Презентация ученицы 10го класса на тему "Решение тригонометрических неравенств"
творческая работа учащихся по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Различные способы решения тригонометрических неравенств Мильтюсова Анна 10 класс

Слайд 2

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ

Слайд 3

Отметить на линии синусов число а. Отметить все синусы, которые больше(меньше) числа а. Выделить на единичной тригонометрической окружности дугу, на которой находятся точки t, удовлетворяющие данному условию. Записать ответ. Если выделенная дуга прошла через 0 , то для записи предельных точек выбирают разное направление(один угол отрицательный, другой – положительный). Если выделенная дуга не прошла через 0 , то для записи предельных точек выбирают одно направление. sin t>(<)a, |a| < 1.

Слайд 4

Отметить на линии косинусов число а. Отметить все косинусы, которые больше(меньше) числа а. Выделить на единичной тригонометрической окружности дугу, на которой находятся точки t, удовлетворяющие данному условию. Записать ответ. Если выделенная дуга прошла через 0 , то для записи предельных точек выбирают разное направление(один угол отрицательный, другой – положительный). Если выделенная дуга не прошла через 0 , то для записи предельных точек выбирают одно направление. cos t >(<)a, |a| < 1.

Слайд 5

Отметить на линии тангенсов число а. Отметить все тангенсы, которые больше(меньше) числа а. Выделить на единичной тригонометрической окружности дугу, на которой находятся точки t, удовлетворяющие данному условию. Записать ответ. Если неравенство имеет вид tg t < a, то решение записывается в виде: - π /2 + π n a , то неравенство имеет решение arctg a+ π n (<) a.

Слайд 6

Отметить на линии котангенсов число а. Отметить все котангенсы, которые больше(меньше) числа а. Выделить на единичной тригонометрической окружности дугу, на которой находятся точки t, удовлетворяющие данному условию. Если ctg t>a, то решением является п n(<) a.

Слайд 7

вида sin x >a (sin x < a) Строим графики y=sin x и y=a , считая, что |a|<1 . Записываем уравнение sin x=a и его решение x=(-1) к arcsin a + п n , n Є Z. Придавая n значения 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: x 0 = arcsin a, x 1 = -arcsin a+ п , x 2 = arcsin a + 2 п. Значения x 0 , x 1 и x 2 являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков y=sin x и y=a. На интервале (х 0 ;х 1 ) выполняется неравенство sin x>a , а на интервале (х 1 ;х 2 ) – неравенство sin x

Слайд 8

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства sin x>a в виде: x 0 + 2 п n

Слайд 9

вида cos x >a ( cos x < a) Проводим аналогичные рассуждения для косинуса. В отличие от синуса из формулы x=±arccos a + 2 п n, n Є Z, при n=0 получаем два корня x 0 = -arccos a, x 1 = arccos a. Третий корень при n=1 в виде x 3 = -arccos a + 2 п. x 0 ,x 1 и x 2 являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков y=cos x и y=a. В интервале (х 0 ;х 1 ) выполняется неравенство cos x>a, в интервале (х 1 ;х 2 ) – неравенство cos x

Слайд 10

Запишем решения неравенств cos x>a и cos x

Слайд 11

Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части(например в правой) стоял ноль. Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел. . Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

Слайд 12

Выбрать произвольное число F (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел. Провести луч Ох 1 под углом F к координатному лучу Ох. На луче Ох 1 получить контрольную точку Х к . Для этого подставить число F в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

Слайд 13

Если выражение больше нуля, то Х к - это произвольная точка луча Ох 1 , лежащая вне единичной окружности. Иначе Х к – это произвольная точка луча Ох 1 внутри единичной окружности.

Слайд 14

Начиная с точки Х провести плавную линию так, чтобы она пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Х .

Слайд 15

Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого: если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, -то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности. -Иначе – выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.

Слайд 16

Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежит выбранным участкам. Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

Слайд 17

Пример 1. Решите неравенство cos 3х: + cosx >0. Приведем левую часть неравенства к виду 2 cos 2 x cos x и рассмотрим уравнение 2 cos 2 x - cos х=0, которое равносильно совокупности уравнений:

Слайд 18

I серия значений х: х 1 = ( π /4) + (π п /2). II серия значений х: х 2 = (π/2)+ πп.

Слайд 19

Заполним теперь единичную окружность соответствую­щими точками. Для I серии достаточно взять п = 0, 1, 2, 3. Тогда значения х 1 соответственно равны π/4, Зπ/4, 5π/4, 7π/4 (при остальных значениях п точки будут повторять­ся).

Слайд 20

Значения из серии х 2 на единичной окружности можно представить точками π/2 и Зπ/2, которые получе­ны при п = 0 и п =1.

Слайд 21

Выберем теперь контрольную точку, положив α=0. Тогда cos 3*0 + cos 0=2>0. Значит, в данном случае луч Ох' совпадает с координатным лучом Ох (угол между ними равен 0). Выберем на луче Ох произвольную точ­ку X к, находящуюся вне единичной окружности. Соединяем точку X к со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рис. 1.