3 уровень)

Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

А) все они хотят ехать в разных вагонах;

Б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и Харитонов – в других вагонах, причем различных?

Решение:  а) Четыре пассажира могут разместиться в 9 вагонах, если они хотят ехать каждый в разных вагонах, способами. Значит, всего способов  9876 = 3024.

б) Алексеев и Смирнов могут выбрать один из 9 вагонов 9 способами. После этого Федоров и Харитонов могут выбрать по одному из 8 вагонов способами. Так как каждому выбору Алексеева и Смирнова соответствует  выборов Федорова и Харитонова, то всего способов окажется 9, т.е 504.

    Урок 5.

                                           Сочетания.

Цель: ввести понятие «сочетания из n элементов по k», вывести формулу, учить применять её к решению задач, формировать умение различать понятия перестановка, размещение, сочетание.

I. Организационный момент.

II. Устный счёт:

1) Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из всех букв слова

а) автор;                                                                  б) сон.

2) Вывести значение дроби: ;  э

3) Выпиши все делители числа 4!, 6!. Назови несколько делителей.

4) Сколько любых трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя эти цифры в записи не более одного раза?

5) Сколько любых двухзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя эти цифры в записи не более одного раза?

6) Сколько любых двухзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя эти цифры в записи не более одного раза и не учитывая порядок их расположения?

Ответ: 13,15,35.

Вопрос: Если сходство и различие в задачах 5 и 6?

Ответ: Различие в том, что ни в одной комбинации

 нет повторяющихся элементов, т.е. порядок не важен.

III. Изучение нового материала. Мы встретились со случаем, когда в комбинации порядок расположения элементов не важен. Такой тип комбинаций называется сочетанием из n элементов по k и обозначается С.

Итак, сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов ( без учета их порядка в комбинации), выбранных из данных n элементов.

Чтобы найти общее количество сочетаний будем рассуждать так: чем отличаются друг от друга размещения? Составом выбранных элементов и их порядком. Чем отличаются друг от друга сочетания? Только составом, т.е. каждому сочетанию соответствует ровно k! Размещений с тем же составом, поэтому, чтобы найти количество сочетаний, надо поделить количество размещений Ана k! При подсчёте размещений мы считали каждое сочетание k! Раз.

Следовательно, С;  С;

Примеры: смотри стр 184 задания №1 и№2.

Пример1. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Имеем

. Следовательно, 3 краски можно выбрать 455 способами.

Пример 2. В классе учатся 12 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Выбрать трех мальчиков из 12 можно способами, а двух девочек из 10 можно выбрать   способами. Сделать выбор учащихся можно

=  способами .Выбор учащихся можно сделать 9900 способами.

IV. Закрепление.    

№769 В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение.

Выбор из 8 по 3 без учета порядка:

 56 способов.

Ответ: 56 способов.

 №772а   Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение.

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:

 = 210 способов.

б) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников:

 = 252 способа.

Ответ: а) 210 способов; б) 252 способа.

№774   Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляра и  2 плотника. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

   Выбрать 4 маляра из 12 можно  способами, а 2 плотников из 5 -  способами. Так как при каждом выборе маляра можно выбрать плотника способами, то сделать выбор рабочих, о котором говориться в задаче можно * способами.

Имеем *= способов.

Ответ: способов

V. Самостоятельная работа .

Найти ; С; С; С( выполняется самостоятельно с последующей проверкой).

VI. Д/з №771, 772б, 775.

№771   На плоскости отмечено восемь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

Решение:Через любые две точки можно провести прямую. Т. к. никакие из восьми точек не лежат на одной прямой, то через каждую пару точек можно провести одну прямую, т.е количество искомых прямых равно

 прямых.

Ответ:  прямых.

№772(б )Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение.

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:

 = 210 способов.

б) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников:

 = 252 способа. Ответ: а) 210 способов; б) 252 способа.

№ 775.В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение.

  Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( способов) и 2 журнала из 4 (способов); порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу произведения равно:

720 способов.

Ответ: 720 способов.VII. Итог урока.

Урок № 6. Самостоятельная работа по теме «Комбинаторика»

Цель: Проверить  знание основных определений и формул по теме. Умение находить число сочетаний из n элементов по k. Решать простейшие комбинаторные задачи.

Тест.

Ответы:

V. Самостоятельная работа .

                                                 Урок 7.

Решение задач по теме: «Сочетания»

Цель: закрепление теоретических знаний при решении задач.

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания: №№771, 772б, 775.

III. Основная часть. Учитель вправе выбрать для себя любой набор задач в зависимости от уровня подготовленности учащихся.

Задача 1. Сколько существует способов выбора троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой?

Решение: количество сочетаний из4 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно

С.

Можно рассуждать так: будем выбирать не троих дежурных, а того одного, который не будет дежурить, а остальных отправим на дежурство. Количество способов выбрать одного из четверых ребят равно 4.

Ответ: 4 способа.

Задача 2. Учебник №773.   На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

Решение.

Выбираем 3 книги из 12.

а) Словарь выбирается; нужно выбрать еще 2 книги из 11:

55 способов.

б) Словарь не выбирается; выбираем 3 книги из 11:

165 способов.

Ответ: а) 55 способов; б) 165 способов.

Задача 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего Сспособов) и 3 девочек из 12 (всего Сспособов). Порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправны). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов выбору равно:

С.

Ответ: 400400 способов.

Задача 4. На плоскости отметили точку. Из неё провели 9 лучей. Сколько получилось при этом углов?

Решение: Каждые 2 луча, исходящие из одной точки, образуют угол α (α≤π). Из 9 лучей можно образовать Спар (порядок не имеет значения), поэтому общее количество углов равно

Ответ: 36 углов.

Задача 5. На плоскости отметили несколько точек, никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько точек было отмечено, если всего было проведено 28 прямых?

Решение: Через каждые две точки из n отмеченных можно провести одну прямую, поэтому количество прямых равно количеству пар точек, которые можно составить из n отмеченных (порядок не имеет значения).

, но , тогда ,

n2-n-56=0;

n1=-7; n2=8; n1 – не удовлетворяет

Ответ: 8 точек.

Задача 6. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем.

Решение:

а) число рукопожатий равно числу различных пар из n элементов без учёта порядка выбора, поэтому                                                                            60≤≤70

60≤≤70

120≤n2-n≤140

n=12 (подбором)

б) Если один человек не здоровался ни с кем, то пары образовались из n-1 элемента, т.е.

60≤≤70

120≤(n-1)·(n-2)≤140, т.к.12·11=132, то n=13.

IV. Д/з №№774, 778,781.

№774   Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляра и  2 плотника. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

   Выбрать 4 маляра из 12 можно  способами, а 2 плотников из 5 -  способами. Так как при каждом выборе маляра можно выбрать плотника способами, то сделать выбор рабочих, о котором говориться в задаче можно * способами.

Имеем *= способов.

Ответ: способов

№ 778   Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров - остаться?

Решение.

Выбираем три элемента из 12; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а)  Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: =10.

б) Иванов и Петров не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 10 солдат;  количество способов:

 = 120 способов.

в)  Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

 = 45.

Ответ: а) 10 способов; б) 120 способов; в) 45 способов.

№781   Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из их класса двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?

Решение:

Обозначим число учеников в классе х (х- натуральное число). Тогда двух дежурных можно выбрать ==378

x(x-1)=378*2

D=3025

 .

Учитывая введенное ограничение на х, получаем х = 28.

Ответ: 28 учащихся.

Урок №9.

Относительная частота случайного события.

Цель: анализ лабораторной работы, домашнего эксперимента из №789, №790, №792, выводы. Введение понятия – «вероятность случайного события».

Ход урока.

1.Анализ лабораторной работы.

2.Проверка домашнего задания:

№789.Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, состоящих из 6 букв. Найдите относительную частоту появления слов, которые составлены из 6 букв.( 10:150)

№790.Выберите 7 строк произвольного текста. Проведя подсчет букв, найдите относительную частоту появления буквы: а) «о»; б) «е»; в) «а»; г) «ю».

№ 792. Проделайте дома такой опыт: подбросьте 50 раз монету достоинством 1 рубль и подсчитайте, сколько раз выпадает орел. Запишите результаты в тетрадь. В классе подсчитайте, сколько всеми учениками проведено опытов и каково общее число выпадения орла. Вычислите относительную частоту выпадения орла при бросании монеты.

Вывод (обобщение):

При небольшом числе испытаний выпадение, например, орла может, произойти чаще, чем выпадение решки. Однако если эти испытания проводятся большое количество раз, то относительная частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки. Многие исследователи проводили испытания с бросанием монеты и вычисляли относительную частоту выпадения орла. Английский ученый К. Пирсон (1857-1936) бросал монет 24000 раз, в этом испытании относительная частота выпадения орла была 0,5005, а наш соотечественник В.И. Романовский (1879-1954), подбрасывая монету 80 640 раз, нашел, что относительная частота выпадения орла в его испытании была равна 0,4923.

Аналогичные опыты проводили и другие ученые. Оказалось, что каждый раз относительная частота выпадения орла незначительно отличается от⅟2. Говорят, что вероятность события «выпал орел при подбрасывании однородной монеты, имеющей правильную геометрическую форму», равна ⅟2.

Вообще  если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близка к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.

Вероятность случайного события оценивают, когда в ходе статистического исследования анализируют относительную частоту наступления этого события при многократном повторении в одних и тех же условиях эксперимента или наблюдения. Так поступают, когда хотят определить ожидаемую всхожесть семян некоторого растения, предсказать результат выступления спортсменов на соревнованиях…

3. Закрепление материала.

№787.В партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 12 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей?

().

№789. В 2006 г. в городе Дмитрове  в июле и августе было 46 солнечных дней. Какова относительная частота солнечных дней в указанные два месяца? (В июле и августе 31 + 31 = 62 (дня), относительная частота солнечных дней равна ).

№791.Согласно некоторым исследованиям по изучению вероятности появления различных букв в художественных классических текстах, относительная частота появления буквы «в» равна 0, 038, буквы «м» - 0, 026.

Ниже приведен отрывок из поэмы А.С. Пушкина «Руслан и Людмила»:

                «У лукоморья дуб зеленый;

                Златая цепь на дуде том:

                И днем и ночью кот ученый

                Все ходит по цепи кругом;

                Идет направо – песнь заводит,

                Налево – сказку говорит,

                Там чудеса: там леший бродит,

                Русалка на ветвях сидит.»

Найдите относительную частоту появления в этом тексте: а) буквы «в»; б) буквы «м». Сравните полученные результаты с вышеперечисленными данными.

     ( Всего букв в тексте – 164; буква «в» -7 раз, буква «м» -5 раз; Относительная частота буквы

 «б» равна  7:164  0,043;  Относительная частота буквы «м» равна 5: 164 0, 030.

№793. Отмечая число попаданий в цель в каждой серии из 50 выстрелов, которые производил стрелок, получили такие данные:

Какова относительная частота попаданий в цель этим стрелком в каждой серии выстрелов? Какое предложение о вероятности попадания в цель для этого стрелка можно сделать? (Вероятность попадания в цель для этого стрелка близка к 0,8.)

4. Итог урока. Самостоятельно выполняется тест с последующей проверкой.

Тест:

5. Домашнее задание. №794; №795;№856; №857.

Урок №10. Вероятность равновозможных событий.

Цели: ввести понятия событий достоверных, невозможных и случайных; дать классическое определение вероятности, закрепить эти понятия в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока:

1.Устная работа (подготовка к изучению нового материала).

 Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить приближенно вероятность этого события. В тоже время в ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям

На примере  кубика с шестью гранями выяснить исход событий:

1. событие А – выпадает цифра 1,2,3,4,5 или 6;
2. событие Б – выпадает цифра 7,8 или 9;
3. событие С -  выпадает цифра 1.

Событие А обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием. При этом нет оснований считать, что какой - нибудь из исходов более возможен, чем остальные. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятным исходом для этого события.

Событие В  никогда не наступит. Это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Событие С  может наступить или не наступить, точно сказать нельзя. Событие, которое в данном опыте может  как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

2.Изучение нового материала.(Лекция)

1)Рассмотрим событие В, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратного 3. Это событие происходит лиш при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков, т.е. для события В благоприятными являются два исхода из шести равновозможных исходов.

Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в рассматриваемом примере равно . Это отношение считают вероятностью события В и пишут:

Р(В) =. Обозначение Р происходит от французского слова prоbabilite, что означает, «вероятность».

Определение: Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

В отличии от статистического подхода к вычислению вероятности такой подход называется классическим. Статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

2. Вероятность достоверного события считается равной 1. Вероятность невозможного события считается равной 0.

3. Классическая вероятностная схема (алгоритм). Этот способ применим только в тех случаях, когда все исходы некоторого испытания равновозможные.

Для нахождения вероятности случайного события А  при приведении некоторого испытания следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2) найти количество N(A)  тех исходов испытания, в которых наступает событие А;

3) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: P(A).

Формула нахождения вероятности события А:  .

3. Отработка навыка решения задач.

1.Рассмотрим решение примера. Из цифр 1, 5, 9 случайным образом составляют трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что получится число: а) больше 500; б) квадратный корень из которого не больше 24; в) кратно 3; г) кратное девяти?

Решение: а) 159, 195, 519, 591, 915, 951 – возможные числа. 159<500 и 195<500, а все остальные числа больше 500 (их 4 из 6), т.е. эти числа составляют   общего числа исходов.  Следовательно, искомая вероятность равна.

б) Так как , то квадратные корни из чисел 159, 195, 519 меньше 24, значит, нужные нам числа составляют, половину общего числа исходов, т.е. искомая вероятность .

в) Сумма цифр значит каждое из шести чисел кратно 3, т.е. искомая вероятность равна 1.

г) Сумма цифр  не кратна 9. Следовательно, из шести чисел нет кратных девяти, то искомая вероятность равна 0

2)Рассмотрим пример. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; б) не оранжевой; в) окрашенной; г) неокрашенной?

Решение:

а) ;

 б) ;

в) ;

г) .

3) Из цифр 4, 6, 7 случайным образом составляют трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того что получится: а) наибольшее из всех таких чисел; б) число у которого вторая цифра 7; в) число заканчивающееся на 6; г) число кратное 5?

Ответы: а)  б) в) г) 0.

4) Монету подбрасывают три раза Какова вероятность того, что: а) в последний раз выпадет «решка»; б) ни разу не выпадет «орёл»; в) число выпадений «орла» в два раза больше числа выпадений «решки»; г)  при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?

Решение: составим дерево вариантов.

                           О                                                  Р

                    О                      Р                        О                             Р

             О           Р         О            Р       О             Р               О           Р

          ООО     ООР    ОРО       ОРР    РОО      РОР           РРО       РРР

а) ; б) в) г) .

4) Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: а) оканчивается 0; б) состоит из одинаковых цифр; в) больше 27 и меньше 46; г) не является кубом другого целого числа.

Решение: Общее число двузначных чисел: а)  б)  в) г) ,  ,

5) Из четырёх тузов случайным образом поочерёдно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы чёрной масти; б) вторая карта – пиковый туз; в) первая карта – туз красной масти; г) среди выбранных карт есть бубновый туз?

Ответы:  . а) б) в) г)

4 Подведение итогов.

Оцениваются знания учащихся..

5.Домашнее задание:

1) Имеются четыре кандидата:  Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович и Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что: а) будет выбран Владимир Венедиктович; б) отца одного из кандидатов, зовут также как и самого кандидата; в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами; г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Решение: общее число возможных исходов при выборе двух кандидатов из четырех: . а) б)  в) г)  (12-2=10, 2 исхода с одинаковыми отчествами).

2) Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что: а) его цифры различаются больше чем на 8; б) его цифры различаются больше чем на 7; в) при перестановке цифр местами двузначное число меньше исходного; г) оно ближе к 27, чем к 72?

Решение: Общее число двузначных чисел равно .

а) такие цифры только 9 и 0, т.е. число 90. Следовательно,  вероятность равна .

б) такие цифры только 0, 9, 8, 1, т.е. числа 90, 80, 91, 19. Следовательно, вероятность равна .

в) в первом десятке нет таких чисел, во втором – одно число, в третьем  - 2 числа, в четвёртом – 3 числа, …, в девятом – 8. Следовательно, этих чисел будет 36. Т.е. вероятность равна

г) .

3) Найдите вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) четвёрка; б) чётное число очков; в) число очков больше четырёх, г) число очков, не кратное трём?

Решение: а) ; б) в) г)

Урок №11. Вероятность противоположного события.

Цели: Ввести определение противоположного события, изучить теорему нахождения вероятности противоположного события; ввести определение несовместимых событий,; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить выборочно по тетрадям нескольких учеников выполнение ими домашнего задания.

2. Решить на доске задачи из домашней работы, вызвавшие затруднения у учащихся.

3. Теоретический опрос: (приведите свои примеры)

- Какие события называются: а) достоверными; б) случайными; в) невозможными?

- Чему равна вероятность достоверного, невозможного события?

- Дайте классическое определение вероятности.

II. Изучение нового материала.

1. Теория вероятности возникла в 17 веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому,  что первые примеры, что мы изучали, носят игровой характер.

2. Определение 1. Событие В называют противоположным событию А и обозначают , если событие В происходит, тогда и только тогда, когда не происходит событие А

Для нахождения вероятности противоположного события следует и единицы вычесть вероятность самого события: .

Довольно часто удобно использовать симметричную формулу .  Это бывает в тех случаях, когда подсчитать вероятность противоположного события проще, чем найти вероятность самого события.

Рассмотрим решение примера.  Какова вероятность того, что при трёх последовательных бросаниях игрального кубика хотя бы один раз выпадет 6?

Решение: При одном бросании кубика выпадут 1, 2, 3, 4,5 или 6. При втором и третьем бросании возможны те же результаты, т.е. для трёх бросаний по правилу умножения имеем  исходов.

А – выпадение хотя бы одно шестёрки,  - шестёрка не выпадет вообще ни разу. Но тогда все три раза на кубике выпадет одна из пяти цифр, т.е.  Следовательно, . .

III. Закрепление изученного материала.

Решение задач:

1) Игральный кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что:      а) среди выпавших чисел есть хотя  бы одна единица; б)  сумма выпавших чисел не больше 3; в) сумма выпавших чисел меньше 11; г) произведение выпавших чисел меньше 27.

Решение: Общее число возможных исходов при бросании кубика равно     .  

а)  исходов в которых нет ни одной единицы, всего . Следовательно, ;

б)  исходов в которых сумма выпавших чисел не больше 3, всего три ( это 1-1, 1-2, 2-1 ), поэтому , ;

в) исходов в которых сумма выпавших чисел меньше 11, всего  ( т. к.  исходов в которых сумма чисел не меньше 11, три, т. е. 5-6, 6-5, 6-6)

г) исходов в которых произведение чисел не меньше 27, всего 3 (это 5-6, 6-5, 6-6) Поэтому , .

2) Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка . Найдите вероятность того, что: а) оно не оканчивается нулём; б) среди его цифр есть хотя бы одна большая двух; в) оно не является квадратом другого целого числа; г) сумма его цифр меньше 17.

Решение: Промежуток  содержит 100 целых чисел. N=100, выбор любого из этих чисел равновозможен.

Рассмотрим события:

А – « Выбранное число не оканчивается нулём»

В – « среди цифр выбранного числа, есть хотя бы одна цифра большая двух»

С – « выбранное число  не является квадратом другого целого числа»

D – «сумма  цифр выбранного числа меньше 17».

Количество благоприятных исходов для каждого их этих событий подсчитаем, исключив «ненужные» варианты.

Количество чисел оканчивающихся нулём  равно. .

Количество чисел, составленных только из цифр не больше 2 (0;1;2)  равна 9 (100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122) на этом промежутке.

Количество чисел, являющихся квадратом целого числа, подсчитаем непосредственно: 100, 121, 144, 169, 196 – всего 5 чисел, поэтому .

Количество чисел, сумма цифр которых не меньше 17, будет 100 .

Теперь вычисляем искомые вероятности.

1 способ

; ,

; .

2 способ

; ; ; 

IV. Подведение итогов.

Оцениваются знания учащихся.

Домашнее задание:

1) Событие А – « на игральной кости выпало меньше 5 очков». Что означает событие ? Выразите значение в процентах.

Решение:  - « на игральной кости выпало не менее 5 очков».

2) Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число не  15?

Решение: А - « названо число 15», - « названо число не 15. ,

3) В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный; 2) невыигрышный.

Решение: Общее число билетов , приобретение каждого из них равновозможно.

Рассмотрим события: А – приобретённый билет выигрышный,  ; В – « приобретённый билет не выигрышный». Событие В есть событие, противоположное А. Его вероятность будет равна .

4)  В кооперативном доме 93 квартиры, из которых три находится на первом этаже, а 6 на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или последнем этаже?

Решение: Общее число равновозможных исходов  . Событие А – « жильцу досталась квартира на первом или на последнем этаже»  .   - жильцу  не досталась квартира на первом или на последнем этаже».  .

Урок №12.

             Случайные события и их вероятность

Цели: Обобщить знания учащихся, полученные при изучении темы; совершенствовать умения и навыки решения задач по данной теме.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос.

- Какое событие называют противоположным данному?

- Как найти вероятность противоположного события?

Проверка домашней работы.

Два ученика во время теоретического опроса оформляют решение домашних задач.

III. Самостоятельная работа проверочного характера.

IV. Решение задач.

В коробке находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4 и 5. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что сумма номеров на них: а) не равна 3; б) не равна 5?

Решение: Исходами являются все возможные пары шаров: , N=10.

Порядок в выборке значений не имеет. Рассмотрим события.

А – « сумма номеров на вынутых шарах равна 3»;

В – « сумма номеров на вынутых шарах равна 5».

Количество благоприятных исходов найдём непосредственно подсчётом вариантов.

1+2=2+1 – единственный вариант, так как порядок выбора значений не имеет, N(A)=1.

1+4=3+2 – два исхода.

Противоположные события:

 – « сумма номеров на вынутых шарах не равна 3»;

– « сумма номеров на вынутых шарах не равна 5».

V. Подведение итогов.

Оцениваются знания учащихся.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе

Урок №13.  Контрольная работа по теме: «Случайные события и их вероятность»

                                                   Комбинаторные задачи.

                                                                         Способы решения.

Дерево вариантов                  Таблица                               Шифровка                       Формулы                                Правило умножения (N=)

                                                                                                  Виды задач.                            

                                                   Комбинаторные задачи.

                                                                         Способы решения.

Дерево вариантов                  Таблица                               Шифровка                       Формулы                                Правило умножения (N=)

                                                                                                      Виды задач.                            

Теория вероятности. ГИА. 9 класс.

Часть 1.

Часть 2.