Разработка урока по теме: Применение теорем Виета для выяснения знаков корней квадратного трёхчлена
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

Разработка урока по теме: Применение теорем Виета для выяснения знаков корней квадратного трёхчлена

Учитель математики

МОУ «Петровская средняя общеобразовательная школа

Серебряно-Прудского района

Московской области

Приданникова Г. В.

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Их решение представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовыми коэффициентами. При решении уравнений (неравенств) с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра заданное уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решённым.

   Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Восполнить этот пробел можно на уроках повторения и в ходе проведении элективных курсов. Такие задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Решение задач с параметрами объединяет многие элементы «математической культуры» учащегося: математическую технику, геометрическое восприятие, логическое мышление. Возрастающая популярность задач с параметром не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование процессов в различных областях человеческой деятельности часто приводит к сложным задачам, в которых «много» различных неизвестных, которые по существу и представляют собой параметры. Важно осознать, что с точки зрения математики решение любой задачи с параметром – представляет собой изучение или применение свойств функции многих переменных. Важность задач с параметром связана и с тем, что необходимым элементом решения этих задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от того, какие значения принимает параметр. Такие задачи требуют не только глубокого понимания сути процесса, владения математическими методами, но и умения логически мыслить.

При решении задач,  содержащих параметр, чаще всего встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметров. Ко второму классу относятся задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс этих задач неисчерпаем!

Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого класса ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах к задачам второго типа перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удаётся не всегда. Иногда встречаются уравнения или неравенства, где дополнительное условие сформулировано так, что оно, легко переведённое на математический язык, сводит решение одного уравнения или неравенства второго класса к решению системы уравнений, неравенств или к решению смешанной системы, содержащей и уравнения, и неравенства, относящиеся уже к первому классу.

 Многие (но не обязательно все) задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена

Бывают задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при которых между корнями квадратного уравнения выполняется то или иное соотношение. Можно было бы решать эти задачи, выразив корни через коэффициенты уравнения и выписав явно заданные в условии задачи соотношения. Получающиеся при этом уравнения и неравенства обычно бывают очень сложными. Более простой метод основан на использовании теоремы Виета.

Тема: Применение теорем Виета для выяснения знаков корней квадратного трёхчлена

                                        Цели:

Учебная:  1) научить проводить исследование  корней квадратного уравнения;

2) научить результаты исследований и обобщений применять для дальнейшего изучения темы «Параметры в задачах»

Развивающая: развивать познавательную деятельность, логическое мышление;

Воспитательная: развить у учащихся внимание, аккуратность, логическое мышление

Тип урока: объяснение нового материала; закрепление в ходе решения различных заданий.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная и групповая работы.

Если  при  ,то    и

 , если

 ,если

  , если

  ,если  

Ход занятия

1. Информационный ввод: Сегодня мы посвятим занятие определению знаков корней квадратного уравнения с помощью теорем Виета.
2. Актуализация знаний (устная работа)

1. Сформулируйте теорему Виета

-Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2)   Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения:

3. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета

- Если числа  m и n таковы, что их сумма -p , а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения  

4) Найдите подбором корни уравнения: 

4. Определите знаки коэффициентов  a,b,c квадратного трёхчлена

3. Объяснение нового материала.

Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т. е. неизвестного параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Если  при  ,то    и .

1)

2)

3)

4)

Работа в группах

Задание  для группы  №1.

Исследовать уравнение на знаки корней в зависимости от значений параметра a

Решение:  

1.   ,если       ,  решений нет

б)  , если                ,    

в), если    ,   ,    2;3)

г)   , если     ,             

Ответ:  1) При  

2) При    

3) При   

4) При      Не существует значение параметра а, при котором оба корня были бы положительны.

Задание для группы №2

Исследовать уравнение и определить знаки корней в зависимости от значений параметра t

Решение:

1. , если       ,

б) , если           

в), если   ,  

г) , если   ,       ,

Ответ: 1) При

2) При

3) При  

4) При     

5) При

6) При

Задание для группы №3.

Исследовать уравнение и определить знаки корней в зависимости от значений параметра а.

Решение:

    при     

Ответ: 1) При   

  ,       где         

2) При   

     , где      

  При  

4) При

 ,       где  

5) При    

6) При  

7) При      

8) При  

5. Обсуждение решений заданий каждой группы.

6. Психологическая разгрузка.

7. Решение задач с параметром.

- Рассмотрим иные задачи для квадратных уравнений с параметром.

№1.  корни данного уравнения. Составьте уравнение, корни которого

Решение: Так, как  ,

то 

Используя теорему Виета, получаем:

Используем теорему Виета ещё раз, получаем:

,    

Следовательно,    

т.е.    

Ответ:   

№2. При каких вещественных а корни уравнения  

таковы, что сумма их квадратов равна       ?

Решение: 1)  по теореме Виета  

2)    или   

Сделаем подстановку и получим:

Ответ:

№3. При каких значениях параметра  а корни уравнения
   положительны?

Решение: Выделим контрольное значение параметра  а =2 .

Тогда уравнение примет вид  , откуда

Значит , а =2  является одним из ответов на вопрос задачи.

Пусть , т.к. квадратное уравнение должно иметь корни, то  ,

 По теореме Виета   ,

Тогда условия   равносильны условиям

В результате задача сводится к решению системы неравенств

         ,    

Добавив отмеченное выше значение а =2, получаем ответ

      Ответ:

№4.   - корни данного уравнения. При каких значениях параметра  ?

По теореме Виета запишем:

Тогда  

Составим уравнение:

Тогда   ,

,

Сделав проверку, убедимся, что при  существуют действительные корни   ,что

Можно иначе, т.е. вычислить D исходного уравнения

 а затем проверить, удовлетворяют ли данные значения условию , но это значительно сложнее.

№5.  При каком значении параметра m сумма квадратов корней   уравнения     наименьшая?

Решение:

То

Пусть  А=1, т.е.   при        m =2.

Проверим,   ?

При m =2 уравнение имеет вид ,

т.е.

Ответ:  достигает наименьшего значения при m =2, где  корни уравнения  

№6. При каких вещественных а корни уравнения  таковы, что

Решение: 1) По теореме Виета   .

2) Поскольку

 ,  

 ,

 , решая неравенство, получим:

.

№7. Определить k  так, чтобы уравнение

Имело четыре вещественных корня, отличных от нуля.

Решение:

1. Данное уравнение биквадратное при , т.е. квадратное относительно
2. Следовательно,  для вещественности его корней необходимо и достаточно, чтобы их квадраты были положительны, т.е. чтобы квадратное уравнение

имело положительные корни.

Для этого должно быть выполнено:

  или    ,          

7.  Домашнее задание:

№1. Исследуйте уравнение   на знаки корней в зависимости от значений параметра a.

№2. Для уравнения , где  - корни, составьте квадратное уравнение с корнями, равным

№3. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения

  будет наименьшей?

Решение домашнего задания:

№1. а),   

,  ,      

б) ,      ,       ,         ,

в),     ,  

г)

Ответ:1) 

2)   

3)   

4)случай   невозможен

№2.По теореме Виета:

Тогда,

,

,

По теореме, обратной теореме Виета, составим квадратное уравнение корнями которого будут :

,   т.е. .

Ответ:  – уравнение, корни которого

   ,  

где   - корни уравнения  .

№3. Решение: ,          ,

Очевидно, что для      при m=1.

Ответ: для уравнения  наименьшая сумма квадратов его корней равна 4 при m=1.

8) Итоги занятия

Заключение:

В результате проведения урока по теме « Применение теорем Виета для выяснения знаков корней квадратного трёхчлена» можно сделать следующие выводы:

- в результате   исследовательской деятельности учащиеся научились обобщать изученный материал и составлять системы неравенств  по результатам исследования;

- учащиеся усвоили основные приемы и методы решения уравнений  с условием, содержащих параметр;

-  научились применять алгоритм решения уравнений с условием,  содержащих параметр;

-  научились проводить полное обоснование при решении задач такого типа.

Данный урок способствовал:

- рациональной организации труда;

-  развитию познавательных процессов;

- развитию логического мышления;

- развитию внимания, памяти и наблюдательности;

- повышению мотивации  учащихся к решению трудных задач;

- формированию навыков исследовательской деятельности;

- умению самостоятельно организовать работу с дополнительной литературой.

Наблюдения учителя:

• первоначальный  страх учащихся перед «неизвестным»;
• полное погружение ребят в исследовательскую деятельность;
• радость при успешном решении проблемы;
• моральное удовлетворение от проделанной работы.

Литература

1. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. Пособие для школьников, абитуриентов и учителей. Под общей редакцией Заслуженного учителя РФ Б.Г. Зива.- С-Петербург, Москва: Петрогриф, 2010
2. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – Москва: АРКТИ, 2000
3.  Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Пособие по математике. 3-е изд., доработ. - Минск: Асар, 2004
4. Потапов М.К. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Учебное издание. Москва: Изд-во МГУ, 1992
5. Колесникова С.И. Решение сложных задач ЕГЭ по математике. Эффективные решения. Параметры и другие трудности ЕГЭ. – Москва: «ВАКО», 2011
6. Касаткин Г.В. Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. – Москва: «Уникум-Центр» «ПОМАТУР», 1999
7. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. –Москва: 2010
8. Горнштейн П.И., Полонский В. В., Якир М. С. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., - Москва: Кладовая школьной математики, 2005.
9. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.- 6-е изд. Испр. И доп. – Москва: Рольф, 2001
10.  Кочагин В.В. ГИА 2010. Алгебра: сборник заданий: 9 класс/В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина.- Москва: Эксмо, 2009