Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»

Цель урока: закрепить графический способ решения квадратных уравнений при решении задач практического содержания, формировать умения строить математические модели, совершенствование  навыков построения графиков функций.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Задачи:

Образовательные:

• Закрепить умение строить  графики  различных  функции;
• Формировать умение решать задачи с помощью  квадратных уравнений графическим  способом.

 Развивающие:

• Развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения  заданий;
• Развивать умение обосновывать свое решение;
• Развить умение находить свои ошибки.

Воспитательные:

• Развивать умение вести дискуссию, самостоятельного поиска решения, нахождения разных способов решения новой задачи;
• Формирование ответственности каждого за поведения при обсуждении, ораторского мастерства, самооценки качества своего труда;
• Воспитание активной жизненной позиции;
• Развитие способности к сотрудничеству, общению, работе в коллективе.

Планируемые результаты:

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации, в том числе решение рабочих задач с использованием общедоступных инструментов ИКТ и источников информации; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; анализ истинности утверждений.

Коммуникативные УУД: инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные УУД: прогнозирование, контроль,  коррекция, оценка, саморегуляция.

Личностные УУД: установление учащимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется.

Ход урока:

Здравствуйте, ребята! Я рада очередной встрече с вами и очень надеюсь на вашу помощь! Накануне нашего урока  ко мне обратилась администрация нашей школы с просьбой помочь ей в составлении сметы! Дело в том, что наша школа совместно с жителями микрорайона решила принять участие в губернаторском проекте «СОдействие». А может, и вы знаете, что это за проект, сегодня на въезде в Кротовку я обратила внимание на большой баннер с логотипом этого проекта?

Ответы ребят

Действительно,  все мы хотим жить лучше. Все мы мечтаем, чтобы наш двор, наша улица, наши родные деревни, поселки, города стали чище и краше. Но кто-то об этом только мечтает и ждет, а кто-то действует. Для тех, кто действует, запущен Губернаторский проект «СОдействие». 

 И у активистов нашей школы возникла идея о благоустройстве небольшого сквера на пересечении улиц Отрадная и Пионерская, который ранее был любимым местом отдыха жителей микрорайона, а сейчас запущен и пустует.

Сейчас он выглядит вот так…, а это он же утопающий  в летней зелени

А это то, как мы предлагаем облагородить это место. И вот тот участочек, о котором у нас с вами пойдет речь, это место для детской площадки, и мы хотим, чтобы она была бы  современной и с безопасным покрытием для наших деток. Так вот именно количество погонных метров  необходимого покрытия нам и нужно будет с вами найти, чтобы просчитать его стоимость. Вся загвоздка в том, что сделать замеры в это время года невозможно, особенно после последних снегопадов, а сроки подачи заявки неумолимо приближается.

Но администрация города смогла сообщить нам некоторые данные, которые смогут нам помочь в этом вопросе, а конкретно, что участок под площадку прямоугольной формы имеет площадь 10 квадратных метров, его ширина  на 3 метра меньше длины. Увы, больше ничего не известно. Так, что ребята согласны ли вы помочь мне?

Давайте построим математическую модель нашей задачи:

• Какой формы площадка? (прямоугольной)
• Что про нее известно? (ширина меньше длины на 3)
• Что нужно найти? (стороны прямоугольника)

Сможем ли мы решить эту задачу?

Каким способом? (с помощью уравнения)

Давайте попробуем получить это уравнение. (Пригласить к доске одного из учащихся)

Пусть х метров -ширина площадки, тогда (х+3) метра – длина площадки. Известна площадь площадки 10 квадратных метров.

Составим уравнение: х(х+3)=10, преобразуем его  х²+3х-10=0

Какой вид уравнения мы получили? (Квадратное).

А каким способом мы будем его решать? (Графическим)

 На слайде вывести тему урока (Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»)

Значит ваша цель на сегодняшнем уроке, какова? ( Повторить решение квадратных уравнений графическим способом)

Если мы решаем уравнение графически нам необходимо построить график.

 График какой функции мы будем строить? (квадратичной)

Что является графиком этой функции? (парабола)

Как построить параболу?

1. Найти координаты вершины параболы, абсциссу вершины, по формуле х=-в/2а и вычислить значение ординаты при данном значении абсциссы
2. Выяснить куда направлены ветви параболы (вверх или вниз). От чего это зависит (от коээфициента а, если а>0 ветви направлены вверх, если а<0, вниз)
3. Строим таблицу значений и отмечаем полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
4. Если же квадратичная имеет коэффициент а=1, можно воспользоваться шаблоном.

Вернемся к решению квадратных уравнений. Сколько способов решения квадратных уравнений с помощью графиков вы знаете? (4)

Давайте немного вспомним их и повторим алгоритмы решения:

Рассмотрим уравнение    x2 – 2x – 3 = 0. Для этого введем график функции: y = x2 – 2x –3

Первый способ: построить график функции y = x2 – 2x –3 и найти точки его пресечения с осью х.

Сколько корней может иметь уравнение? (2,1 и 0) От чего это зависит? (От количества точек пересечения параболы с осью абсцисс)

Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ.  В данном уравнении назовите их -1 и 3.

Второй способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части только слагаемое, содержащее квадрат переменной. Помним, что при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую знак меняем на противоположный.

Строим параболу y = x2 и прямую y = 2x + 3, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

Назовите корни уравнения: -1 и 3

Третий способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части слагаемое, содержащее квадрат переменной и свободный член.

Строим параболу y = x2 – 3 и прямую y = 2x, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

Назовите корни уравнения: -1 и 3

Четвертый способ: преобразуем уравнение, используя метод выделения полного квадрата.

Строим параболу y = (x – 1)2 и прямую y = 4, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

Назовите корни уравнения: -1 и 3

Итак, ребята, мы повторили с вами основные способы решения квадратных уравнений. Предлагаю вернуться к задаче,  и выбрать каждой группе свой способ решения нашей задачи, точнее, полученного уравнения и через некоторое время проверить получившиеся корни.

Время на решение уравнения 5 минут!

Но прежде чем, вы приступите к решению, еще раз проговорим алгоритм:

• Преобразовываем уравнение, помним о правилах переноса слагаемых
• Определяем графики каких функций нужно будет построить
• Находим координаты вершины параболы, используя шаблон строим ее, по точкам выполняем построение  прямых
• Находим координаты точек пересечения графиков, за исключением первого способа и указываем абсциссы их точек пересечения

Ребята, решение будет общим на всю группу, графики вы должны построить вот на таких листочках, записав внизу, те корни, которые получите после решения уравнения.

Итак, все группы справились? Начнем проверку?

Первый способ: построением  графика функции y = x2 + 3x –10 и нахождение абсцисс точек пересечения параболы с осью ОХ 2 и -5

Второй способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части только слагаемое, содержащее квадрат переменной. Строим параболу y = x2 и прямую y = -3x + 10, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой равны -5 и 2

Третий способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части слагаемое, содержащее квадрат переменной и свободный член.

Строим параболу y = x2 – 10 и прямую y = -3x, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой равны -5 и 2

Четвертый способ: преобразуем уравнение, используя метод выделения полного квадрата.  СДЕЛАТЬ ЭТО НА ДОСКЕ!!!

Строим параболу y = (x + 1,5)2 и прямую y = 12,25, находим точки их пересечения.

Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой равны -5 и 2

Ребята, все справились с поставленной задачей и решили уравнение и в силу того, что корни у всех совпали, решили вы его верно.

Но учитывая, что мы находили ширину прямоугольника, корень

х=  – 5 посторонний корень, так как ….(ответ ребят) тогда если ширина равна 2, длина равна 5.

Как я рада тому, что мы знаем размеры нашей площадки!  Осталось ответить на главный вопрос: сколько погонных метров покрытия нам необходимо указать в смете при ширине покрытия равной 2,5?

У кого-то готов ответ?

Действительно нам понадобится 4 погонных метра покрытия.

Ребята, мы отлично поработали на уроке!  Справились с поставленной задачей. Рассчитали не только размеры площадки, но и узнали, как сэкономить при покупке материалов. Надеюсь, сегодняшний урок, принес вам определенный практический навык.

Ну, а завершении хочу обратиться к вам с еще одной просьбой, перед вами на маленьких листочках изображена парабола. За 30 секунд дорисуйте ее так, чтобы у вас получилась картинка или какой-либо предмет

А для  меня парабола является частью вот этого предмета, на что это похоже?

 И  частичку своей душевной теплоты я бы хотела подарить сегодня каждому из присутствующих! А вас ребята поблагодарить за прекрасные моменты общения, спасибо вам!!!