Презентация ученицы 10го класса на тему "Виды тригонометрических уравнений".
творческая работа учащихся по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Виды тригонометрических уравнений Выполнила ученица 10 класса Назарова Марина

Слайд 2

Так какие же они эти уравнения?

Слайд 3

Решение простейших тригонометрических уравнений

Слайд 4

Уравнение cos t = a . Если l а l ›1, то уравнение не имеет корней. Если l а l≤ 1, то t = ±arccos a + 2 π n, n Є Z. Частные случаи: cos t = 0, t = π /2+ π n, n Є Z. cos t = 1, t = 2 π n, n Є Z. cos t = -1, t = π +2 π n, n Є Z. arccos (-a) = π – arccos a cos (arccos a) = a

Слайд 5

Уравнение sin t = a. Если l а l› 1, то уравнение не имеет решений. Если l а l≤ 1, то t = (-1)ⁿarcsin a + π n, n Є Z. Частные случаи: sin t = 0, t = π n, n Є Z. sin t = 1, t = π /2 + 2 π n, n Є Z. sin t = -1, t = - π /2 + 2 π n, n Є Z. arcsin (- a) = - arcsin a. arccos a + arcsin a = π /2

Слайд 6

Уравнение tg t = a t = arctg a + π n, n Є Z. arctg (-a) = - arctg a. tg (arctg a) = a

Слайд 7

Уравнение ctg t = a. t = arcctg a + π n, n Є Z. arcctg (-a) = - arcctg a. arctg a + arcctg a = π / 2

Слайд 8

Типы тригонометрических уравнений

Слайд 9

Уравнения приводимые к алгебраическим

Слайд 10

Уравнение sin²x + sin x -2 = 0 Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначив sin x = y, получим уравнение у ² + у – 2 = 0. Его корни у 1 = 1, у 2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = - 2. Уравнение sin x = 1 имеет корни x = π / 2 + π n, n Є Z. Уравнение sin x = - 2 не имеет корней.

Слайд 11

Уравнение 2cos²x – 5 sin x + 1 = 0. Заменяя cos²x на 1 - sin²x, получаем: 2 (1 - sin²x) – 5 sin x + 1 = 0 или 2 sin²x – 5 sin x - 3 = 0. Обозначая sin x = y, получаем 2y²+ 5y – 3 = 0, откуда y 1 = - 3, y 2 = ½. 1) sin x = - 3 – уравнение не имеет корней, так как l - 3 l › 1. 2) sin x = ½, x = (- 1)ⁿ arcsin ½ + π n = (-1) ⁿπ / 6 + π n, n Є Z.

Слайд 12

Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций.

Слайд 13

Уравнение вида sin f(x) = sin φ (x) Равносильно единению уравнений: f ( x) = φ (x) + 2 π k, k Є Z f(x) = π – φ (x) + 2 π n, n Є Z

Слайд 14

Уравнение вида cos f(x) = cos φ (x) Равносильно единению уравнений: f ( x) = φ (x) +2 π n, n Є Z f(x) = - φ (x) + 2 π m, m Є Z

Слайд 15

Уравнение вида tg f(x) = tg φ (x) Равносильно системе: f(x) = φ (x) + π k; φ (x) ≠ π / 2 + π n ( или f(x) ≠ π / 2 + π m), k, n, m Є Z

Слайд 16

Однородные уравнения

Слайд 17

2 cos x – 3 sin x = 0 Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x = 0. Уравнение cos x = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если cos x 0 = 0, cos x 0 = 0, то 2 cos x 0 - 3 sin x0 = 0, sin x 0 = 0, но это не возможно, так как cos²x 0 + sin² x 0 = 1. Следовательно, имеем равносильное уравнение tg x = 2/3; x = arctg 2/3 + π m, m Є Z.

Слайд 18

3 sin²x – 4 sin x cos x + cos²x = 0 Это уравнение второй степени. Значения х, при которых cos x = 0 , не являются решениями этого уравнения, так как если cos x = 0 , то должно выполнятся равенство 3 sin²x = 0 , а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos²x (или на sin²x ) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg²x – 4 tg x + 1 = 0, откуда tg x = 1 или tg x = 1/3. Следовательно, x = π / 4 + π n, n Є Z, или x = arctg 1/3 + π n, n Є Z.

Слайд 19

Если уравнение может быть приведено к виду, когда его левая часть однородное выражение второй степени относительно тригонометрических функций, а в правой есть число, отличное от нуля, то такое уравнение можно привести к однородному уравнению второй степени относительно cos f(x) и sin f(X), представив число в правой части a = a(sin²f(x) + cos²f(x)).

Слайд 20

Уравнения, решающиеся разложением на множители.

Слайд 21

При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. cos x = 0, или 3 tg x = 5 cos x ≠ 0, x = arctg 5/3 + π m, m Є Z. 2) (2 cos x – 1) √sin x = 0, sin x = 0 или cos x = ½ x = π k, k Є Z; sin x › 0.

Слайд 22

Уравнения вида a cos x + b sin x = c(a·b·c ≠ 0) Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле: a cos x + b sin x = √ a²+ b² cos (x – φ ), где cos φ = a/√ a²+ b² sin φ = b/ √ a²+b²

Слайд 23

Уравнения, решающиеся оценкой значения левой и правой части. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Уравнение корней не имеет. 3 cos 3x + cos x = 4. Так как cos x ≤ 1, 3cos 3x ≤ 3, то cos x + 3 cos 3x ≤ 4 и равенство возможно лишь при cos x = 1, cos 3x = 1. Корни первого уравнения определяются формулой х = 2 πκ , к Є Z . Подставим эти значения х во второе уравнение: cos 3x = cos (6 πκ ) = 1 ( верно). Значит, это корни данного уравнения.