необычные способы умножения
творческая работа учащихся по математике (5 класс)

Министерство образования и науки Республики Бурятия.

Научно -практическая конференция «Шаг в будущее»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Булыкская СОШ»

«Необычные способы умножения»

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………… 2
2.  Глава 1. Теоретическая часть………………………………………………. 3

1.1. Исторические сведения................................................................................... .     3

1.2. Некоторые способы умножения………………………………………………..  4 

                3.  Глава 2.  Практическая часть.                   ………………………………       6

                4. Глава 3. Итоги социального опроса. …………………………………….      7

             5. Заключение…………………………………………………….........                8

             6. Список использованной литературы………………………………                9

        Приложение.

Введение.

Просмотрев интересные телепередачи, «Лучше всех», «Удивительные люди» удивило то, что мои сверстники так виртуозно выполняют операции с числами. Проблема в том, что в последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения!  А ведь долгие математические операции можно выполнять быстрее. Это и обусловило выбор темы данного исследования.

Цель работы: Исследование необычных способов умножения.

Задачи: 

• Найти и рассмотреть необычные способы умножения. Научиться их применять.
• Использовать при счете самые интересные или более легкие.
• Научить одноклассников применять новый способ умножения.

Объект исследования действие умножение чисел.  Предмет исследования различные способы умножения чисел. В основу работы была положена следующая гипотеза: если освоить различные способы умножения, то можно в разы сократить время на вычисления, и получать от этого удовольствие.   Методы исследования: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счёта; анализ полученных в ходе исследования данных.

В теоретической части рассмотрены нестандартные приёмы в формировании вычислительных навыков, что усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей, что поможет в решении данной проблемы. Поэтому изучение данной темы актуально. Новизна заключается в конкретизации известных данных. Практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть взяты за основу для выполнения вычислений. Апробация работы: материалы работы послужили основой для создания презентации, которая использовалась на школьной научно-практической конференции, а также буклета.

Глава 1. Теоретическая часть

1.  Исторические сведения

             «Кто положил начало арифметике, и кто первый из людей «изобрел» счет, на это ответить нельзя. Мы можем назвать лицо, которое изобрело компас или книгопечатание, порох и паровую машину; нас может интереcовать, кто открыл магнит, или кто приготовил писчую бумагу; но никак нельзя решить вопрос, кто положил начало счету. Уменье считать, по крайней мере, в небольших пределах, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому, как живой человек непременно дышит и питается, так точно и человек, живущий сознательной жизнью, мыслит, говорит и, между прочим, считает.»^[1]    (Приложение 1)                                                                        

             За всю историю человечества было придумано много способов умножения. Только в конце XV - начале XVI века итальянский математик Лука Пачоли приводит 8 различных способов умножения в своём трактате об арифметике. В старину особенно сложны и трудны были действия умножения и деления — особенно последнее. «Умноженье — мое мученье, а с делением — беда», — говорили в старину. Тогда не существовало еще одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина (12) различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

           Сначала древние люди использовали для счета пальцы на руках и ногах. Позже широкое распространение получили «веревочные счетные книги». Они представляли собой ремешки разной длины и разного цвета с завязанными на них узелками. (Приложение 2)

             В торговле чаще всего использовали засечки на палочках. Палочки после окончания расчетов разламывали пополам: одну половинку брал кредитор, а другую – должник, что играло роль «квитанции».

              На более высокой стадии развития люди при счете не только стали применять разные предметы (камешки, зерна, веревку с бирками и др.), но и осознавать числа независимо от предметов и лиц, подвергаемых счёту. В связи с этим появилось слово число в значении количество.

        В истории математики известно около 30 способов умножения, отличающихся схемой записи или самим ходом вычисления. Метод умножения «в столбик», который мы изучаем в школе – один из способов. Но самый ли эффективный ли это способ?

1.2. Некоторые способы умножения.

        Древнерусский способ умножения на пальцах.

 (Приложение 3. Фрагмент картины А.М. Васнецова «Новгородский торг», 1909г.).

Это один из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Принцип этого способа: умножение на пальцах однозначных чисел от 6 до 9. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались. Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56. Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел больше 5.

Очень легко воспроизводится "на пальцах" умножение для числа 9. Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54.

        Умножение на 9 с помощью клеток тетради. (Приложение 4)

 Возьмём, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит, 9·8=72. Все очень просто!

Способ умножения «Маленький замок». (Приложение 5)

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину. Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

 Умножение японским методом. (Приложение 6)

        Перемножим два двузначных числа: 15*23. Шаг 1. первое число 15: Рисуем первую цифру – одной линией. Рисуем вторую цифру – пятью линиями. Шаг 2. второе число 23: Рисуем первую цифру – двумя линиями. Рисуем вторую цифру – тремя линиями. Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах. Шаг 4. Результат – 345.

         Перемножение чисел с помощью опорного числа. (Приложение 7) 

Для освоения метода требуется небольшая практика, однако он очень удобен, когда два множителя — близкие числа. В частности, это основной способ для возведения двузначных чисел в квадрат.

Опорное число — это круглое число, близкое к обоим множителям. Оно может быть меньше обоих множителей, больше обоих множителей или находится между ними.

В качестве опорного числа следует выбирать числа, на которые легко умножать. Например, 50 или 100, если они близки к двум множителям.

В зависимости от того, как соотносятся опорное число и множители, техника умножения немного различается.

 а) Опорное число меньше двух множителей. Например, нужно умножить 32 на 36.

Опорное число — 30. Множители больше опорного числа на 2 и 6.

Добавьте к первому множителю 6 и умножьте на опорное число: 38 × 30 = 1140.

Добавьте произведение 2 и 6: 1140 + 2×6 = 1152.

 б) Опорное число больше двух множителей. Например, нужно умножить 43 на 48.

Опорное число — 50. Множители меньше опорного числа на 7 и 2.

Вычтите из первого множителя 2 и умножьте на опорное число: 41 × 50 = 2050.

Добавьте произведение 7 и 2: 2050 + 7×2 = 2064.

 в) Опорное число — между множителями. Например, нужно умножить 37 на 42.

Опорное число — 40. Первый множитель меньше на 3, второй — больше на 2.

Добавьте к меньшему множителю 2 и умножьте на опорное число: 39 × 40 = 1560.

Вычтите произведение 3 и 2: 1440 − 3×2 = 1554

         Индийский способ умножения. (Приложение 8) 

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.

Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С). Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Ревность» или «решётчатое умножение». (Приложение 9)

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов…». Умножение методом решетки. 347 ? 29 =. 10063. 3. 4. 7. 0. 0. 1. 2. 8. 4. 6. 2. 3. 6. 8. 9. 6. 3. 7. +2. +1. 19. 16. 3.

 Крестьянский способ. (Приложение 10)

Это способ великорусских крестьян Суть его заключается в том, что умножение любых чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам, при одновременном удвоении другого числа.

Крестьянский способ (нечетные числа).

Глава 2.  Практическая часть.

        Найдем произведение чисел 37 и 32 крестьянским и японским методом. Да, в результате получаем одно и то же число. Крестьянский  способ удобен тем, что достаточно знать таблицу только на 2. Однако при работе с большими числами он очень громоздкий. Удобен для работы с двузначными числами. Японский метод интересный, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать. Без сноровки сложно разобраться в делении числа на разряды. В общем, без таблицы умножения не обойтись!  Способ умножения на 9 для однозначных чисел также очень интересный, его можно порекомендовать тем, кто не может заучить таблицу умножения на 9.

Глава 3. Итоги социального опроса. (приложение 11)

И так, долгие математические операции можно выполнять быстрее. А что знают об этом мои одноклассники, ученики моей школы, знают ли они другие способы счета? Было проведено анкетирование.  

Анкетирование.

 1.Необходимо ли современному человеку устный счёт? Да. Нет

2. Знаете ли вы другие способы умножения кроме умножения в столбик? Да. Нет

3.Пользуетесь ли вы ими? Да. Нет

4.Хотели бы вы узнать другие способы умножения? Да.  Нет.

Опрошено 65 учащиеся 5-11 классов. Все говорили только о тех способах, которые изучаются в школе. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Выбор способа умножения.

Учащиеся отдали предпочтение способу умножения натуральных чисел «решёткой».

Заключение

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, можно легко заметить, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись. Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения Современный способ умножения прост и доступен всем. Но, думаем, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать ещё более быстрые и более надёжные способы. Возможно , что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу, выполнять эти или другие подсчёты Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Она поможет приобрести полезные навыки устного счёта! Таким образом, цель исследования достигнута– изучены нетрадиционные способы умножения многозначных чисел. И гипотеза подтвердилась – если освоить различные способы умножения, то можно в разы сократить время на вычисления, и получать от этого удовольствие. Изученные нетрадиционные методы умножения очень интересны и имеют право на существование. А в некоторых случаях ими даже проще пользоваться. Считаю, что о существовании этих методов можно рассказывать в школе, дома и удивить своих друзей и знакомых.   Было рассмотрено очень маленькое количество способов умножения, а это значит, что впереди нас ждет много интересного.

Список использованной литературы

1. Беллюстин В.К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. Издательство Типографiя К. Л. Меньшова Год        1909
2. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
3. Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
4. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.

        Интернет-ресурсы.

         http://ss.gym5cheb.ru/p22aa1.html

http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-5