Решение трансцендентных неравенств
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс) на тему

Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

(трансцендентные неравенства)

При подготовке к ЕГЭ по математике преподавателям и старшеклассникам будет полезен предлагаемый подход при решении некоторых логарифмических неравенств, содержащих неизвестную величину в основании логарифма.

1 задание. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:       x > 0                      

                 х

                 х                                 X принадлежит (0; 0.1) U (0.1; 1) U (1; )

                 10x+3 > 0

                 3x+10 > 0

Произведение 2 множителей неотрицательно, если они одного знака или = 0

    I.         

Или

   II. 

Решим  I систему неравенств:

а)                                                  

     0 < x <  1                                                                              х > 1

     10x+3                            или                                         10х + 3 ≥ 1

     0 < x < 1                                                                               х > 1  

     х                                                                            х ≥ - 0,2

Ответ: нет решения                                                       Ответ: х > 1

б) ≥

    0 < 10x <  1                                или                                      10 х > 1                                                    

    3х + 10  1                                                                          х ≥ -3                                        

    0 <10 x <  1                                                                           Ответ: х > 0,1

    х  -3                                              

Ответ: нет решения        

Значит решение системы I: х принадлежит ( 1; +)  

Рассмотрим решение системы II:

а)  

0 < x <  1                                 0 < x <  1                                

10х + 3 ≥ 1                              х ≥ -0,2 ; х принадлежит (0; 1)

х  > 1                                         х  > 1                                          

10х + 3 ≤ 1                                х ≤ -0,2 ; нет решения      

б)    ≤

0 < 10х < 1                              0 < x <  0,1                                

3х + 10 ≥ 1                              х ≥ 0,3 ; х принадлежит ( 0; 0,1)

10х >1                                      х > 0,1

3х +10 ≤ 1                               х ≤ -3 нет решения                 

Таким образом решение системы II: х принадлежит (0; 0,1)

Решение неравенства   с учетом ОДЗ:

 х принадлежит (0;0,1) U (1; + )                                

 Рассмотрим и докажем следующее утверждение, которое поможет сделать решение неравенства  рациональнее.

Пусть а(x) > 0, а(x)  1, f(x) > 0

Тогда знаки выражений  и (a(x) – 1)(f(x) – 1) совпадают на ОДЗ.

Доказательство.

Пусть

1. Если  0 < a(x) < 1, то 0 < f(x) < 1

Значит (a(x) – 1) < 0; (f(x) – 1)

Поэтому (a(x) – 1)(f(x) – 1) > 0

2. Если a(x) > 1, то f(x) >1

(a(x) – 1) > 0; (f(x) – 1) > 0

Тогда (a(x) – 1)(f(x) – 1) > 0.

С помощью доказанного утверждения приходим к неравенству:

(x-1)(10x+3-1)(10x-1)(3x+10-1)

(x-1)(10x+2)(10x-1)(3x+9)

     +          -           +            -                       +

          -3      -0.2        0.1          1                                 X

X принадлежит (-

С учетом О.Д.З.:  х принадлежит (0; 0,1)

ОТВЕТ: (0; 0,1)

2 задание. Решить неравенство: ≥

Решение.

ОДЗ:          5-х                                                х < 5

                    5-х≠1                                                  х ≠ 4

                    -9х+20                                     (х-4)(х-5)

Х принадлежит ( -

≥0

(

Преобразуем неравенство к виду:

(5-х-1)(25-1)(5-10)( - 1) 0

(4-х)(-9х+18)

(4-х)(х-3)(х-6)

           +               -             +               -

                      3              4             6                                х

Х принадлежит (-;3]U[4;6]

С учетом ОДЗ х принадлежит (-; 3]

 Ответ:х принадлежит (-; 3]