Урок "Арифметическая прогрессия"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Урок по алгебре в 9 классе.

Тема   урока  «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ».

Цель урока:

• Сформировать понятие арифметической прогрессии, формулы   n-го члена арифметической прогрессии; сформировать начальные умения применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.
• Воспитывать мировоззрение учащихся с помощью рассказа о связи изучаемой темы с жизнью человека;  воспитывать аккуратность при выполнении записей в тетрадях.
• Развивать у учащихся умение сравнивать, обобщать; развивать математическую речь учащихся; развивать умение переносить знания и умения в новые ситуации.

Ход урока.

1. Устная работа, актуализация знаний.

• Какой член последовательности (an )  следует за a13, an , an+2 , an-3?
• Какой член последовательности (an) предшествует члену a13 , an , an+6 , an-5
• Перечислите члены последовательности (хn) расположенные между х13 и х16, хn и хn+4,  хn-3 и хn, хn-2 и хn+2.
• В последовательности (хn):  2; 0; -2; -4;…  назовите первый, второй, пятый, шестой члены.
• Последовательность (yn)   задана формулой n–го члена n =5 n +1. Найдите y1 , y4 , y20 , y100  , yk  , yk+2   .
• Найдите второй, пятый, двадцатый члены последовательности (an), заданной формулой:  а) an =2 n -1;  б) an = n2 -3; в)  an  =(-1)n.
•  Последовательность задана формулой an =15  – 3 n. Найдите номер члена последовательности, равного 6; 0.
• Последовательность задана формулой an =2 – 3 n.  Является ли членом этой последовательности число -12;  3.
• Перечислите первые пять членов последовательности (сn), если                                                          а) с1=8   сn+1=сn-1;              б) с1=64    сn+1=0.5*сn.
• Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10; 3 и 5; 2, 3 и 7.

2. Объяснение нового материала.

Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи:

1). Ване  мама за хорошее окончание учебного года дала 1000 рублей. В первую неделю  он истратил 100 рублей, а в  каждую следующую неделю он тратил на 50 рублей больше, чем в предыдущий неделю. Сколько рублей  он истратил за второй месяц? За третий? За восьмой? За десятый?  (100; 150; 200; 250;…).

Как  получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? Десятый? (Прибавлением к предыдущему члену числа 50).

2). Мастерская изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 8 изделий больше, чем в предыдущий месяц. Сколько изделий изготовила мастерская в феврале? В  марте? В августе? В декабре?  (80; 88; 96; 104;…).

Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? Десятый?  (Прибавлением к предыдущему члену числа 8).

3).  Тело  в первую секунду  движения прошло 25 м, а за каждую   следующую секунду – на три метра меньше, чем за предыдущую секунду. Какое расстояние прошло тело за 2-у, 3-ю, 8-ую, 10-ую секунду?  (25; 22; 19; 16;…).

Как получается второй член последовательности? Третий? Четвёртый? Восьмой? Десятый?  (Прибавление к предыдущему числа (-3)).

       Что общего можно заметить у данных последовательностей? Каким образом образовывались члены данных  последовательностей?  (К предыдущему члену  прибавляли одно и тоже число.)

Выписанные последовательности называются арифметическими прогрессиями.

 Сформулируем определение арифметической прогрессии.  (Определение даётся с помощью учеников.)

Задайте последовательности рекуррентным способом:  a1 =100,  an+1 =  an  +50;        a1 =80,  an+1 = an  +8;  a1 =25, an+1 = an -3.

Таким образом, (an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального  выполняется условие   a1  = a, a2  = a1 + d , где  d – некоторое число. d называется разностью арифметической прогрессии.

Как найти разность арифметической прогрессии?  d = an+1 - an .

Что требуется указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?   (a1 и d ).

Приведите примеры:

Но рекуррентное задание последовательности не очень удобно. Объясните почему?

То есть необходимо получить формулу n –ого члена арифметической прогрессии.

a1  =   a + d

a2  =  a1 + d

a3  =  a2 + d

a4  =  a3 + d             (n-1)  равенство.    Сложим эти равенства.     Одинаковые    (слева

             …………….                              и       справа)        взаимно уничтожатся. Получим            

an-1  =  an-2 + d                               an  =  a1 + (n-1) d.

an  =  an-1 + d

3. Первичное закрепление: а)  контрольные вопросы;

                                                 б)  решение задач.

а).  Контрольные вопросы.

1. Найдите разность арифметической прогрессии  , если       а) (хn): 1; 2; 3; …;              б) (yn): -2; -4; …;      в) (an) : 7; 7;…

2.  В  арифметической прогрессии  (an)   известны  an =-2 и d =3.  Найдите (a4;  a6;  an;   an;   an;  an.

Почему арифметическая прогрессия получила такое название?

Запишите в порядке возрастание числа       2; 6; 10: 14; 18; 22; 26; 30;…

   Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Почему?

Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10.  Что получили? Проверьте, выполняется ли данная закономерность для любой тройки этой последовательности.

Сформулируйте свойство членов арифметической прогрессии (любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего).

Докажите, что если (an)  – арифметическая прогрессия, an =                      .

Сформулируйте обратное  утверждение.

(Если некоторая последовательность такова, что любой её член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего, то эта последовательность – арифметическая прогрессия.)

б). Решение задач: №343(а,),  №344 (устно),  №345(а),   №347(а),  №350.

4.  Домашнее задание:  №№ 343(в), 346, 348, на повторение – № 342.

5.  Итог урока.

- Что нового узнали сегодня на уроке?

- Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.

-  Как найти разность арифметической прогрессии?

- Чему равен   n-ый  член  арифметической прогрессии?

-  Сформулировать характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

- В каких случаях в вашей жизни можно применить знания, полученные на уроке?