Решение задач С2 (расстояния) на ЕГЭ по математике.
план-конспект урока геометрии (11 класс) по теме

Примеры решения задач С2  на ЕГЭ по математике.

   Задача С2 относится к задачам  повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно.  Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение  задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и  обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Рекомендации при решении задач по геометрии:

- внимательно прочитать условие задачи,

- построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

- дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

- определить зависимости между элементами,

- рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

В последние годы при решении задач С2 часто требуется найти расстояние :

- от точки до прямой;

- от точки до плоскости;

-между скрещивающимися  прямыми,   или найти угол между:

- прямой и плоскостью;

- плоскостями.

Нахождение расстояний при решении задач С2

1. В правильной 6-угольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1Fстороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F1E1.

D1

F1

Е1

С1

В1

А!

F

Е

D

С

В

А

   Решение.В правильной 6-угольной призме в основаниях  лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4,  боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Точка В лежит на прямой АВ,  АВ║D1Е1.  Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его.

Т.к. призма прямая, ВD (DD1Е1),   DD1   D1Е1 ,  тогда ВD1  D1Е1,  значит, искомое расстояние от точки В до прямой D1Е1  равно отрезку  ВD1.

Рассмотрим Δ АDЕ,  ∟D = 90º,  DЕ = 4,  ВЕ = 8 ( в правильном 6-угольнике главная диагональ равна удвоенной стороне)   ВD =

Из прямоугольного  Δ АDD1 по теореме Пифагора ВD1 = 7.

Ответ:  7.

2.   В правильной 6-угольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1Fстороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С1D1.

D1

F1

Е1

С1

В1

А!

F

Е

D

С

В

А

В

С1

D1

Е

К

Решение.

В правильной 6-угольной призме в основаниях  лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4,  боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.  Проведем плоскость через точку В и прямую С1D1,  В сечении призмы плоскостью мы получим равнобедренную трапецию ВС 1D 1Е,  высота этой трапеции С1 К – искомое расстояние.

Из Δ ВС1 С   ВС1= 5

Рассмотрим    Δ ВС1 К ,   ∟К = 90º,  

ВК =

Ответ:  

3. Длина ребра куба АС1  равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД1.

В

D

С

D1

С1

А1

А

В1

Решение.

АС1 – куб, значит, все грани квадраты со стороной 1.

Плоскость АСD1 – правильный треугольник со стороной  

Искомое расстояние – это высота пирамиды ВАСD1, опущенная из точки В на плоскость АDС1 = d.

Найдем объем этой пирамиды двумя способами.

,                  или        

                                 Ответ:  

1. В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.

М

О

К

С

В

S

А

   Решение.Т.к. пирамида   SABCD   правильная,  в основании лежит правильный треугольник АВС,  АВ = 12см, высота  SO пирамиды проектируется в центр основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, образующие равные двугранные углы при основании.

Построим линейный угол двугранного угла при основании.  Проведем ВК АС,  

SKAC,   тогда ∟SKB линейный угол двугранного угла при основании пирамиды,    

∟SKB = π/3 .   ОК – радиус вписанной окружности в правильный Δ АВС,  

ОК =   .

Плоскость SKO перпендикулярна плоскости ASB, т.к. она проходит через две прямые, SK  и КВ, перпендикулярные прямой АС, лежащей в плоскостиASB.

Проведем ОМ перпендикулярно SК, ОМ – искомое расстояние от центра основания  точки О до боковой грани АSК.

 ОМ – высота  треугольника SКО,  ∟О = 90º,  ∟К = π/3  = 60º,    ОК = .

Из треугольника КМО,   ∟М = 90º   найдем ОМ.

ОМ = КО·sin∟K=

Ответ:  3 см

2. В пирамиде DАВС  известны длины ребер  АВ = АС = DВ = DС = 13см,  DA = 6см,  ВС = 24см.  Найдите расстояние между прямыми  DА и ВС.

М

К

С

В

D

А

   Решение.Прямые DА и ВС скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями СДВ и АВС.  Проведем ДК перпендикулярно ВС,  к – середина СВ ( Δ СDВ равнобедренный с основанием СВ),   тогда КА перпендикулярно СВ (Δ САВ равнобедренный с основанием СВ), ∟АКD – линейный угол двугранного угла.

В плоскости АКD проведем КМ перпендикулярно АD,  КМ – искомое расстояние от DА до СВ.

Т.к. Δ САВ = Δ СDВ  по трем сторонам,  АК = DК .  т.е. Δ АDК равнобедренный с основанием АD,  значит,  КМ – высота и медиана  Δ АDК.

АМ = МD = 3см,      ( из Δ АСК)

Из Δ АМК  .

Ответ:   4см