Практическая работа "Декартова система координат в пространстве"
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс)

"Прямоугольная декартова система координат в пространстве"

1.     Историческая справка.

Какую тему созвучную с темой нашего урока Вы изучали в 8 классе? Какое ключевое слово определяют эти две темы? (Координаты). Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом различных способов.

Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. (Показ моделей кристаллической решётки поваренной соли)

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени — Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение декартовой системы координат, и покажем, что координаты в пространстве вводятся также просто, как и координаты на плоскости.

В своё время Рене Декарт сказал: “… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”. Я предоставлю вам возможность и удовольствие разобраться с декартовой системой координат самостоятельно.

Определение 1. Если через точку пространства проведены 3 попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Определение 2. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.

Определение 3. Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох  - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.

Определение 4. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

Проведем через точку М три плоскости, перепендикулярные к осям координат, и обозначим через М1, М2 и М3, точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. М1 – абсцисса, М2 – ордината, М3 – аппликата точки М. Координаты точки М записываются: М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината.

Изучение нового материала.

1. Сформулируйте отличие декартовой системы координат на плоскости и в пространстве

2. Назовите оси координат на плоскости? Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”)

4. Какие плоскости рассматриваются в планиметрии (в пространстве)?

5. Назовите координату начала координат на плоскости (в пространстве)?

6. Какие еще компоненты должна иметь система координат на плоскости и в пространстве?

7. Как задается координата точки на плоскости и в пространстве?

1. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,5,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит в плоскости Оху?        

2. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,0,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит в плоскости Оуz?        

3. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,0,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит на оси z?

4. Построить точку с заданными координатами А (2; - 3).

5. Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3 ).

6. Найти длину отрезка:

А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)

А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

7. Найдите координаты точки М - середины отрезка

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)

АС, АВ

А1(2;-3;0),А2(2;0;5),А3(0;-3;5).

8. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

          z    

             В1              С1                                                   Ответы:

   А1                  D1                                 А (4;0;0)                А1 (4;0;4)                                                            

                                                    В (0;0;0)                В1 (0;0;4)

        В                   С        y                С (0;4;0)                С1 (0;4;4)

                                                D (4;4;0)                D1 (4;4;4)

      А                D

   x

9. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В1     z                    С А1                  D1

                                                Ответы:

        А1                                D1                                        

                                                А (2;-3;0)                А1 (2;-3;4)

 В                            С                        В (-2;-3;0)                В1 (-2;-3;0)

        А                                  D            y                          С (-2;3;0)                С1 (-2;3;4)

                                                D (2;3;0)                D1 (2;3;4)

   x

Практическая работа «Декартова система координат в пространстве»

1. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,5,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит в плоскости Оху?        

2. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,0,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит в плоскости Оуz?        

3. Какая из точек А(0,3,6), В(-1,0,0), С(-2,0,-7), К(0,0,6) лежит на оси z?

4. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

          z    

             В1              С1                                                     

   А1                  D1                                 

        В                   С        y                

      А                D

   x

5. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В1     z                    С А1                 

        А1                                D1                                        

 В                            С                        

        А                                  D            y          

      x

6. Построить точку с заданными координатами А (2; - 3).

7. Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3 ).

8. Найти длину отрезка:

А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)

А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

9. Найдите координаты точки М - середины отрезка АС, АВ

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)