решение уравнений в целых числах
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (7, 8, 9, 10, 11 класс)

Слайд 1

Решения уравнений в целых числах Выполнила: Ивахнова Марина ученица 9 б класса Научный руководитель: Анохина С. Н. учитель математики

Слайд 2

Введение В данной работе я рассмотрела свойства целых чисел. Задачи на целые числа всегда считались одними из наиболее сложных задач. Для решения задач совершенно не обязательно знать все формулы математики. Но что совершенно необходимо, так это умение логически мыслить, охватывать всю задачу целиком, как говорят шахматисты, «просчитывать на несколько ходов вперед». Материал, изложенный в работе, разбит на главы, объединяющие задачи какого-либо одного типа. Данная работа полезна для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Слайд 3

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y ∈ Z. Будем считать, что m и n— взаимно простые числа. Если это не так, то всегда можно сократить обе части уравнения на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n (если при этом в правой части получится нецелое число, то такое уравнение не будет иметь решений). Далее метод решения зависит от того, насколько большие модули чисел m и n. Если хотя бы один из коэффициентов (пусть m) невелик по модулю, то уравнение будет в виде mx = k – ny . Левая часть полученного уравнения делится нацело на m. Значит, должна делиться нацело на m и правая часть этого уравнения. Рассматривая всевозможные остатки ι от деления y на m; ι = 0,1, …, m — 1, получим, что при одном значении ι из указанного промежутка будет делиться на m и правая часть. Поскольку число m невелико по модулю, то и перебор вариантов будет тоже невелик.

Слайд 4

Пример 1. Решить уравнение 3х — 4у = 1 в целых числах. Решение . Перепишем уравнение в виде 3х = 4у + 1. Поскольку левая часть уравнения делится на З, то должна делиться на З и правая часть. Рассмотрим три случая. 1. Если у = 3t; t ∈ Z, то 4у + 1 = 12t + 1 не делится на З. 2. Если у = 3t + 1, то 4у + 1 = 4(3t + 1) + 1 = 12t + 5 не делится на З. 3. Если у = 3t + 2, то 4у + 1 = 4(3t + 2) + 1 = 12t + 9 делится на З, поэтому 3х = 12t + 9, т.е. х = 4t + З. Ответ: {(4t + З, 3t + 2)}; t ∈ Z.

Слайд 5

Пример 3. Найти все целые ι, при которых дробь сократима. Решение. Пусть k ≠ ±1 — общий делитель числителя и знаменателя. Тогда ⇔ Вычтем из первого равенства второе и получим 13 = k(8m — 5n), откуда k = ±13. Для нахождения ι решим в целых числах уравнение 5 + 6 = 13m. Напомним, что это уравнение можно решить двумя способами: перебором всевозможных остатков и процедурой уменьшения коэффициентов. Решив уравнение, получим ι = 13s + 4, где s ∈ Z. Ответ: ι = 13s + 4; s ∈ Z.

Слайд 6

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Диофантовым уравнением второго порядка с двумя неизвестными х, у будем называть уравнение вида Аx^2 + Bху + Cy^2 + Dx + Еy = F, где А, В, С, D, Е, F, х, у ∈ Z и хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля. Общая теория решения таких уравнений достаточно сложна, поэтому приведем лишь основные методы. Одним из таких методов является разложение на множители. Он состоит в том, что левая часть данного уравнения каким-либо образом раскладывается на множители, и задача сводится к перебору конечного числа вариантов.

Слайд 7

Пример 1. Найти все пары целых чисел (х, у), каждая из которых удовлетворяет уравнению 2x^2 + 5 = Зу^2 + 5ху. Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом: + 5 = + 5ху ⇔ Первые две системы не имеют решений в целых числах, третья и четвертая имеют решением пары (х, у) = (2, 1) и (х, у) = (—2, —1) соответственно. Ответ: {(2, 1); (—2, —1)}.

Слайд 8

Пример 2. Решить в целых числах уравнение — ху — 2х + 3у = 10. Решение. Выразим в данном уравнении у через х: - xy - 2x+3y=10 ⇔ y(3-x)=10+2x- ⇔ ⇔ y = = x+1 - Из полученного равенства видно, что дробь должна быть целым числом. Это возможно, когда х — З принимает значения ±7 и ±1. Разбирая четыре случая, находим все пары (х, у), удовлетворяющие данному уравнению: (х, у) = {(10, 10); (-4, -2); (4, -2); (2, 10)}.

Слайд 9

ДРУГИЕ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Все описанные в предыдущей главе методы применимы для решения не только диофантовых уравнений второго порядка с двумя неизвестными, но и других уравнений в целых числах. К таким уравнениям относятся уравнения второго порядка с тремя и более переменными, уравнения более высокого, чем второго, порядка, уравнения, содержащие показательные и логарифмические функции, а также некоторые другие уравнения. Выбор нужного метода при решении подобного уравнения порой является определяющим условием для успешного решения задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Слайд 10

Пример 1. Решить в целых числах уравнение + + + 2ху — 10xz— 22yz = 0. Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом: Ответ: х = 7 n, у = З n, z = 2n; n ∈ Z.

Слайд 11

Пример 2. Найти все пары целых чисел (х, у), каждая из которых удовлетворяет уравнению ( + )(х + у — З) = 2ху. Решение. Ясно, что пара (0, 0) является решением данного уравнения. Предположим теперь, что хотя бы одно из чисел х, у отлично от нуля. Имеем ( + )(х + у — З) = 2ху ⇔ ⇔ x + y – 3 = ∈ [-1,1] При всех значениях x и y. Так как x + y - 3 – целое число, то возможны три варианта. 1. Если x + y — 3 = -1,тo x = —y, нет решений. 2. Если x + y — 3 = 0, то либо x = 0, y = 3, либо x = 3, y = 0. 3. Если x + y — 3 = 1, то x = y, следовательно, x = 2 и y = 2. Таким образом, решением данного уравнения будут служить следующие пары чисел: (x, y) = {(2, 2); (3, 0); (0, 3); (0, 0)}. Ответ: {(2, 2); (3, 0); (0, 3); (0, 0)}.

Слайд 12

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ В завершение тем предыдущих глав рассмотрим несколько текстовых задач, при решении которых возникают уравнения в целых числах. В таких задачах необходимым условием их решения является правильная формализация задачи, т.е. введение нужных переменных и составление уравнения (или системы уравнений), содержащего эти переменные.

Слайд 13

Пример 1. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/час, а второй — 42 км/час. Сколько раз за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте В, если известно, что первый стартует из пункта А, а второй — из пункта В? Решение. Первый автобус проезжает путь между А и В за часа, второй — за часа. Если оба автобуса встретились в пункте В, то за одинаковое время первый проехал этот путь нечетное число раз, второй — четное число раз. Имеем: Из последнего уравнения видно, что k нечетно и кратно 7. Таких чисел в интервале от 1 до 84 шесть, это 7, 21, 35, 49, 63 и 77. Каждому такому k соответствует целое значение n. Таким образом, за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте В шесть раз. Ответ: 6 раз. А В

Слайд 14

Пример 2. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ? Решение. Пусть х > 5 деталей делает мастер за 1 час, тогда ученик за один час делает х — 2 детали. Пусть также мастер выполняет заказ за t часов, где t — целое число. Согласно условиям задачи имеем уравнение x t = 2(x-2)(t-1) ⇔ t= = 2+ . Дробь должна быть целым числом. При х > 5 это возможно, когда х = 6 или х = 8. В первом случае получаем, что t = 4, во втором — t = З. В обоих случаях заказ состоит из xt = 24 деталей. От в е т: Из 24 деталей.

Слайд 15

Пример 3. Ваня и Петя ходили за грибами. Ваня нашёл 35 грибов, среди которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе все белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равна доле подосиновиков в принесенных Петей домой грибах? Решение. Обозначим число найденных Ваней подосиновиков за х, а белых грибов за у. Согласно условиям задачи имеем следующее уравнение: = ; x,y ∈ N ⇔ x= . Так как 35 = 5 ∙ 7, а 5 и 7 — взаимно простые числа, то одно из чисел у и 34 — у должно делиться на 5, а другое — на 7. Перебирая все возможные варианты, получаем, что либо у = 20 и 34 — у = 14, либо у = 14 и 34 — у = 20. В обоих случаях находим, что х = 8. Таким образом, Ваня нашел 8 подосиновиков. Ответ: 8 подосиновиков.

Слайд 16

Заключение В данной теме рассматриваются различные способы решения уравнений в целых числах. Я надеюсь, что эта работа поможет мне и моим одноклассникам при подготовке к ЕГЭ.

Слайд 17

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !