Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения величины.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин

 (задачи оптимизации)

Задача 1. В степи на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии точки расположен райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе – со скоростью 10 км/ч?

Задача 2. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу 3 км/ч. За какое минимальное время он может добраться от базы до станции?

Задача 3. Над центром круглого стола радиуса R висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

(из курса физики известно, что освещенность вычисляется по формуле:          

 , где Е-освещенность на краю стола, h- расстояние от лампы до стола.)

Задача 4. Известно, что мощность Р, отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле:

где Е — постоянная электродвижущая сила элемента, г — постоянное внутреннее сопротивление, R — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление, чтобы мощность была наибольшей?

Задача 5. Каким должен быть угол примыкания α(рис. 2) дороги (СЕ) к автомагистрали (АВ), чтобы затраты времени на перевозки по маршруту АЕС были наименьшими, если скорость движения автомобилей по магистрали планируется равной vm, а по подъездной дороге – vd (vm>vd)?

Площадь ω поперечного сечения канала' называют его живым сечением, а длину χ границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшего профиля для каналов такой формы.

Задача 6. При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейший профиль?

Задача 7. Сечение канала — равнобедренный треугольник. Каким должен быть угол при вершине, чтобы канал имел гидравлически  наивыгоднейший профиль?

Задача 8. Сечение канала — равнобедренная трапеция с углом откоса α таким, что ctgα=n. При каком отношении ширины дна канала к его глубине он имеет гидравлически наивыгоднейший профиль?

Задача 9. Сечение канала — сегмент круга. Каким должен быть центральный угол α (0<α<π), чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль?

Задача 10. На лесопильных рамах (они предназначены для продольного пиления) бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой должна быть расстановка пил для такой распиловки?

Задача 11. Фирма нежность работает на конкурентном рынке цветочных изделий и занимается выращиванием и продажей цветов. Функция издержек выращивания цветов имеет вид , где Q – количество цветов. Фирма может продавать не более 2 тыс. шт. ежедневно. Определить , сколько цветов в день следует продавать, чтобы получить максимальную прибыль, если рыночная цена на цветы составляет 50 руб. за штуку?

Задача 12. Кафе – бар специализируется на выпуске пиццы особого вида. Функция издержек за день зависит от количества выпекаемых  пицц следующим образом: . Зависимость дневной выручки кафе – бара от количества выпекаемых пицц следующая . Сколько пицц нужно выпекать, чтобы получить максимальную прибыль, чему она равна?

Задача 13. Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Будем считать, что все остальные ресурсы не влияют на затраты фирмы. Еженедельный выпуск продукции фирмы Q (шт.) зависит от количества нанятых рабочих L (чел.) следующим образом: Q(L)=-3L2+606L. Недельная ставка заработной платы каждого нанятого рабочего равна  $120. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке труда, то сколько рабочих вы посоветуете нанять владельцу фирмы, чтобы получить максимальную прибыль?

Задача 14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60 ° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе (рис. 15.5). Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Задача 15. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?

Задача 16. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапеции была наибольшей?

Задача 17. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна α. Длина боковой стороны АВ вдвое больше длины меньшего основания ВС. При каком значении α величина угла ВАС будет наибольшей? Чему равно это наибольшее значение?

Задача 18. Стороны прямоугольника равны 5 и 20. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 30. Найдите наименьшее значение оставшейся части прямоугольника

Задача 19. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды (рис.15.17) имеет постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости основания под углом α. При каком значении α объем пирамиды является наибольшим?

Задача 20. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания a и высотой Н вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит в основании пирамиды, а вершины верхнего основания – на боковых ребрах (рис.15.18). Найдите длину ребра основания и длину высоты призмы, имеющей наибольшую боковую поверхность.

 Задача  21. В прямом круговом конусе периметр осевого сечения равен 10. Найдите значения, которые может принимать радиус шара, описанного вокруг этого конуса.

Задача  22. Точка А лежит на графике функции y=f(x) точка B – на оси Ox и её абсцисса равна ординате точки A. Найдите наименьшее значение площади треугольника AOB, где точка O- начало координат,

Задача  23.Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю ОМ, где О- начало координат, а М-точка на графике функции

 .

Задача  24. Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань в красный, другую- в синий и третью- в белый цвет. Сумма площадей красной и синей граней равно 120, а периметр красной грани на 18 меньше периметра белой грани. Найдите наибольшее значение объёма такого параллелепипеда

Задача  25. Поле площадью 360 га необходимо засеять подсолнечником и кукурузой. Известно, что прибыли от урожая при засевании поля каждой культурой по отдельности являются квадратичными функциями, принимающими максимальные значения, равные 1200000 и 1800000 рублям при значениях х = 200га и  х =300га для подсолнечника и кукурузы соответственно. Причем для х=0 значение этих функций  нулевые. Какие части поля следует засеять подсолнечником и кукурузой, чтобы получить максимальную прибыль?

Задача 26. Необходимо покрыть плиткой пол и стены бассейна, затратив 216 квадратных метров плитки. Бассейн должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда с открытым верхом, длина которого в два раза больше ширины. Найдите длину, ширину и высоту бассейна, объем которого является наибольшим.

Задача 27. Требуется разметить на земле участок площадью 400 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDFGHN, изображенного на рисунке, где ВС = 10 м, CD = HN = 25 м и GH  10 m. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин АК, AL и GH, при которых периметр является наименьшим.