Методическая разработка. Наибольшее и наименьшее значение функции
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Методическая разработка.

Нахождение наибольшего и наименьшего     значения функции на отрезке

Содержание.

1.   Методические особенности учебника С.М. Никольского «Алгебра и начала анализа 10-11 класса»
2. Введение.
3. Урок №1. Тема: Максимум и минимум функции.
4. Урок №2. Тема: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
5. Заключение.
6. Литература.

                                                                     Введение.

                                                    В мире не происходит ничего, в чём  бы  не был виден

                                                    Смысл какого-нибудь максимума и минимума.

                                                                                                                                   Л. Эйлер.   

Ничто так не развивает способности человека к аналитическому мышлению, как математика, которую не зря принято называть царицей наук. Знания по этой дисциплине не только помогут ученику дальше развиваться в любой технической специальности , но и попросту найдут свое применение при решении многих жизненно важных задач.

С 2007 года учащиеся 11 класса сдают выпускные экзамены в форме ЕГЭ.  По статистическим данным учащиеся 11 класса не очень хорошо (6%) находят наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Актуальность данного проекта  заключается в том, что с  2010 года учащиеся 11 класса сдают ЕГЭ в новой форме (без тестовой части уровень А),  и одним из заданий является нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, нахождение точки минимума и точки максимума функции, максимум и минимум функции.

Основная цель проекта заключается в рассмотрении экстремумов функции и подробном описании  метода их нахождения.

Данный проект рассчитан для учителей, преподающих в старших классах и готовящих учеников 11 класса к выпускным экзаменам.

Методические особенности учебника   С.М. Никольский и др.

«Алгебра и начала анализа, 11»

                                                  Допущено Министерством образования

Российской Федерации в качестве

методических рекомендаций по использованию

учебников для 10–11 классов при организации

изучения предмета на базовом и профильном

уровнях

Авторы учебников серии «МГУ – школе» исходят из того, что математика едина, что целей обучения математике в нескольких разных профилях можно достичь, имея один учебник, по которому курс математики может изучаться более или менее основательно в зависимости от наличия учебного времени и поставленной цели обучения.

Издания входят в серию «МГУ – школе» и представляют собой новый тип учебников.  Они включают в себя материалы, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углублённым изучением математики.  В целом содержание учебников традиционно, за исключением порядка расположения материала и способов его изложения.  Авторы располагают материал, основываясь на его внутренней логике.  Отдельные темы программы изучаются один раз в полном объеме. Дальнейшее закрепление и повторение материала ведется через систему упражнений. Основной методический принцип учебников заключается в том, что школьник за один раз должен преодолеть не более одной трудности.  Сложность заданий нарастает линейно, при этом на отработку каждого нового приема решения задач дается достаточное количество упражнений. Упражнения рассматриваемой темы не перебиваются упражнениями на другие темы. В учебниках есть задания на повторение и закрепление материала.

Дидактические материалы и различные сборники конкурсных задач должны расширить задачный материал учебника и обеспечить тренинг, необходимый для поступления в вуз и обучения в нем.                                          

В классах с меньшим числом недельных часов на математику, меньшими требованиями к математической подготовке выпускника и другими целями обучения необязательные пункты и необязательные задачи можно исключать из рассмотрения, при этом целостность курса не нарушается, а уменьшается уровень погружения в теоретические тонкости, уменьшается число доказываемых фактов, число технически и идейно сложных задач. Однако учебник позволяет ученику, не имеющему возможности обучаться математике на требуемом уровне, изучить необходимый материал по учебнику самостоятельно или под руководством и при консультировании учителем.

Работать по учебнику можно независимо от того, по каким учебникам велось преподавание до 10 класса, так как в начале года предполагается повторение наиболее важных вопросов программы девятилетней школы. Он включает следующий материал: действительные числа, рациональные уравнения и неравенства, корень степени n, степень положительного числа, логарифмы, простейшие показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические функции, тригонометрические уравнения и неравенства. Учебник для 10 класса охватывает почти весь материал по алгебре и началам анализа, необходимый для поступления в вузы со средним уровнем требований по математике.

Учебник для 11 класса включает все вопросы программы, связанные с исследованием функций и построением их графиков, с производной и первообразной, с уравнениями, неравенствами, их системами. Здесь углубляются знания учащихся по ранее изученным вопросам до уровня, необходимого для поступления в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке школьников.

В учебниках для 10–11 классов содержится весь материал, предусмотренный программой по математике и проектом стандарта для классов с углубленным изучением математики в профильных классах, в том числе материал о комплексных числах, комбинаторике, об элементах теории вероятностей.

Нацеленность учебников на подготовку учащихся к поступлению в вуз подчеркнута тем, что оба эти учебника завершаются разделами «Задания для повторения», в которые включены задания для текущего повторения и некоторые задания из выпускных школьных экзаменов, а также конкурсных экзаменов прошлых лет с указанием вузов, в которых предлагались эти задания.

Тема: Максимум и минимум функции.

Цели: изучить понятие максимума и минимума функции;

            Составить алгоритм нахождения максимального и минимального     значения функции.

Мотивация: на успешность подготовки к ЕГЭ по математике.

                                             Ход урока.

1. Организационный момент.  

Русский математик XIX века Чебышев говорил, что «особенную важность имеют методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды.»

2.  Подготовка к изучению новой темы.

1. При исследовании поведения функции вблизи точки удобно пользоваться понятием окрестности.

Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку.

Определение.  Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)0).

Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если существует  такая окрестность точки х, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство   f(x)> f(x0).

Изучая график можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются какие точки Х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (х=-6; х=2; х=7), или, наоборот убывание сменяется возрастанием (х=-7,5; х=-1,5; х=4). Эти точки называются соответственно точками  максимума хmax=-6  хmax=2  хmax=7 и минимума хmin=-7,5; хmin=2; хmin=7.

  Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наибольшего значения на отрезке называют точкой максимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке.

Точку отрезка [а; в], в которой функция достигает наименьшего значения на отрезке называют точкой минимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке.

 Названия и обозначения максимума и минимума происходит от латинских слов maximum (наибольшее)  minimum ( наименьшее).

2. На рисунке изображён график непрерывной функции на отрезке [а;в]
3. 

2,5 – точка максимума на отрезке [-3;5].

0– точка минимума на отрезке [-3;5].

Для точек максимума и минимума принято общее название. Их называют точками экстремума: хmax и хmin.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимума и минимума функции уmax, ymin.

4. Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [а;в]  и имеющей производную на интервале (а, в).  Важную роль при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, при построении графика играют критические точки.

Определение. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существуют называются критическими точками.

5. Найти критические точки функции

№5.6 а), в), №5.7 а), в).

№5.6 а) у= 2х3-3х2 [-3;3].

                 у ʹ=6х2-6х   у ʹ=0 х= 0, х=1- критические точки

            в) у=3х4+х3+7 [-3;2]

           у ʹ=12х3+3х2    у ʹ=0 х=0, х=-1 –критические точки

         №5.7 а) у=  [-1;1]

                    у ʹ=    у ʹ=0 х=0 производная не существует, следовательно

                                 х=0 критическая точка

        6) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

• Найти критические точки функции на интервале (а, в);
• Вычислить значения функции в найденных точках, принадлежащих интервалу (а, в);
• Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х=а, х=в;
• Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания.

• Если функция у=f(x) на [а; в], имеет точку максимума         (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
• Если функция у=f(x) на [а; в] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3х2+4х3+1 на отрезке  [-2;1] .   (Решает учитель)

fʹʹ(x)=(3х2+4х3+1) ʹ=6х+12х2.    Для любого х ЄR найдем производную f(x)

                                         fʹʹ(x) =0

                                                                           6х+12х2=0

                                                                    Х ( 6+12х)=0

                                                                    Х=0 или 6+12х=0

                                                                                                          Х= -  

Х=0 и х= -  критические точки, принадлежат заданному отрезку.

                                                                                       0Є[-2;1],  -  Є[-2;1],  

Найдем значения функции в заданных точках.  

      f (0)=1

      f(-  =1,25

      f(-2)=-11

      f(1)=8          сравнив значения функций,  выбираем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

max f(x)= f(1) =8          

min f(x)= f(-2)=-11

Ответ : 8,11.

7. Работа с классом. ( Ученики под руководством учителя решают примеры.)

А) Найдите наибольшее значение функции у=2,7е3х-х-4 на отрезке [1;3]

Решение: Найдем производную функции   для любого хЄR

У'=8,1х е3х-х-4(2-х).                                                                                      

 Тогда у'=0 в точках х=0,  х=2, из которых только точка х=2 принадлежит отрезку [1;3]. Следовательно, на этом отрезке функция имеет единственную критическую точку х=2.

Сравнив три числа у(1) =≈0,37    у(2)= 2,7     у(3) ≈0,05    найдем максимум  у=2,7

Б) найдите наименьшее значение функции у=3cosх-5х++9 на отрезке [0].

Решение. Найдем производную функции   для любого хЄR  

             У'=-3sinх -5            тогда      У'=0     -3sinх -5=0  уравнение не имеет решений, следовательно критических точек нет и наименьшее значение

 функция принимает на одном из своих концов. Найдем значение функции на концах отрезка.

У[0]=

У(0)=12.  Следовательно, наименьшее значение равно 12.

В)   Найдите наименьшее значение функции у= 4х-ln|х+8|4  на отрезке [0].

             У'=4-    производная не существует х=-8  , но х=-8 не принадлежит данному промежутку.

Х=-9, х=-7 критические точки х=-9 не  принадлежит данному промежутку.

У(-7)= -28   У(-7,5)=30- ln0,54    у(0)= - ln84

Наименьшее значение равно-28

Г)    № 5.10 а) в)  ( для тех кто работает быстро, за каждый верно выполненный пример ученик получает +, три + «5» в журнал)

       №5.11 а)в)

Домашнее задание 5.6 б), г), №5.7 б),г). № 5.10 б) г) №5.11 б)г)

Найти наибольшее значение функции у= 12 cosх+6х-2+6 на отрезке [0;].

Тема : Максимум и минимум функции.

Цели: закрепить навык нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке путем решения разнообразных задач.                                

                                       Ход урока.

1. Проверка домашнего задания.

1. №5.6  б) f(х) =5х3-15х на отрезке [-2;2]

                 f' (х) =15х2 -15    f(х) =0  х=1 х=-1 критические точки

            г) у=х4-4х2     на отрезке [-4;4]

                у'=4х3 -8х        у'=0  х1=0 х2= х=- критические точки

№ 5.7 б)  у=   на отрезке

                   У'=               у'=0   х=0 производная не существует, следовательно,  х=0 критическая точка

             г) у= 2 -х          на промежутке (0; 2]

                   У'=    у'=0 х=0 производная не существует, следовательно

                                                Х=0 критическая точка.

№ 5.8 б) у=ех-хе на отрезке [-2;2]

                 У'= ех-х     у'=0  ех-е=0

                                              Х=1

             г) у= cos2х +х  на отрезке  [- π; π]

               у'= -2sin 2х+1   у'=0  -2sin 2х+1=0  

                                                       х= (-1)к +к, кЄZ

                                                                     х=   ;   π   ;     Є [- π; π]

№ 5.10 б) у= х3+ 3х  на отрезке [-1;2]

                    У'= 3х2+3  у=0             3х2+3=0

                                                             Критических точек нет , значит функция достигает свое наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка.

У(-1)=-4

У(2)=14      Г) у= х3- 3х  на отрезке [-1;2]

                                 У'=3х2-3               у=0             3х2-3=0

                                             -12-                                                                        

                                             Х=-1   х=1    -1;1    Є  [-1;2]

                      У(-1)=0  у(3)=18  у(1)=-2  у(-2)=-2

Наибольшее значение 18, наименьшее значение -2.

№ 5.11  б)  наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

2. (Два ученика на обратной стороне доски)

Взять производные функций

Cos3х,   ех,    (х-14)ех-13, ln(2х+3), tg2х

  Класс делает в тетрадях и потом проверяем.

3. Повторение.

• Верно ли , что если функция у= f(x) непрерывна на отрезке[а;в] , то существуют  точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение. (да)
• Какую точку отрезка [а;в] называют точкой максимума и минимума функции у= f(x); точкой минимума функции у= f(x).
• Как называются значения функции в этих точках?
• Какие точки отрезка [а;в]  называются критическими точками функции? Как найти эти точки?
•  Как найти максимум и минимум функции на отрезке?

Работа по графику .  

 Указать точки максимума и минимума функции.

Назвать максимум и минимум функции на отрезке.

Работа с классом.

1. Найдите наибольшее значение функции у=-х2 +10х на отрезке [0;7].

( У(0)=0, у(7)=21, у(15)=25)

2. Найдите наименьшее значение функции у=(х-21)ех-20 на отрезке

   [19;21].

       У(19)=     у(20)=-1    у(21)=0

3. Найдите наибольшее значение функции  у= 7 cosх+7х-на отрезке  [0;].

4. У() =16   у(0)= 7-  +9   у(= 

5. Аналогично определяется максимум и минимум функции на интервале и полуинтервале.

                                                                  Хmax=-5,5   ymin=4

                                                                 Хmin- нет, т.к. х=3 не входит в (-5,5;3)

Работа с классом.  ( у доски работает ученик)

Найти наибольшее значение функции у= -2х2  на промежутке (-2;2).

Решение.

У`= х3-4х   у=0   х=0  х=2   х=-2 критические точки , но х=2 и х=-2 не входят в данный промежуток.

Найдем значение функции  у(0)=0,  а  у= (х2-8) 0 при каждом х, таком , что 0х|, то на интервале (-2;2) функция имеет максимум в точке х=0.  На интервале (-2;2) функция не имеет минимума, так как  у=   -2х2   -4при каждом х, таком, что |х|2 и -2 не принадлежат              (-2;2),  следовательно у=0 максимум функции.

Обучающая самостоятельная работа.

1. найдите наибольшее значение функции у=(х-8)ех-7 на отрезке [6;8].
2. найдите наибольшее значение функции у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

           3)  найти наименьшее значение функции            у=х2-3х+lnх+3        на отрезке   [;]

   На задания даётся 15 минут.  С помощью проектора ученики проверяют решение.

Решение.

1.  у=(х-8)ех-7  на отрезке[6;8].

                      у'=ех-7(х-7)   у'=0   х=7 критическая точка

                     у(6)=                у(7)=-1          у(8)=0

                      наибольшее значение функции равно 0

2. у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

у'=7- 6cosх      у'=0   6cosх=7   х= критических точек нет

у(-=14   у(0)=8

наибольшее значение функции равно 8

              3)  у=х2-3х+lnх+3        на отрезке   [;]      ОДЗ: х

у'=2х-3+      у'=0     2х2-3х+1=0

                                       х=1   х=                не принадлежит [;]      

у(1)=1   у()= ln+3      у()= ln +3

 наименьшее значение функции равно1.  

Домашнее задание: рассмотреть из открытого банка заданий -  5 функций. 

                                                                              Заключение.

Основная мотивация данного проекта состоит в успешной подготовке к сдаче ЕГЭ, так как задание на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, нахождение максимума и минимума функции является обязательным в перечне заданий группы В.

Цель проекта:  рассмотрение экстремумов функции и подробном описании метода их нахождения.

Эта  цель достигалась  повторением и закреплением дифферецированием функций, решением уравнений различных видов( тригонометрических, рациональных, логарифмических и др.) , отбором корней на заданном промежутке, сравнением значений функции.

Для достижения этой цели на уроке использовались элементы лекции, самостоятельные работы обучающего характера, диктанты, домашнее задание с проверкой в классе, диагностическая работа с самопроверкой.

По результатам проверки самостоятельной работы, проведенной в 11 классе учащиеся усвоили данный материал ( 49% качества).

Данный проект рассчитан для учителей, преподающих в старших классах и готовящих учеников 11 класса к выпускным экзаменам.

                                                    Литература.

1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни [С.М. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин] – 8-е издание,  дополненное - М.: Просвещение 2014 год -464 стр.
2. Алгебра и начала математического анализа. Книга для учителя. 11 класс: базовый и профильный уровни /М.К.Потапов , А.В.Шевкин.- М.: Просвещение , 2014 год -256 стр.
3. Алгебра и начала математического анализа: дидакт. материалы для 11 кл. : базовый и профильный уровни /М.К.Потапов , А.В.Шевкин.- 2 изд. М.: Просвещение , 2008 год -189 стр.
4. Алгебра и начала анализа : учебн. Для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/(Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.) -15-е изд.- М.: Просвещение, 2007 год 384стр.
5. Алгебра и начала анализа : учебн. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений (А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов, Ю.М.Дудницин и др.; под ред.  А.Н.Колмогорова.- 4-е изд.-М.: Просвещение,1997год-320 стр.
6. Открытый  банк  задач ЕГЭ по математике