Урок алгебры в 8 классе по теме "Квадратные уравнения"
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления теоретического материала по теме «Квадратные уравнения», совершенствования навыков решения задач по данной теме, подготовки учащихся к контрольной работе

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Научиться применять на практике теоретический материал по теме «Квадратные уравнения»

Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задачи

Регулятивные: оценивать достигнутый результат

Коммуникативные: планировать общие способы работы; регулировать собственную деятельность посредствам письменной речи

Личностные: формирование навыков самоанализа и самоконтроля

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная; индивидуальная

Образовательные ресурсы

Учебник, карточки с заданиями, компьютер, проектор, презентация, карточки – задания для домашней работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Определить тему и цели урока

– Ребята, вот уже на протяжении нескольких уроков мы с вами изучаем квадратные уравнения, познакомились с различными видами этих уравнений и способами их решения.

 Итак, давайте вспомним определение квадратных уравнений.

Слайд 2. Задание на определение вида уравнения (устно)

Вопрос учащимся:

– Ребята, здесь, вы видите уравнения, записанные по какому – то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

А.

1) 2х2 – х = 0

2) 4х2 – 16 = 0

3) 4х2 + х – 3 = 0

4) 2х2 = 0

– Какие уравнения мы называем неполными квадратными уравнениями?

Б.

1) х2 – 5х + 1 = 0

2) 9х2 – 6х + 10 = 0

3) х2 + 2х – 2 = 0

4) х2 – 3х – 1 = 0

– Какие квадратные уравнения мы называем приведенными?

Слайд 2, столбик А. Решите устно уравнения 1, 2 и 4.

– Ребята, а как вы думаете, исходя из устных упражнений, какова тема сегодняшнего урока?

Запишем тему нашего урока (Слайд 2)

– А какие у нас цели нашего урока?

Учащиеся отвечают на вопросы.

Квадратными уравнениями называют уравнения вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

А: лишнее уравнение 3, т. к. это полное квадратное уравнение, а остальные неполные квадратные уравнения.

Квадратные уравнения мы называем неполными, если коэффициенты а = 0 или b = 0, или а и b равны нулю.

Б: лишнее уравнение 2, т.к. это уравнение общего вида, а остальные приведенные квадратные уравнения.

Квадратные уравнения называют приведенными, если коэффициент а = 1.

Учащиеся решают уравнения

Квадратные уравнения

Продолжить изучать квадратные уравнения, вспомнить различные способы их решения и узнать новый способ решения уравнений.

II этап. Решение задач.

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выработать умения применять теоретические знания при решении задач

– Давайте вспомним, какие вы знаете способы решения квадратных уравнений?

Слайд 4. Решите самостоятельно уравнения

а) 5х2 + 8х – 4 = 0;

б) 6х2 = 18 х;

в) 25х2 – 4 = 0;

г) 2х2 – 15х + 13 = 0.

(Для быстро справившихся с заданием учащихся решить задачу 1 на карточке с заданиями) См. Приложение.

Обменяйтесь тетрадями и проверьте друг друга

(Слайд 5).

Если все уравнения решены правильно поставьте на полях карандашом «+», если одно уравнение не решено поставьте «±», если два и более, то «–» .

– А сейчас, выполним устное задание.

Слайд 6. Не решая уравнения х2 – 6х + 5 = 0 найдите:

1. сумму корней (6)
2. произведение корней (5)
3. квадрат суммы корней (36)
4. удвоенное произведение корней
5. подберите корни (5; 1)

Что помогло выполнить это задание?

Сформулируйте ее. Слайд 7

х2 + рх + q = 0

х1 + х2 = – р

х1∙ х2 = q

Как используется теорема Виета при решении уравнений общего вида?

Решение задач с использованием теоремы Виета.

Слайд 8

Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений, а для уравнений 1 и 2 найдите подбором корни (устно):

1. х2 – 3х – 4 = 0
2. х2 – 9х + 14 = 0
3. 2х2 – 5х +18 = 0  
4. 3х2 + 15х +  = 0  

)

При подборе корней вы использовали теорему обратную теореме Виета. Сформулируйте ее

Слайд 9. Составьте приведенное квадратное уравнение, если известны его корни (самостоятельная работа с самопроверкой в классе).

Задания самостоятельной работы:

Вариант 1.

а) х1 = 5, х2 = 6

б) х1 = 7, х2 = – 3

Вариант 2.

а) х1 = 5, х2 = – 6

б) х1 = 8, х2 = – 4

(Для быстро справившихся с заданием учащихся решить задачу 2 на карточке с заданиями) См. Приложение.

Проверьте правильность выполненных заданий. Слайд 10. Если все уравнения составлены правильно поставьте на полях карандашом «+», если одно уравнение составлено неверно поставьте «±», если два, то «–» .

– Ребята, мы с вами решаем квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждаемся в том, что уравнения можно решить легче и быстрее.

Выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета.

Учащиеся решают уравнения

а) 5х2 + 8х – 4 = 0

D1 = 16 + 20 = 36>0, 2 корня

х =

х1 = –2; х2 =  = 0,4

б) 6х2 = 18 х

     х2 = 3х,

     х2 – 3х = 0,

   х (х – 3) = 0,

х = 0 или х – 3 = 0,

                 х = 3.

в) 25х2 – 4 = 0,

    25 х2 = 4,

    х2 = ,

х1 =  = – 0,4;  х2 =  = 0,4.

г) 2х2 – 15х + 13 = 0

D = 225 – 104 = 121 > 0, 2 корня

х =

х1 =  = 6,5 и х2 = 1

Учащиеся проверяют друг у друга задания

Ответы:

Сумма корней равна 6

Произведение корней равно 5

Квадрат суммы корней – 36

Удвоенное произведение корней равно 10

Корни уравнения 5 и 1

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Заменить уравнение ах2 + bх+ с = 0; а≠0

равносильным ему приведенным квадратным уравнением

х2 +

х1 + х2 =

х1∙ х2 =

Ответы учащихся

1. Сумма корней равна 3, а произведение – 4. Корни уравнения 4 и – 1 .
2. Сумма корней равна 9, а произведение 14. Корни уравнения 7 и 2.
3. Сумма корней 2,5, а произведение 9.
4. Сумма корней 5, а произведение  .

 Если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения  х2 + рх + q = 0.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу

Вариант 1

а) х2 – 11х + 30 = 0;

б) х2 – 4х – 21 = 0.

Вариант 2

а) х2 + х – 30 = 0;

б) х2 – 4х – 32 = 0.

Учащиеся проверят правильность выполненных ими заданий.

III этап. Изучение нового свойства

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Проверить домашнее задание и «открыть» новое свойство, позволяющее быстро и устно решать квадратные уравнения.

Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратных уравнений. Но сначала выполним устное задание Слайд 11.

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите  их сумму.

1. х2 + 5х + 1 = 0,
2. 9х2 – 6х + 10 = 0,
3. х2 + 2х – 2 = 0,
4. х2 – 3х – 1= 0.

– При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов!

Рассмотрим это на примере уравнений, которые вы решали дома.

Проверка домашнего задания (слайд 12). На слайде (первый столбик таблицы) записаны квадратные уравнения, которые нужно было решить дома. Продолжим заполнение таблицы.

Назовите корни каждого из решенных вами дома уравнений (заполняем второй столбик таблицы). Найдите сумму коэффициентов каждого уравнения (заполняем третий столбик таблицы).

– Ребята, а сейчас, посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую – то закономерность:

1. в корнях этих уравнений,
2. в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями,
3. в сумме коэффициентов.

– Ребята, к какому пришли выводу? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников и делает вывод (слайд 13)

Если в уравнениях ах2 + bх + с = 0, а + b + с = 0, то один из корней равен 1, а другой (по теореме Виета) равен  .

– Ребята, это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это свойство на следующих примерах.

Решение задач на закрепление свойства.

а) 2х2 – 15х + 13 = 0

б) 7х2 – 9х + 2 = 0

Придумайте уравнения, в которых а + b + с = 0 и решите их.

Самостоятельная работа. Слайд 14.

             Вариант 1.

1. х2 + 23х – 24 = 0
2. 2х2 + х – 3 = 0
3.  – 5х2 + 4,4х + 0,6 = 0
4. 

             Вариант 2.

1. х2 + 15х – 16 = 0
2. 5х2 + х – 6 = 0
3.  – 2х2 + 1,7х + 0,3 = 0
4.  

Проверьте правильность выполненных заданий.

Слайд 15.

Если все уравнения составлены правильно поставьте на полях карандашом «+», если одно уравнение составлено неверно поставьте «±», если два, то «–» .

Ответы учащихся:

1. а = 1, b = 5, с = 1, сумма коэффициентов равна 7.
2. а = 9, b = – 6, с = 10, сумма коэффициентов равна 13.
3. а = 1, b = 2, с = – 2, сумма коэффициентов равна 1.
4. а = 1, b = – 3, с = – 1, сумма коэффициентов равна – 3.

Учащиеся проверяют домашнее задание, отвечают, чему равны корни квадратного уравнения и заполняют второй и третий столбики таблицы.

Ученики отвечают, что они здесь увидели, заметили:

1. первый корень равен 1,
2. второй корень с или  ,
3. сумма коэффициентов равна 0

Учащиеся формулируют правило

Записывают свойство в тетрадях

ах2 + bх + с = 0, если а + b + с = 0,

то х1 = 1, х2 =

(если а = 1, то х1 = 1, х2 = с)

Учащиеся решают предложенные решения

а) 2х2 – 15х + 13 = 0

2 – 15 + 13 = 0

х1 = 1, х2 =  = 6,5

б) 7х2 – 9х + 2 = 0

7 – 9 + 2 = 0

х1 = 1, х2 =

Ученики придумывают уравнения и решают их.

Решение самостоятельной работы

             Вариант 1.

1. х2 + 23х – 24 = 0,

1+ 23 – 24 = 0,

х1 = 1; х2 = – 24.

2. 2х2 + х – 3 = 0,

2+ 1 – 3 = 0,

х1 = 1; х2 =  = – 1,5.

3.  – 5х2 + 4,4х + 0,6 = 0

– 5 + 4,4 + 0,6 = 0,

х1 = 1; х2 =  = – 0,12.

,

х1 = 1; х2 =  = – 9.

             Вариант 2.

1. х2 + 15х – 16 = 0,

1+ 15 – 16 = 0,

х1 = 1; х2 = – 16.

2. 5х2 + х – 6 = 0,

5 + 1 – 6 = 0,

х1 = 1; х2 =  = – 1,2.

3.  – 2х2 + 1,7х + 0,3 = 0,

– 2 + 1,7 + 0,3 = 0,

х1 = 1; х2 =  = – 0,15.

,

х1 = 1; х2 =  = – 16.

IV этап. Итоги урока. Рефлексия.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

– Ребята, а сейчас, просмотрите свои пометки на полях тетради, вспомните ход урока и оцените себя.

– А теперь домашнее задание. У вас на партах лежат карточки с домашнем заданием. Вы должны выполнить данные задания и подготовиться к выполнению контрольной работы.

– А теперь подведем итоги урока.

Слайд 16.

Сегодня на уроке мы

Повторили …

Узнали …

Закрепили …

Учащиеся просматривают свои записи, вспоминают ход урока и оценивают свою работу на уроке.

Записывают в дневник – задание на карточке

Задание на дом. (Приложение)

1. Придумать три уравнения, в которых а + b + с = 0 и решите их;
2. Решите уравнения:

а) 5х2 + 14х – 3 = 0;        б) 4х2 = 16х;

в) 36х2 = 25;                    г) х2 – 5х – 36 = 0.

3. Периметр прямоугольника равен 40 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 64 см2.
4. В уравнении х2 – 12х + q = 0 один из корней равен 5. Найдите другой корень и свободный член q.

Учащиеся подводят итоги урока.